课件46张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 集 合第一章章末归纳总结第一章知 识 结 构 学 后 反 思 专 题 研 究
本章主要学习了集合的概念，元素与集合、集合与集合间的关系，以及子集的性质与集合间的运算性质等．
1．集合是“某些指定对象的全体”
构成集合的元素除了常见的数或点等数字对象外，还可以是其他对象．
集合的元素具有：①确定性；②互异性；③无序性．
集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图法．
解答集合问题，要明白它所表示的意义，即元素指什么？是什么范围？紧紧抓住竖线前面的代表元素及它所具有的性质．
判断给定对象能否构成集合时，要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，注意它的“互异性”，“无序性”．2．元素与集合，集合与集合间的关系
元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系．
元素与集合间用“∈”或“?”表示．
集合与集合之间有包含关系，如子集关系，相等关系，真子集关系．
熟练掌握集合的图形表示，会借助韦恩图、数轴解决集合问题，树立数形结合解题的意识．3．“交、并、补”都是集合的运算，对于两个集合而言，交集是指这两个集合的公共元素组成的集合，并集是指由这两个集合的全部元素组成的集合(要注意集合元素的互异性)．补集必须相对于指定的全集而言，一个集合的补集是指由不属于这个集合的全集中的全部其他元素组成的集合．
4．求解含参数的集合运算问题，先对集合化简，使问题明朗化，再对参数进行讨论，讨论时既不能重复又不能遗漏．
5．在集合运算过程中应力求做到“三化”：
(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形．
(2)具体化：求出具体的相关集合；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．
(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助“数形结合思想”解决问题． 已知集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{y|y＝x＋2，x∈R}，求A∩B.
[解析] ∵A＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，
B＝{y|y＝x＋2，x∈R}＝{y|y∈R}．
∴A∩B＝{y|y≥0}， 注意集合中的元素是什么 专题一 集合问题中几个注意的地方
[点评] 进行集合间的运算时，弄清集合中的元素是什么？是进行集合运算的前提．同时，我们要注意区分点集与数集. 已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 注意空集的特殊性
(2)当a≠0，若A中有一个元素，即方程ax2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此时A＝{1}，满足题意；
若A中无元素，即方程ax2－2x＋1＝0无实数根，则Δ＝4－4a<0，解得a>1，此时A＝?，满足题意．
故所求实数a的取值范围是{a|a＝0，或a≥1}. 已知M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合．
[分析] 由M∪N＝M，得N?M，则N中的元素也在集合M中，则令M中的两个元素分别与t2－t＋1相等求解． 注意集合中元素的互异性[解析] ∵M∪N＝M，∴N?M，即t2－t＋1∈M，
(1)若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，
当t＝1时，M中的两元素相同，不符合集合中元素的互异性，舍去．
∴t＝0.
(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，
由(1)知不符合题意，舍去．
综上所述，t的取值集合为{0}． 定义集合运算：集合A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A．0 B．6
C．12 D．18定义型 专题二 集合中的创新题型
[解析] 由集合A⊙B的新定义x∈A，y∈B得，x＝0，y＝2或x＝0，y＝3或x＝1，y＝2或x＝1，y＝3，故z＝0,6,12，则A⊙B＝{0,6,12}，则集合A⊙B的所有元素之和为18，故应选D.
[答案] D 已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，是否存在集合C，使C的每一个元素都加上2就变成了A的一个子集；且C的各个元素都减去2，就变成了B的一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，请说明理由．
[解析] 假设存在集合C满足条件，因为C≠?，且C?{0,2,4,6,7}，C?{3,4,5,7,10}，∴C＝{4}或{7}或{4,7}． 注意空集的特殊性
[点评] 存在性问题，先假设存在，问题转化的关键就在于集合A与B的逆向转换，从两个方面去寻找集合C，逆向操作：A中元素减2得0,2,4,6,7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3,4,5,7,10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7或4、7.专题三 数学思想方法在集合中的应用数形结合思想 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和韦恩图法．
1．数轴法
对初学者来说，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错．此时，数轴分析法是个好帮手，它能将复杂问题直观化．在具体应用时，要注意端点是实心还是空心，以免增解或漏解． 已知集合A＝{x|－1
(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A?B，求实数m的取值范围．
[解析] 由题意得A＝{x|－1(1)在数轴上画出集合A和B，若A∩B＝?，则实数m＋2落在－1的左边或与－1重合，
所以m＋2≤－1，即m≤－3.(2)在数轴上画出集合A和B，若A?B，则实数m＋2落在3的右边或与3重合，
所以m＋2≥3，即m≥1.
2．韦恩图法
韦恩图是集合语言中的图形语言，它易引起清晰的视觉形象，能直观地表达概念．问题的本质以及相互之间的关系．加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识，夯实基础，提高能力具有重要意义． 已知I为全集，集合M，N?I，若M∩N＝N，则( )
A．?IM??IN B．M??IN
C．?IM??IN D．M??IN
[解析] 根据条件画出韦恩图，由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择．
[答案] C 分类讨论思想是数学思想中比较重要的一种思想，利用分类讨论思想解决分类讨论问题，已成为高考考查学生知识和能力的热点问题．首先，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对知识面的考查；其次，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想和技巧，有利于对能力的考查，运用分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到“不重不漏”．分类讨论思想 已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N?M，求实数a的取值范围．
[分析] M，N都是以一元二次方程的根为元素组成的集合，一个集合的子集一定有?.
[解析] ∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
又N?M，∴N＝?，或N＝{1}，或N＝{2}，或N＝{1,2}．
(1)当N＝?时，方程x2－2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a<0，即a>1.
[点评] 分类讨论思想是一种重要的思想方法，即通过化整为零、各个击破的方法，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决.在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”“A∩B＝A”“A∪B＝B”“A?B”等都是同一含义．另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路．转化与化归思想 [答案] D 有些集合问题，条件很多，未知量也多，这时可以考虑通过列出方程或方程组来解决问题，既直观又快捷．
已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．
[分析] 由集合相等可得两集合中的元素对应相等，列出方程组即可，求解后注意集合中元素的互异性．方程思想 对于比较复杂，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系时，这时能化难为易，从而将问题解决，这就是补集思想，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现．集合中的补集运算常与方程、不等式等联系起来，特别是否定性的条件，如a?A，可转化为a∈?RA，有时求解将会十分方便，省去一些复杂的讨论．补集思想 已知集合A＝{y|y>a＋5或y[分析] A∩B≠?的对立面为A∩B＝?，故可先求出A∩B＝?时a的取值范围，再用补集思想求A∩B≠?时a的取值范围．
[点评] 已知全集U，要求子集A，若直接求A较困难或较麻烦时，则可考虑先求出A的补集?UA，再利用A＝?U(?UA)求出集合A.这就是数学中的补集思想．课件50张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 函 数第二章章末归纳总结第二章知 识 结 构 学 后 反 思 专 题 研 究函数是中学数学重要的基础概念之一，是高中代数的一条主线，贯穿于中学数学的始终，是进一步学习高等数学的基础．函数思想是解决数学问题的重要思想，函数知识是高中数学的重点和难点，也是高考重点考查的内容．
本章主要内容分四大节，分别是：函数、一次函数和二次函数、函数的应用(Ⅰ)、函数与方程．函数的概念建立在集合与对应的语言环境下，相对于变量x、y之间的元素依赖关系无疑是质的飞跃、映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．这并不是说映射观点下的函数与以往变量观点下的函数概念完全不同了，而只是由于建立了集合的知识体系，看问题的角度不同罢了．所以高中函数知识是初中内容的继续与加深，不仅研究函数的种类增加了，而且讨论函数性质的理念更深刻了，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等．随着研究函数性质的方法的不断改善以及充分运用现代教育技术的手段不断提高，呈现在大家面前的将是一幅更为系统更加细致的五彩缤纷的函数画卷．
从日常生活、生产和进一步学习的需要来看，有关函数的知识是非常重要的．例如，在讨论社会问题、经济问题时，越来越多地运用数学的思想与方法，函数的内容在其中占有相当的地位．又如，计算机日渐普及，学习、使用计算机需要函数图象的有关知识．函数思想与知识应用的独特性与广泛性，更增添了函数的无穷魅力．专题一 函数的性质及应用
单调性是函数的重要性质．对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面，函数单调性的应用十分广泛．
奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．[分析] 本题主要考查函数单调性的逆向应用．解题的关键是去掉“f”符号，转化为关于x的不等式问题． (2013·湖南文)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2, f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] 根据奇、偶函数的性质，
将f(－1)和g(－1)转化为f(1)，g(1)列方程组求解．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2. ①
又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4. ②
由①②，得g(1)＝3.
[答案] B
专题二 函数的图象及应用
函数的图象是函数的三种表示形式之一，是高考考查的重要内容，函数图象应用广泛．利用数形结合解题在高考试题中经常出现，有时还考查利用平移变换、对称变换作函数的图象．
1．平移变换
(1)水平平移：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，就得到y＝f(x＋a)的函数图象．
(2)竖直平移：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度，就得到y＝f(x)＋a的函数图象．
(1)(2)总结为“左加右减，上加下减”．
把函数y＝2x2－2x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式是__________．
[解析] 令f(x)＝2x2－2x，把f(x)的图象向右平移2个单位长度后得到y＝2(x－2)2－2(x－2)的图象，再向下平移3个单位长度后得到y＝2(x－2)2－2(x－2)－3的图象，即y＝2x2－10x＋9的图象．
[答案] y＝2x2－10x＋9 2．对称变换
(1)如y＝f(－x)，其函数图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(2)如y＝－f(x)，其函数图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称．
(3)如y＝－f(－x)，其函数图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称． 对于定义在R上的函数f(x)，有下列四个命题：
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；
②若对任意x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；
④函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确命题的序号为________(把你认为正确命题的序号都填上)．
[解析] ①正确，若f(x)是奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，而函数f(x－1)的图象相当于把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所以函数f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；③正确，函数f(x)的图象相当于把函数f(x－1)的图象向左平移一个单位长度，所以f(x)为偶函数．
[答案] ①③ 直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．3．翻折变换
(1)对于y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象位于x轴及x轴上方的部分不变，下方的部分作关于x轴的对称翻折而得到，如图1，将y＝f(x)及y＝|f(x)|的图象分别绘在两个坐标系中对照； (2)y＝f(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与y＝f(x)图象相同，而y＝f(|x|)是偶函数，再在y轴左侧作右侧部分的对称图象即可．如图2所示．专题三 函数值域的求法
1．观察法
求下列函数的值域： [解析] (1)∵|x|≥0，∴2－|x|≤2.
∴函数y＝2－|x|的值域为(－∞，2]．
(2)①当x<0时，－2x＋1>1，即y>1.
②当x＝0时，y＝0.
③当x>0时，－3x2<0，即y<0.
∴原函数的值域为(－∞，0]∪(1，＋∞)．
[点评] 利用已学基本函数的值域，用直观的方法确定所求函数的值域是求值域的一种常用方法．2．配方法 [解析] (1)y＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，如图①所示，∴函数的值域为[－1，＋∞)．
(2)y＝(x－3)2－1，如图②所示．
∴函数的值域为(0,3)． (3)∵3＋2x－x2≥0，即－1≤x≤3，
设y1＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4.
如图③所示，当y1≥0，即－1≤x≤3时，函数有意义．
∴函数y1＝3＋2x－x2，x∈[－1,3]的值域为[0,4]，则原函数的值域为[0,2]．
[点评] (1)配方法是求值域的最基本的方法，利用配方法，可求二次函数及相关函数的值域．
(2)要确定值域，先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”的原则．3．换元法专题四 函数的零点与方程根的关系及应用
若函数y＝|x|－x－a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B． (－∞，0]
C．(－∞，1) D． (－∞，0)
[分析] 本题中的函数没有零点，且含有参数，可利用函数的零点与方程根的关系来求解．
[解析] 函数y＝|x|－x－a没有零点，
即方程|x|－x－a＝0无实数根，
也就是函数y＝|x|与y＝x＋a的图象没有交点．在同一坐标系中作出函数y＝|x|与y＝x＋a的图象，如图所示．
由图象可知，要使函数y＝|x|与y＝x＋a的图象没有交点，应满足a<0，故选D.
[答案] D
专题五 数学思想与方法
1．函数与方程思想
函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式(如单调性、最值等)或构造中间函数结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值，解(证)不等式、解方程以及讨论参数取值范围等问题．方程思想，是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型，加以解决． 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0且方程f(x)＝x有两相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(m2．数形结合思想
把数量关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，恰当地变更问题，使问题化难为易、化繁为简．这就是“数形结合”的根本特征．[答案] 2
3．分类讨论思想
分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，从而增加了题设条件，这也是解决分类问题的指导思想，根据题意，要适当划分讨论的层次． 已知函数f(x)＝x2－(2a－4)x＋2在[－1,1]内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．
[分析] 欲求f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)，需考察f(x)在[－1,1]上的单调性，而f(x)在[－1,1]上的单调性与对称轴相对于区间[－1,1]的位置有关，即对称轴在区间[－1,1]之左、之内、之右时，f(x)在[－1,1]上的单调性不同．因此需关于对称轴相对于区间[－1,1]上的位置展开讨论． [解析] 对二次函数式配方法，可得
f(x)＝[x－(a－2)]2－(a－2)2＋2，x∈[－1,1]．
其图象的对称轴为直线x＝a－2.
①当a－2<－1，即a<1时，函数f(x)在[－1,1]上单调递增，所以函数的最小值为g(a)＝f(－1)，即g(a)＝2a－1.
②当－1≤a－2≤1，即1≤a≤3时，函数的最小值为g(a)＝f(a－2)，即g(a)＝－(a－2)2＋2.4．赋值思想
对于有些抽象函数，往往利用赋值法可得其性质，将复杂问题简单化．
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题．因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开．抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图象的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题． 定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
求证：(1)f(0)＝1；
(2)对任意的x∈R，恒有f(x)>0. 课件54张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章章末归纳总结第三章知 识 结 构 学 后 反 思 专 题 研 究指数函数、对数函数和简单的幂函数是重要的基本初等函数，是高中数学函数部分的主体内容，是历届高考的重点．本章是在初中学习了整数指数幂及运算性质的基础上，引入了分数指数幂的概念，然后将分数指数幂推广到实数指数幂，进而研究指数、指数函数的概念及图象性质；对数运算、对数函数的概念及其图象和性质．另外，函数的实际应用是新课标增添的内容．但它的研究思想方法，一直是高中数学的重点及难点之一，也是高考中常见题型．函数建模时往往涉及很多因素，如果把涉及到的所有因素都考虑到，是不可能的，也没有必要，而且还会使问题复杂化而导致建模失败，要想把实际问题变为数学问题，需要对其进行必要的合理的简化和假设，梳理相应的数学问题即提出问题，有了数学问题，就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集到的信息来描述变量之间的关系，本章第4节即用函数模型来描述，即函数建模，最后还需将模型的结果与研究的实际问题作比较，以检验所建模型及计算过程的合理性，如果检验结果不符合实际，应该修改、补充，通常一个模型可以经过多次反复修改才能得到满意的结果．因此，函数建模的主要过程即为：在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比的方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的思想方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、发展过程中提高运用知识解决问题的能力．专题一 指数与指数幂运算，对数与对数运算
指数运算、对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章的主要考点，也是高考的必考内容．对于指数运算，首先要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为分数指数；其次若出现分式，则要注意分子、分母的因式分解，以达到约分的目的．对数运算要注意公式应用过程中范围的变化，保证前后的等价性．能熟练运用对数的运算法则及换底公式等化简计算． 已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．18 [答案] D 专题二 指数函数和对数函数的图象和性质
指数函数和对数函数是中学数学中两个重要的基本初等函数，它们的图象与性质始终是高考考查的重点，应熟练掌握图象的画法及形状，记熟性质．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图象与性质也随之改变，因此，在a的值不确定时，要对它们进行分类讨论． 已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )
[解析] 因为函数y＝log2x的反函数是y＝2x，所以f(x)＝2x.故f(1－x)＝21－x，因为此函数在R上是减函数，且过点(0,2)．因此选C.
[答案] C[答案] D
专题三 函数的实际应用
指数函数、对数函数和幂函数在实际问题中应用非常广泛，解决的关键是弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，确定数学模型，再利用相应的函数模型答题，最后还原为实际问题．专题四 数形结合思想
数形结合是高中数学中的一种重要的数学思想方法，这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．运用数形结合的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性原则． 方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝log2(x＋4)及y＝3x的图象，如图所示．由图象可知，它们的图象有两个交点，故选C. [答案] C
[点评] “数形结合”是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻找解决问题方法的一种数学思想．通常包括“以数解形”和“以形助数”两方面．
通过“以数解形”或“以形助数”，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，数形结合兼数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是基本的数学方法．[答案] a专题五 分类讨论思想
分类讨论问题的实质是把整体问题化为部分来解决，化成部分从而增加题设条件，这是解分类讨论问题的指导思想． 已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)和g(x)的大小．专题六 等价转化思想
数学问题中，已知条件是结论成立的保证，但有的问题已知条件和结论之间距离比较大，难于解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向需求结论靠拢，这就是解题过程中经常要做的工作，变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中的隐含因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题解决．
专题七 函数与方程的思想
在解决数学问题时，对于一些从形式上看是以非方程的问题出现的，但经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到很好的解决．这一思想方法我们称之为“方程思想”． 已知1A．aC．c[分析] 将a、b化简变形，再比较大小． [答案] D 方程ax＋x2＝2(a>0，a≠1)的解的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．无法判定
[分析] 作出函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝2－x2的图象． [解析] ∵ax＋x2＝2，∴ax＝2－x2.
令y1＝ax(a>0，a≠1)，y2＝2－x2，
分别作出两函数的图象如图．
当a>1时 当0故选C.
[答案] C
[点评] 一般无法直接解出指、对数与整式混合一起的方程的解．此时可考虑建立函数关系，应用函数与方程的思想解题．
专题八 换元思想
换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．本章中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题，特别要注意换元后u的取值范围． 解方程logx－log5x2－3＝0.
[分析] 若设log5x＝u，则方程可化为一元二次方程u2－2u－3＝0，解此方程求出u，即可求出相应的x的值．