(共19张PPT)
课件中心版权所有 2006～2009
www.
第13课时
*
龙城初三数学
*
北师大九年级（下）
第二章 二次函数(复习)
龙城初三数学*
龙城初三数学
*
龙城初三数学*
龙城初三数学
*
1、二次函数的定义
2、二次函数的图象及性质
3、抛物线的平移法则
4、 a、b、c符号的确定
5、二次函数解析式的三种形式
6、二次函数与一元二次方程的关系
7、二次函数的综合运用
龙城初三数学*
龙城初三数学
*
一、二次函数的定义
1.定义：y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
2.定义要点:
(1)a≠0. (2)最高次数为2. (3)代数式一定是整式.
2
-2
练习１：y＝－x2，y＝2x2－ ＋3 ，y＝100－5x2，y=－2x2＋5x3－3 中有 个是二次函数。
龙城初三数学
抛物线
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值 a>0
a<0
增减性 a>0
a<0
二、二次函数的图象及性质
当a>0时开口向上；当a<0时开口向下.
(h,k)
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
x
y
x
y
直线x=h
x=h时 ymin=k
x=h时 ymax=k
练习、函数 的开口方向 ，
顶点坐标是 ，对称轴是 .
当x 时.y随x的增大而 .
当x 时.y有最 值为 .
向上
＜－１
减小
＝－１
小
*
龙城初三数学
*
三、抛物线的平移法则
上＋下－，左＋右－
1、将抛物线y=-3x2-1向上平移2个单位, 再向右平移 3个单位, 所得的抛物线的表达式为 ，
2.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2,
则b= ，c= ,
-8
15
龙城初三数学-1
-2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特例：
(1)当x=1 时，
(2)当x=-1时，
(3)当x=2时，
(4)当x=-2时，
(5)2a+b 0. 4a+b 0
y=a+b+c
y=a-b+c
y=4a+2b+c
y=4a-2b+c
…………… ……………
x
y
o
1
2
＞０
＜０
＞０
＜０
四、a、b、c符号的确定
a
b
c
决定开口方向：
a、b同时决定对称轴位置：x=-b/2a
决定抛物线与y轴的交点位置：
＞
＜
*
龙城初三数学
*
２、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（ ）
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
(C)
(D)
(B)
(A)
x
y
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
C
o
C
练习：
龙城初三数学*
龙城初三数学
*
五、二次函数解析式的三种形式:
已知顶点坐标、对称轴或最值
已知任意三点坐标
已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0)
龙城初三数学*
龙城初三数学
*
选择合适的方法求二次函数解析式：
1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，4）三点。
2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与
X轴的一个交点的横坐标是8。
练习
龙城初三数学二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
一元二次方程ax2+bx+c=0的根 就是
二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标
六、二次函数与一元二次方程的关系
３.求抛物线 ①与y轴的交点坐标;
②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0
练习１.已知抛物线y＝x2－ m x＋m－１.
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；
(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。
(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
= 1
＞1
= 2
= 0
２、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的值永远为正的条件是____ __
a>0,△<0
*
龙城初三数学
*
综合题：已知抛物线与x轴相交于A 、B两点， 与y轴负半轴相交于点C，若抛物线顶点P的横坐标是1，A、B两点间的距离为4，且△ABC的面积为6。
（1）求点A、B、Ｃ的坐标
（2）求此抛物线的解析式
（3）求四边形ACPB的面积
x
A
B
O
C
y
P
Ａ(-1,０)、Ｂ(３,０）、Ｃ(０,-３)
1
3
-1
Ｄ
龙城初三数学*
龙城初三数学
*
探究题：已知二次函数的图象的顶点坐标为Ｃ（１，０），直线 y=x+m与该二次函数图象交于Ａ、Ｂ两点， 其中Ａ（３，４）。
（１）求m的值及这个二次函数的关系式．
（２）Ｐ为线段ＡＢ上的一个动点，（与Ａ,Ｂ不重合）过Ｐ作Ｘ轴的垂线与二次函数图象相交于Ｅ点，设线段ＰＥ的长为h，
点Ｐ的横坐标为x，求
h与x之间的函数关系式
和x的取值范围．
F
E
P
x
A
O
C
y
B
龙城初三数学*
龙城初三数学
*
（3）Ｄ为直线ＡＢ与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段ＡＢ上是否存在一点Ｐ，使得四边形ＤＣＥＰ是平行四边形？若存在，求出Ｐ点坐标，不存在说理由．
Ｄ
F
E
P
x
A
O
C
y
B
龙城初三数学*
龙城初三数学
*
龙城初三数学*
龙城初三数学
*
龙城初三数学(共15张PPT)
课件中心版权所有 2006～2009
www.
第11课时
北师大九年级（下）
2.8 二次函数与一元二次方程(一)
(1)小球抛出时的高度是 ,
(2).h和t的关系式是什么？
(3).小球经过多少秒后落地
你有几种求解方法
由上抛小球落地的时间想到
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
h=-5t2+40t
①.图象法
②解方程
-5t2+40t=0
0
(1). 每个图象与x轴有几个交点？
二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0 ,
x2-2x+2=0有几个根
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标
与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
一元二次方程ax2+bx+c=0的根 就是
二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标
二、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多
只有一个交点，则a的范围是 。
９
a＜９
-1
-6
5、判断下列各抛物线是否与x轴相交，
如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
4、校运会上，某运动员掷铅球，铅
球的高y(m)与水平距离x(m)之间函数关系式为y=-0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是 m，
9
６、根据各个图象的信息估计一元二次方程的解
2、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为
（1，-4）与x轴两交点坐标分别为
（x1，0），（x2，0），且x12+x22=10，求抛物线的解析式。
三、例题
1. 已知抛物线 ,
①求抛物线与y轴的交点坐标;
②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
1、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全
部在x轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
D
2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。
（2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，
求m的值。
四、课堂训练(共22张PPT)
课件中心版权所有 2006～2009
www.
第12课时
北师大九年级（下）
2.8 二次函数与一元二次方程(二)
2.8二次函数与一元二次方程（二)
一元二次方程
二次函数
二次函数的图象
有两个不等实根 ，
有两个相等实根
没有实根
图象与x轴没有交点
图象与x轴有两个交点
图象与x轴有一个交点
O
x
y
O
x
y
O
x
y
x
O
y
y
O
x
O
x
y
当__________时，y＝0
当__________时，y＜0
当__________时，y＞0
解:
∵ x1， x2 就是ax2+bx+c=0 的两根
∴ x1+x2= -
∴ 对称轴是
例１：求下列二次函数的表达式:
(1)经过点A(-3,0),B(5,0),C(4,7)
(2)经过点A(-1,0),C(1,-4),对称轴为x=1
(4)写出一个过点A(-２,0),B(5,0) 的二次函数
(3)经过点A(-２,0),B(４,0),顶点C(１,-3)
例3二次函数图象的顶点为C（3,-4） 且在X轴上截得的线段AB长为4.
（1）求二次函数的表达式。
例3二次函数图象的顶点为C（3,-4） 且在X轴上截得的线段AB长为4.
（1）求二次函数的表达式。
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得△QAB的面积为8 如果存在，求出所有Q的坐标；若不存在，说明理由.
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得△QAB的面积为8 如果存在，求出所有Q的坐标；若不存在，说明理由.
Q1
Q2
Q3
若上述△QAB的面积为6，这样的点Q有几个？
若上述△QAB的面积为10，这样的点Q有几个？
利用二次函数的图象估计
一元二次方程 x2+2x-10=0的根。
由图象可知方程有两个根:
一个在－5和－4之间，
另一个在2和3之间。
(1)求x2+2x-10=0在－5和－4之间的根。
当 x＝－4.1 时，
y＝－1.39
当 x＝－4.2 时，
y＝－0.76
当 x＝－4.3时，
y＝－0.11
当 x＝－4.4 时，
y＝0.56
因此，x＝－4.3是方程的一个近似根。
(2)求2和3之间的根。
当 x＝2.1 时，
y＝－1.39
当 x＝2.2 时，
y＝－0.76
当 x＝2.3时，
y＝－0.11
当 x＝2.4 时，
y＝0.56
因此，x＝2.3是方程的一个近似根。
练习1. (浙江05) 根据下列表格的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
-0.06
-0.02
0.03
0.09
判断方程 (a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（ ）
A、3＜x＜3.23 B、3.23＜x＜3.24
C、3.24＜x＜3.25 D、3.25 ＜x＜3.26
C(共18张PPT)
课件中心版权所有 2006～2009
www.
第8课时
北师大九年级（下）
2.6 二次函数三种表示法
§2．6 二次函数三种表示法
初三数学备课组
y随x的而变化的规律是什么？你能分别用
解析法，表格法和图象法表示出来吗？
函数的表示方式
例1：已知矩形周长20cm,并设它的
一边长为xcm,面积为ycm2.
x
y
解法1 ；用函数表达式表示：
解法2：用表格表示：
9 16 21 24 25 24 21 16 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-x
y
解法3：用图象表示:
比较三种表示方式,
优点,缺点分别是什么？
二次函数的三种表示方式各有什么特点 它们之间有什么联系
表示 优点 缺点
表达式
表格
图象
关系
变量间关系简捷明了,便于分析计算.
需要通过计算,才能得到所需结果.
能直接得到某些具体的对应值
不能反映函数整体的变化情况
直观表示了变量间变化过程和变化趋势.
函数值只能是近似值..
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.
因为x表示周长为20cm矩形的边长,
所以自变量x的取值范围是:0当x=5cm时,长方形面积最大,最大面积=25cm2.
由表达式的顶点式,表格中结果,图象的最高点都可得到.
1、在上述问题中,自变量x的
取值范围是什么？
2、当x取何值时,长方形面积最大？最大面积是多少 你是怎么得到的
x
y
3、请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
当0当5例1.已知二次函数图象经过
（－1，10）（2，7）和（1，4）
三点，求这个函数的解析式.
练习:已知抛物线 经过三点A（2，6），B（－1，2），C（0，1），那么它的解析式是 .
y=2x2-3x+5
例2:已知抛物线的顶点是A(-1,2)，且经过点(2,3)，求二次函数的表达式。
1．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的表达式为 ．
2.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x＝3，最小值为－2，，且过（0，1），此函数的解析式是__ ____.
情境引入右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中．1、求抛物线 的解析式．
2、求两盏景观灯之间的水平距离．
5
1
10
3
1
-3 -1 1 3
-1
-3
P
(1, y)
P63第1题
3
1
-3 -1 1 3
-1
-3
P
(x,2)
3
1
-3 -1 1 3
-1
-3
P
(2,y)
3
1
-3 -1 1 3
-1
-3
P
(x,2)
解析法—用表达式表示函数 ,
列表法—用表格表示函数,
图象法—用图象表示函数.
求二次函数解析式的两种方法
函数的表示方式
一般式： y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k(共18张PPT)
课件中心版权所有 2006～2009
www.
第9课时
北师大九年级（下）
2．6 何时获得最大利润
§2．6 何时获得最大利润
销售单价是多少时, 可以获利最多
何时获得最大利润
例1：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
解：设销售价为x元(x≤13.5元),那么
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,
而单价每降低1元,就可以多售出200件.
销售量可表示为 : 件;
每件T恤衫的利润为: 元;
所获总利润可表示为: 元;
∴当销售单价为 元时,可以获得最大利润,
最大利润是 元.
例2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量, 据经验估计,每多种2棵树,平均每棵树就会少结10个橙子.
（1）种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？
（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上
解：假设果园增种2x棵橙子树果园共有（100+2x）棵树,平均每棵树结（600-10x） 个橙子,果园橙子的总产量
y=(100+2x)(600-10x)
=-20（x2-10x+25)+500+60000
=-20(x-5)2+60500
当x=5时，y有最大值，最大值60500
∴果园种植110棵橙子树时，果园橙子的
总产量最大，最大为60500
=-20x +200x+60000.
2.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上
故增种6～14棵橙子树可以使橙子的总产量在60400个以上
练习:《1+1》 P47 第2题
喷泉与二次函数
例3：龙城公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确0.1m)？
解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据
题意得,A(0,1.25),顶点B(1,2.25).
当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).
根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,
才能使喷出的水流不致落到池外.
设抛物线为y=a(x-1)2+2.25,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.
数学化
x
y
O
A
●B(1,2.25)
●(0,1.25)
●
C(2.5,0)
●
D(-2.5,0)
由此可知,如果不计其它因素,那么
水流的最大高度应达到约3.72m.
解:(2)根据题意得,A(0,1.25),C(3.5,0).
设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法
求得抛物线为:y=-(x-11/7)2+729/196.
数学化
x
y
O
A
●B
●(0,1.25)
●
C(3.5,0)
●
D(-3.5,0)
●B(1.57,3.72)
例4：一块铁皮零件，它形状是由边长为40厘米正方形CDEF截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，AF=12厘米，BF=10厘米，现要截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边在CD、DE上.请问如何截取,可以使得到的矩形面积最大
解:在AB上取一点P,过点P作CD、DE的垂线，
得矩形PNDM。延长NP、MP分别与EF、CF
交于Q、S。设PQ=x厘米（0≤x≤10）,
那么PN=40-x。由△APQ∽△ABF，得
AQ=1.2x，PM=EQ=EA+AQ=28+1.2x.
那么矩形PNDM的面积:
y=(40-x)(28+1.2x) (0 ≤ x ≤10) .
y=-1.2(x-25／3)2+3610／3
当x= 25／3时,最大面积3610／3
(共23张PPT)
课件中心版权所有 2006～2009
www.
第10课时
北师大九年级（下）
2.7最大面积是多少
A
N
M
在Rt△AMN内部作一个矩形ABCD
A
N
M
在Rt△AMN内部作一个矩形ABCD
A
N
M
在Rt△AMN内部作一个矩形ABCD
A
N
M
B
C
D
矩形ABCD何时面积最大？为多少？
A
N
M
B
C
D
矩形ABCD何时面积最大？为多少？
A
C
B
如图所示：AB=40，AC=30
在Rt△ABC内部作一个矩形PQMN
P
N
M
Q
A
C
B
如图所示：AB=40，AC=30
在Rt△ABC内部作一个矩形PQMN
P
N
M
Q
A
C
B
如图所示：AB=40，AC=30
在Rt△ABC内部作一个矩形PQMN
P
N
M
Q
H
O
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线
最多(结果精确到0.01m)
此时,窗户的面积是多少
x
x
y
3
1
-3 -1 1 3
-1
-3
P
(1, y)
3
1
-3 -1 1 3
-1
-3
P
(x,2)
3
1
-3 -1 1 3
-1
-3
P
(2,y)
3
1
-3 -1 1 3
-1
-3
P
(x,2)
1、(05年台州)如图，用长为18cm的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃。
1.设矩形的一边为x(m)，面积为y(m2)，
求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；
2.当x为何值时，所围苗圃面积最大，
最大面积是多少m2？
2、已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从
它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三
角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所
成的角的正切值等于0.5，设梯形的面积为S，
梯形中较短的底边长为x，试写出梯形的面积S
关于x的函数关系式，并指出x的取值范围。
（2）线段OM= ，
ON= ，OP= ，
MN= 。
1、如图，抛物线y=x2-2x-3，与x轴从左至右交于点M、N，与y轴交于点P，顶点为点G。则：
（1）点M、N、P、G的坐标分别为：
M ，N ，
P ，G 。
(-1,0)
(3,0)
(0,-3)
(1,-4)
1
3
3
4
x
y
M
N
P
G
O
y=x2-2x-3
