2024北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习--专题强化练8　统计思想的应用

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2024北师大版新教材高中数学必修第一册
第六章　统计
专题强化练8　统计思想的应用
1.(2020山东日照期末)某班由编号分别为01,02,03,…,50的50名学生组成,现在要选取8名学生参加合唱团,选取方法是从如下随机数表的第1行第11列开始由左到右依次选取两个数字,则该样本中选出的第8名学生的编号为(　　)
49　54　43　54　82　17　37　93　23　78
30　35　20　96　23　84　26　34　91　64
50　25　83　92　12　06　76　57　23　55
A.20 B.23 C.26 D.34
2.某商城一年中各月份的收入、支出(单位:万元)情况的统计如图所示,下列说法正确的是　(　　)
A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
B.支出最高值与支出最低值的比是3∶1
C.7至9月份的平均支出为50万元
D.利润最高的月份是2月份
3.甲、乙两组各八名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)如下:
甲:9,16,25,18,24,x,27,24;
乙:8,17,y,13,24,28,20,22.
已知甲组数据的25%分位数为14,乙组数据的平均数为18.5,则x,y的值分别为(　　)
A.12,16 B.12,18
C.14,16 D.14,18
4.某学校一学期的总支出分布如图1所示,在该学期的水、电、交通支出(单位:万元)如图2所示,则该学期的水、电支出占总支出的百分比为(　　)
　　　　　　图1　　　　　　　　图2
A.12.25% B.16.25%
C.11.25% D.9.25%
5.a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则M与P的大小关系是(　　)
A.M=P B.M>P
C.M

6.(多选)(2021山东淄博零模)为了更好地支持“中小型企业”的发展,某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.现调查了当地的100家中小型企业年收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图,则下面结论正确的是(　　)
A.样本在区间[500,700]内的频数为18
B.如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策,估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策
C.样本的中位数小于350万元
D.估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
7.(2020山东聊城期末)为了了解某设备生产产品质量的稳定性,现随机抽取了10件产品,其质量(单位:克)如下:495,500,503,508,498,500,493,500,503,500,质量落在区间[-s,+s](表示质量的平均值,s为标准差)内的产品件数为　　　　.
8.已知总体的各个个体的值由小到大依次为3,7,a,b,17,20,且总体的中位数为12,若要使该总体的标准差最小,则a=　　　　.
9.某学校餐厅有大米500袋,其中甲厂的产品有320袋,乙厂的产品有180袋.餐厅监管员为了得到这500袋大米的质量信息,采用分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:kg),计算得出甲厂样本数据的平均数为100 kg,方差为20,乙厂样本数据的平均数是100 kg,方差是30.
(1)根据以上信息,能够计算出总的样本数据的平均数和方差吗 为什么
(2)如果已知甲、乙两厂的样本量按比例分配,你能计算出总的样本数据的平均数和方差各为多少吗
(3)如果已知甲、乙两厂的样本量都是30,你能计算出总的样本数据的平均数和方差各为多少吗 它们分别作为总体的平均数和方差的估计值合适吗 为什么
10.(2020全国专题练习)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组,第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人.
(1)求x;
(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数);
(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1~5组,从这5个按年龄分的组和这5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1~5组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1~5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;
②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.
答案与分层梯度式解析
第六章　统计
专题强化练8
统计思想的应用
1.D　从样本中选出来的8名学生的编号分别为17,37,23,30,35,20,26,34.故该样本中选出的第8名学生的编号为34.
2.A　2至3月份的收入的变化率为=-20,11至12月份的收入的变化率为=-20,故A正确;
支出最高值是2月份60万元,支出最低值是5月份10万元,故支出最高值与支出最低值的比是6∶1,故B错误;
7,8,9月每个月的支出分别为20万元,40万元,40万元,故这三个月的平均支出为=(万元),故C错误;
利润最高的月份是3月份和10月份,都是30万元,高于2月份的利润20万元,故D错误.故选A.
3.A　将甲组除x外的7个数据从小到大排列:9,16,18,24,24,25,27,因为8×25%=2,所以14×2=16+x,所以x=12.因为18.5=×(8+17+y+13+24+28+20+22),所以y=16.
4.B　由题图2知,水、电支出占水、电、交通支出的比例为=,
由题图1知,水、电、交通支出占该学期总支出的比例为,
因此该学期的水、电支出占该学期总支出的百分比为×==16.25%.
5.B　由题意得a+b+c=3M,a+b=2N,N+c=2P,
∴M=,N=,P=.
又∵a>b>c,∴a+b>2c,
∴M-P=-=-=>0,
∴M>P.故选B.
6.AB　由题中频率分布直方图得,100×(0.001+0.002+0.002 6×2+a+0.000 4)=1,解得a=0.001 4,所以样本在区间[500,700]内的频数为100×(0.001 4+0.000 4)×100=18,故选项A正确;
年收入在300万元以内的企业的频率为100×(0.001+0.002)=0.3,故选项B正确;
100×(0.001+0.002)=0.3<0.5,100×(0.001+0.002+0.002 6)=0.56>0.5,故中位数位于区间[300,400)内,设中位数为x万元,则(x-300)×0.002 6=0.5-0.3,解得x≈377>350,故选项C错误;
150×0.1+250×0.2+350×0.26+450×0.26+550×0.14+650×0.04=376<400,故选项D错误.故选AB.
7.答案　7
解析　由题意得=×(495+500+503+508+498+500+493+500+503+500)=500,
s2=×(25+9+64+4+49+9)=16,所以s=4,则区间[-s,+s]即为[496,504],落在该区间内的产品件数为7.
8.答案　12
解析　∵数据是由小到大排列的,∴7≤a≤b≤17.
又总体的中位数为12,∴=12,即a+b=24.
∴总体的平均数==.
要使该总体的标准差最小,则+=+=2a2-48a+=2(a-12)2+最小,则a=12.
9.解析　(1)根据题设条件可以得到总的样本数据的平均数是100 kg.不能得出总的样本数据的方差,因为不知道甲、乙两厂的产品各抽取了多少袋.
(2)能.总的样本数据的平均数=100 kg,
总的样本数据的方差s2=×(320×20+180×30)=23.6.
(3)总的样本数据的平均数为100 kg.
总的样本数据的方差为×(20×30+30×30)=25.
甲、乙两厂样本数据的平均数都是100 kg,总的样本数据的平均数也是100 kg,所以用100 kg作为总体的平均数合适.但用25作为总体的方差不合适.因为分层随机抽样中,未按照比例抽样,总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同,因而样本的代表性差,所以作为总体的方差估计值不合适.
10.解析　(1)根据题中频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5=0.05,∴=0.05,∴x=120.
(2)设中位数为a岁,则0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5,∴a=≈32,∴抽取的x人的年龄的中位数约为32岁.
(3)①5个年龄组的平均数为×(93+96+97+94+90)=94(分),方差为×[(-1)2+22+32+02+(-4)2]=6.
5个职业组的平均数为×(93+98+94+95+90)=94(分),方差为×[(-1)2+42+02+12+(-4)2]=6.8.
②评价:从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更好.
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