课件68张PPT。 某果园有100棵苹果树，每棵树平均结600个果实.现准备多种一些苹果树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个果实. 假设果园增种x棵苹果树，苹果的总产量为y个，请你写出 y与x之间的关系式.实际问题新课导入果园增种 x 棵苹果树，共有（100+x）棵树，平均
每棵树结（600-5x）个果实，因此果园苹果的总产量y = (100+x)(600-5x) =-5x2 + 100x + 60 00060 37560 42060 45560 48060 49560 50060 49560 48060 45560 42060 375二次函数【知识与能力】【过程与方法】? 理解二次函数的意义.
会用描点法画出二次函数 y = ax2 的图象.
知道抛物线的有关概念. 通过二次函数的教学进一步体会研究函数的一般方法.
加深对数形结合思想的认识. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性. 【情感态度与价值观】学习重、难点 二次函数的意义.
会画二次函数图象.
描点法画二次函数 y = ax2 的图象.
数与形相互联系. 要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样的围法才能使围成的花圃的面积最大? 实际问题 1.设矩形花圃的周长不变，垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积 y m2.试将计算结果填写在下表的空格中：
2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?
3.我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也随之确定，即y是x的函数，试写出这个函数的关系式. 观察函数关系式 ，
（1）函数关系式的自变量有几个?
（2）多项式分别是几次多项式?
（3）函数关系式有什么特点?（1）有1个.
（2）二次多项式.
（3）是用自变量的二次多项式来表示的. 提示 形如 （a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做 x 的二次函数（quadratic fun_ction），a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫做常数项.注意x 的取值范围是全体实数.（1） y=ax2 （a≠0，b = 0，c = 0）
（2） y=ax2 + c （a≠0，b = 0，c≠0）
（3） y=ax2 + bx （a≠0，b≠0，c = 0）注意的三种特殊表示形式 等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.回顾反比例函数的图象一次函数的图象 二次函数的图象是什么样子的？一条直线双曲线前面的 中……这些函数值有什么特点？y = (100+x)(600－5x) =－5x2 + 100x + 60 000实际问题60 37560 42060 45560 48060 49560 50060 49560 48060 45560 42060 375 画二次函数 的图象.【解析】（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：……y…3210-1-2-3…x（2）在平面直角坐标系中描点： xyo-4-3-2-11234108642-2y = x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便 得到函数y= x2 的图象.观察 这个函数的图象，它有什么特点?观察姚明的投篮……二次函数的图象是不是跟图中他们的投篮路线很像？再看一下林书豪的投篮. 抛物线：
像这样的曲线通常叫做抛物线.
二次函数的图象都是抛物线.
一般地，二次函数 的图象叫做抛
物线知识要点抛物线抛物线抛物线这条抛物线关于
y轴对称，y轴就
是它的对称轴. 对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.xo 抛物线 y=x2在x轴上方
(除顶点外)，顶点是它的最
低点，开口向上，并且向上
无限伸展; 当x=0时,函数 y的
值最小，最小值是0.当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1当x=1时，y=1
当x=2时，y=4xoy抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点是
它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，
当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.00y = x2、y= - x2二次函数顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y = x2y = - x2（0，0）（0，0）y轴y轴 在x轴上方(除顶点外) 在x轴下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. a>0，开口都向上;
对称轴都是y轴;
增减性相同顶点都是原点(0,0)只是开口
大小不同 在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2，y=-x2和y=-2x2的图象，会是什么样? a < 0，开口都向下;
对称轴都是y轴;
增减性相同. 只是开口
大小不同顶点都是原点(0,0)二次函数顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2 (a>0)y= ax2 (a<0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 越小,开口越大. 越大,开口越小; y = ax2 一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴，顶点是
_______. 当a > 0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线
的________，a 越大，抛物线的开口越___;当a < 0时，
抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a 越
大，抛物线的开口越____.y原点最低点上小下高大二次项系数为2，
开口向上;
开口大小相同;
对称轴都是y轴;
增减性相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1)位置不同;
最小值不同:
分别是1和0 在同一坐标系中作二次函数y=2x2+1和y=2x2的图象,会是什么样? 例如：二次函数上下平移 的口诀上加下减 y = x2 y = x2 ＋1 y = x2 －1 向上平移1个单位向下平移1个单位 y = a (x－h)2 y = a (x－h)2 ＋k y = a (x－h)2 －k 向上平移k个单位向下平移k个单位一般：顶点式二次函数顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2 +c(a>0)y=ax2 +c(a<0)（0，c）（0，c）y轴y轴当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限);
当c<0时,与x轴相交(经过一、二、三、四象限).当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限);
当c>0时,与x轴相交(经过一、二、三、四象限).向上向下当x=0时,最小值为c.当x=0时,最大值为c.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. y = ax2 + c在同一坐标系中作二次函数y =2(x-1)2和y=2x2的图象,会是什么样? 二次项系数为2，
开口向上;
开口大小相同;
对称轴不同；
增减性相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(1,0)位置不同;
最小值相同二次项系数为2，
开口向上;
开口大小相同;
对称轴不同；
增减性相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(－2,0)位置不同;
最小值相同 在同一坐标系中作二次函数y =2(x＋2)2和y=2x2的图象,会是什么样? 二次函数左右平移 的口诀左加右减 y = 2x2 y = 2(x+1)2向左平移
1
个单位向右平移1个单位例如： y = 2(x－1)2 y = ax2 ＋k向左平移h个单位向右平移h个单位 y = a (x－h)2 ＋k y = a (x＋h)2 ＋k一般：例题 你能说出函数 的图象与函数
的图象的关系吗?向右平移1个单位向上平移2个单位向右平移1个单位向上平移2个单位——或者—— 一般地，抛物线y =a(x－h)2 ＋k与y=ax2 形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2 向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来确定.y = a (x－h)2 ＋k 顶点式的特点顶点坐标：对称轴：（h，k）.x=h；当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下；二次函数的一般式 y=ax2+bx+c 的图象是怎样的？ 提取二次项系数配方:加上并减去一次项系数一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项通分计算化简:去掉中括号配方法y = ax2+bx+c （一般式）顶点坐标：对称轴： （1）设矩形的一边AB= x cm，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y最大，最大值是多少? 在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.MN实际问题最大面积问题x cmb cm 一般地，因为抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点是最低（高）
点，所以当 时，二次函数 y = ax2+bx+c 有最小（大）
值 . 形如 （a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫做常数项.1.二次函数：2.抛物线：二次函数的图象都是抛物线. 一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴，
顶点是_______. 当a > 0时，抛物线的开口向
__，顶点是抛物线的________，a 越大，抛物线
的开口越___;当a < 0时，抛物线的开口向____，
顶点是抛物线的最____点，a 越大，抛物线的开
口越____.y原点最低点上小下高大3.抛物线 y=ax2 的图象 ：4.抛物线 y = a (x－h)2 ＋k 图象的移动： 一般地，抛物线y=a(x－h)2 ＋k与y=ax2 形状相同，位置不同，把抛物线y= ax2 向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x－h)2 ＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来确定.顶点坐标：对称轴：5.抛物线 y = ax2+bx+c （一般式） 的图象特点：y = ax2+bx+c 一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是最
低（高）点，所以当 时，二次函数y=
ax2+bx+c有最小（大）值 . 6. 二次函数的最值问题： 1.下列函数中,哪些是二次函数？（1）y= 3(x－1)2 + 1（3）s=3－2t2（5）y=(x + 3)2－x2（6）v =10πr2（是）（是）（不是）（是） （不是）（不是）3. 如果函数 y=(k-3) +kx+1是二次
函数,则k的值一定是______.02. 如果函数 y= +kx+1 是二次函数，则
k的值一定是______.0或34. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？ 是二次函数关系式.【解析】S = a( －a)=a(30－a)
= 30a－a2
=－a2 + 30a 5. 你能说出函数 的图象的开口方向，
对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?函数 的图象的开口向上，对称轴为y
轴，顶点坐标是（0，-2）；当x<0时，函数值y随
x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而
增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值y=-2.6. 你能再画出函数 的图象，并将它
与函数 的图象作比较吗?函数 的图象
向上平移2个单位可以得到
函数 的图象.7.不画出图象，你能直接说出函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 因为 ，所以这个函
数的图象开口向下，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标
为（1，－2）8. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.（1）配方得y=6(x+1)2-6,则抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是（－1，－6）；
（2）配方得y=-4(x-1)2-6，则抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是（1，－6）.9. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.10. n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队n之间的关系式.二次函数常见错解示例
一、忽略二次项系数不等于0
例1已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围
是（ ）
A.k ＜3 B. k＜3 且k ≠0 C. k ≤3 D. k≤3 且k ≠0
错解:选C.由题意,得△=－4 k×3≥0,解得k≤3,故选C.
错解分析:当k=0时,二次项系数为0,此时原函数不是二次函数.欲求k的取值范围,须同时满足:①函数是二次函数;②图象与x轴有交点,上面的解法只注重了△≥0而忽略了二次项系数不等于0的条件.
正解: 选D.由题意,得△=－4 k×3≥0且k ≠0,即k≤3 且k ≠0,故应选D.
二、忽略隐含条件
例2如图,已知二次函数的图象与y轴交于点A, 与x轴正半轴交于B,C两点,且BC＝2, ＝3,则b的值为( )
A.-5 B.4或-4 C.4 D.-4
错解: 选B.依题意BC＝2, ＝3,得点A(0,3),即c＝3.又BC＝2,得方程的两根之差为2,故,解得b=±4.故选B.
错解分析:上面的解法忽略了“抛物线的对称轴x＝-在y轴的右侧”这一隐含条件,正确的解法应是同时考虑-＞0,得b＜0,∴b=4应舍去,故应选D.
正解: 选D. 依题意BC＝2, ＝3,得点A(0,3),即c＝3.又BC＝2,得方程的两根之差为2,故,解得b=±4.
∵抛物线的对称轴x＝-在y轴的右侧 ∴b＜0 ∴b=4应舍去,故应选D.
例3 若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值是多少？
错解：因为函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，而其中与y轴有一个交点(0,a)，则与x轴就只有一个交点，所以关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-.
错解分析：本题关于函数的描述是“y关于x的函数”，并没有指明是二次函数，所以需要分“y关于x的一次函数”和“y关于x的二次函数”两种情况进行讨论.
正解：当函数y是关于x的一次函数时，a=2,函数的解析式为y=-3x+2，函数图象与y轴的交点坐标为(0,2)，与x轴的交点坐标为(,0).所以a=2符合题意.
当函数y是关于x的二次函数时，函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与y轴有一个交点(0,a)，与坐标轴共有两个交点，所以与x轴只有一个交点，则关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式
△=[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-.
而当a=0时，与y轴的交点为原点，此时，y=-2x2+x与x轴还有一个交点(,0).
综上可得a=2或a=0或a=-.
三、忽略数形结合思想方法的应用
例4 求二次函数y=+4x+5(-3≤x≤0)的最大值和最小值.
错解:当x=-3时,y=2; 当x=0时,y=5;所以，-3≤x≤0时,=2,=5.
错解分析:上面的解法错在忽略了数形结合思想方法的应用,误以为端点的值就是这段函数的最值.解决此类问题,画出函数图象,借助图象的直观性求解即可.
正解:∵y=+4x+5= +1,∴对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,1),画出大致的图象,如图是抛物线位于-3≤x≤0的一段,显然图象上最高点是C,最低点是顶点B而不是端点A,所以当-3≤x≤0时, y最大值为5, y最小值为1.
四、求顶点坐标时混淆符号
例5 求二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标.
错解1 用配方法
y=-x2+2x-2=-(x2-2x)-2
=-(x2-2x+1-1)-2
=-(x2-2x+1) -1=-(x-1) 2 -1
所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(-1,-1).
错解2 用公式法 在二次函数y=-x2+2x-2中，a=-1，b=2，c=-2，
则，
所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(-1,1).
错解分析：二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),即横坐标与配方后完全平方式中的常数项互为相反数，而非相等，也就是说不是(-h,k).二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-,)，横坐标前面带“-”，纵坐标的分子为4ac-b2,不要与一元二次方程根的判别式b2-4ac混淆.另外，把一般式转化为顶点式，常用配方法，如果二次项系数是1，则常数项为一次项系数一半的平方；如果二次项系数不是1，则先提出二次项系数（注意：不能像解方程一样把二次项系数消去），使括号中的二次项系数变为1，再对括号中进行配方.
正解：（1）用配方法
y=-x2+2x-2=-(x-1) 2 -1
所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(1,-1).
（2）用公式法 -，
所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(1,-1).
五、忽视根的判别式的作用
例6 已知抛物线y=-x2+(6-)x+m-3与x轴有两个交点A，B，且A，B关于y轴对称，求此抛物线解析式.
错解：因为A与B关于y轴对称，所以抛物线对称轴为y轴，即直线x=-.
解得m=6或m=-6.
当m=6时，抛物线解析式为y=-x2+3.
当m=-6时，抛物线解析式为y=-x2-9.
综上可知: 抛物线解析式为y=-x2+3或y=-x2-9.
错解分析：抛物线与x轴有两个交点为A，B，等价于：相应的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac>0.如果忽视根的判别式在解题中的作用，就不能排除不符合题意的解，扩大了解的范围，导致错误.
正解：因为A与B关于y轴对称，所以抛物线对称轴为y轴，即直线x=-=- ，解得m=6,或者m=-6.
当m=6时，抛物线解析式为y=-x2+3.
此时，b2-4ac=02-4×(-)×3=6>0，方程-x2+3=0有两个不相等的实数根，抛物线y=-x2+3与x轴有两个交点，符合题意.
当m=-6时，方程抛物线解析式为y=-x2-9.此时，b2-4ac=02-4× (-)×(-9)=-18<0，方程-x2-9=0没有实数根，抛物线y=-x2-9与x轴有两个交点，不符合题意，舍去.
因此所求抛物线解析式为y=-x2+3.
课件1张PPT。二次函数顶点对称轴开口方向最值课件3张PPT。二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质二次函数顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质二次函数顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 与x轴有两个不
同的交点
（x1，0）
（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac＞0与x轴有惟一个
交点有两个相等的解
x1=x2=b2-4ac=0与x轴没有交点没有实数根b2-4ac＜0课件22张PPT。实际问题与二次函数【知识与能力】【过程与方法】 生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用. 通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力.
在转化、建模中，学会合作、交流.
通过图形间的关系，进一步体会函数，体验运动变化的思想1. 某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是： （m为定值）2. 导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：（R为定值）3. g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的高度h与下落时间t之间的关系是： （g为定值） 二次函数的抛物线在生产、生活中广泛应用. 通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情.
在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神.
培养学生正确面对困难，迎接挑战的坚强品质.【情感态度与价值观】 利用二次函数解决商品利润问题.
用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题.
建立二次函数数学模型，求函数的最值.
通过图形之间的关系列出函数解析式.喷泉与二次函数 一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O 恰在水面中心，OA=1.25 m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到距水面最大高度2.25 m.
如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？实际问题 根据对称性，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.【解析】建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25) 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点D的坐标为(-2.5,0) .设抛物线为y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得抛物线解析式为：y=－(x-1)2+2.25. ●
C(2.5,0)●
D(-2.5,0)跳水与抛物线 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体
(看成一点)在空中的运动路线是经过原点O的一条
抛物线.规定在跳某动作时,正常情况下,该运动员
在空中的最高处距水面 米,入水处距池边的距离
为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须
完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会
出现失误.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线
是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势
时,距池边的水平距离为 米,问此次跳水会不会
失误？并通过计算说明理由. 平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可以看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处,绳子到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5米,求学生丁的身高.甲乙丙丁跳绳与抛物线最大利润问题 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?实际问题设销售单价为x元(x≤13.5元),那么销售量可表示为: 件;销售额可表示为: 元;所获利润可表示为: 元;当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？调整价格包括涨价和降价两种情况 涨价：
①设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之
变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨价x元时则每星
期少卖_____件，实际卖出_________件,销售额为__________
元，买进商品需付_____________元.因此，所得利润为
_____________________________元，10x(300-10x)40(300-10x)(60+x)(300-10x)y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)即(0≤x≤30).(0≤x≤30)所以当定价为65元时，利润最大，最大利润为6 250元.②设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300+18x)元，因此，得利润综上，定价为65元时，利润最大，最大利润为6 250元. (0≤x≤20) 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?xxy最多光线问题 （1）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式.
（2）研究自变量的取值范围.
（3）研究所得的函数.
（4）检验x的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值.
（5）解决提出的实际问题.解决关于函数实际问题的一般步骤（配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值） 若日销售量y是销售价x的一次函数. （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式. （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？1. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价
x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下:（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元.则 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.则解得：k=－1，b＝40. 【解析】（1）设此一次函数解析式为 .所以一次函数解析为 .【解析】设旅行团人数为x人,营业额为y元,则2. 某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？即当旅行团的人数是55时，旅行社可以获得最大营业额.3. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？【解析】设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元y=(50- )(180+x)-20(50- )= +34x+8 000 =170,即房价定为170元时，宾馆利润最大.4. 某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包.起初以40元每个售出，平均每个月能售出200个.后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨1元，每个月就少卖出10个.现在请你帮帮他，如何定价才使他的利润最大？【解析】设将这种书包的售价上涨x元，他的利润为y元，
y=(40+x)×(200-10x)-30×(200-10x)
=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250
即将这种书包的售价上涨5元时，他的利润最大.二次函数常见错解示例
忽略自变量的取值范围
例1 如图,五边形ABCDE为一块土地的示意图,四边形AFDE为矩形,AE=130米,DE=100米,BC截∠F交AF,FD分别于点B,C，且BF=FC=10米，现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区，且点P在线段BC上，若设PM的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求y与x的函数关系式，并求当x为何值时，安置区的面积y最大，最大面积为多少？
错解:延长MP交AF于点H,则△BPH是等腰直角三角形,
∴BH=PH=130-x,DM=HF=10-BH=x-120,EM=220-x.
∴y=PM·EM=x (220-x)=-+220x.
又∵a=-1＜0，
∴当x ==110时，y取得最大值，且其最大值为=12 100平方米.
错解分析:上面的解法错在忽略了自变量的取值范围,在研究实际问题的最大(小)值时,自变量的取值范围往往起着决定作用,但学生常因重视不够而犯错.本题必须考虑实际含义0≤PH≤10,得120≤x≤130,又抛物线y=-+220x的对称轴为x ==110,且它的开口向下, ∴当120≤x≤130时, y随着x的增大而减小. ∴当x=120时, y取得最大值,且其最大值为12 000平方米.
例2 某公司1-8月份的每月纯利润y(万元)是关于月份x(月)的二次函数.下表是公司每月纯利润报表的一部分：
月份x(月)
2
4
6
纯利润y(万元)
16.8
18.2
19.2
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)在1-8月份中，哪个月的纯利润最大？
错解：(1)设y=ax2+bx+c(a≠0)，由已知得，解得a=-,b=1,c=15.即y=-x2+x+15
(2)因为-，所以当x=10时，y取最大值，最大值y=-×102+10+15=20,即10月份的利润最大，为20万元.
错解分析： 第(2)问的要求是“在1-8月份中，哪个月的纯利润最大？”答案却是10月份，明显出错了.
错就错在没有考虑到自变量的取值范围是1≤x≤8的整数，函数图象是抛物线对称轴左侧的一部分，最大值当然就不能是顶点的纵坐标了.
正解： (1)设y =ax2+bx+c(a≠0)，由已知得，解得a=-,b=1,c=15.即y=-x2+x+15(1≤x≤8且x为整数).
(2)∵a=
,即8月份的纯利润最大.
课件1张PPT。二次函数的应用利润最值问题面积最值问题拱桥隧道问题课件1张PPT。1.求出函数解析式和自变量的取值范围2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值3.检查所求得的最大值和最小值对应的自变量的值必须在自变量取值范围内.设未知数找等量关系，列出函数解析式求自变量取值范围，利用函数知识，求解，写出结论
