2024北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习--专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师大版新教材高中数学必修第一册
第一章　预备知识
专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值
　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021江苏南京师范大学附属中学月考)已知a>b>1,且b=,则a+的最小值为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(2022吉林长春北师大附属学校月考)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　)
A.1 B.3
C.6 D.9
3.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为　　(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
4.(2021江苏苏州新草桥中学月考)正数a,b满足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.m≥3 B.m<3
C.m<6 D.m≥6
5.(2021山东新高考联盟联考)已知1A.3+9 B.+6
C.6+9 D.12
6.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则的最小值为　　　　.
7.(2022江苏镇江一中段考)若m>0,n>0,则n++的最小值为　　　　.
8.(2022重庆缙云教育联盟质检)已知正实数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,求x+y的最小值.
9.已知x>0,y>0.
(1)若不等式++≥0恒成立,求实数m的最小值;
(2)若x+y=1,+≥9恒成立,求正实数a的最小值.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
专题强化练1
利用基本不等式求最大(小)值
1.A　∵a>b>1,b=,
∴a+=a+=a-1++1≥2+1=3,
当且仅当a-1=,即a=2时取等号,故a+的最小值为3.故选A.
2.B　由x2+2xy-3=0,可得y=,
则2x+y=2x+==+≥2=3,当且仅当x=1,y=1时取“=”.
故2x+y的最小值是3.故选B.
解题模板
　　求含有条件的关于两个变量的表达式的最大(小)值,往往先找出条件与待求式的关系,得到定值,再利用基本不等式求解.若解题时找不到定值,可先利用条件消去一个变量,再利用基本不等式得出最值.
3.B　∵a>0,b>0,+=1,
∴a>1,b>1,a+b=ab,
∴>0,>0,
∴+≥2=2=4,
当且仅当=,即a=,b=3时,等号成立.故选B.
4.A　因为正数a,b满足9a+b=ab,所以+=1,
所以a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,
当且仅当=,即a=4,b=12时取等号,
所以(a+b)min=16,
若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,
则16≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,
即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立,
因为-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,所以m≥3.故选A.
5.C　∵10,4-3m>0,
∴+=[(3m-3)+(4-3m)]=9++≥9+6,
当且仅当=,即m=时取等号.故选C.
6.答案　9
解析　由x>0,y>0,且x+4y=1,
可得=+=(x+4y)=5++≥5+2=9,
当且仅当x=2y,即x=,y=时取等号,
所以的最小值为9.
7.答案　4
解析　∵m>0,n>0,
∴n++≥n+2=n+≥2=4,当且仅当n=2m=2时,等号同时成立.
8.解析　因为x>0,y>0,所以x+3y-1>-1,2x+y-1>-1,
因为(x+3y-1)(2x+y-1)=1,
所以x+3y-1>0,2x+y-1>0,
因此x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+
≥2+=,
当且仅当(x+3y-1)=(2x+y-1),
即即时取等号,
所以x+y的最小值为.
导师点睛
　　题中条件是积(x+3y-1)(2x+y-1)为定值,求和x+y的最小值,关键是将x+y用条件中的两个因式表示,可用待定系数法求解,令x+y=m(x+3y)+n(2x+y)(m,n∈R),可得x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+,然后利用基本不等式求解最值即可.
9.解析　(1)∵x>0,y>0,++≥0恒成立,
∴(x+y)≥-m恒成立,
又(x+y)=2++≥4,当且仅当x=y时取等号,∴-m≤4,∴m≥-4,
∴实数m的最小值为-4.
(2)∵+≥9恒成立,∴≥9,
又x>0,y>0,a>0,x+y=1,
∴+=(x+y)=a+1++≥a+1+2=(+1)2,当且仅当y=x时,等号成立,
∴≥9,∴+1≥3,∴a≥4.
∴正实数a的最小值为4.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)