2024北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习--专题强化练3　求函数的最大(小)值

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2024北师大版新教材高中数学必修第一册
第二章　函数
专题强化练3　求函数的最大(小)值
1.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x.若该公司在两地共销售15辆该品牌车,则能获得的最大利润为(　　)　　
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
2.(多选)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(　　)
A. f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1
B. f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值
C. f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5
D. f(x)在区间[0,a](a>1)上的最大值为f(a)
3.若函数f(x)=将函数y=|f(x)-f(t)|,x∈[m,n]的最大值记作Zt[m,n],则当-2≤m≤2时,[m,m+4]的取值范围是(　　)
A.[5,14] B.[5,16]
C.[2,14] D.[2,16]
4.(2021江苏徐州一中期中)某兴趣小组进行数学探究活动,将边长为1的正三角形纸片沿平行于三角形一边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=×.
(1)当梯形的腰长为时,S的值为　　　　;
(2)S的最小值是　　　　.
5.已知函数f(x)=x2-(2+3a)x+5,x∈[0,3].
(1)当a=1时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)若f(x)在区间[0,3]上的最大值为14,求实数a的值.
6.(2021安徽合肥八中期中)已知函数f(x)=ax+2(a>0),g(x)=,若 x1∈[-1,2], x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
7.某企业开发、生产了一款新型节能环保产品,并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元,每生产一台需另投入380元.设该企业一年内生产该产品x(x>0)万台且能全部售完,每万台的销售收入为R(x)万元,且R(x)=
(1)写出年利润S(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(利润=销售收入-成本)
(2)当年产量为多少万台时,该企业获得的年利润最大 并求出最大年利润.
8.请先阅读下列材料,然后回答问题.
对于问题“已知函数f(x)=,问函数f(x)是否存在最大值或最小值 若存在,求出最大值或最小值;若不存在,请说明理由”,一个同学给出了如下解答:令u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4,当x=1时,u有最大值,umax=4,显然u没有最小值.故当x=1时, f(x)有最小值,没有最大值.
(1)你认为上述解答是否正确 若不正确,说明理由,并给出正确的解答;
(2)试研究函数y=的最值情况;
(3)试研究函数f(x)=(a>0)的最值情况.
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
专题强化练3
求函数的最大(小)值
1.C　设该公司在甲地销售m(0≤m≤15,且m∈N)辆该品牌车,则在乙地销售(15-m)辆.
设公司获利L万元,
则L=L1+L2=-m2+21m+2(15-m)=-m2+19m+30=-+30+,
所以当m=9或m=10时,L取得最大值120,即该公司在两地共销售15辆该品牌车时,能获得的最大利润为120万元.故选C.
2.BC　函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.
在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误;
在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5, f(2)=2, f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,B正确;
在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确;
在选项D中,当13.A　由f(x)=得f =2,
则t=时,y=|f(x)-f(t)|=|f(x)-2|.
作出函数f(x)的图象如图所示:
当-2≤m≤-1时,m+4∈[2,3],ymax=|f(-1)-2|=5;
当-1则[m,m+4]∈(5,14],
故[m,m+4]的取值范围是[5,14].故选A.
4.答案　(1)　(2)6+4
解析　由题意可知,将正三角形纸片剪成了一个小正三角形和一个等腰梯形.
设剪成的小正三角形的边长为x(0所以S=×=4×(0(1)当梯形的腰长为,即x=时,S=4×=.
(2)令3-x=t,则t∈(2,3),
故S=4×=4×≥4×=6+4,当且仅当t=,即t=2时等号成立,
所以S的最小值是6+4.
5.解析　(1)当a=1时,f(x)=x2-5x+5=-,x∈[0,3],
易得函数y=x2-5x+5的图象开口向上,对称轴为直线x=,
所以f(x)min=f =-.
又f(0)=5,f(3)=-1,所以f(x)max=f(0)=5.
(2)易得y=x2-(2+3a)x+5的图象开口向上,对称轴为直线x=.
当≤,即a≤时, f(x)max=f(3)=8-9a,令8-9a=14,解得a=-;
当>,即a>时,f(x)max=f(0)=5≠14,不符合题意,舍去.
综上可得,a=-.
6.解析　因为 x1∈[-1,2], x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,
所以g(x)的值域是f(x)值域的子集.
当x∈[2,3]时,g(x)=的值域为[1,2],
当x∈[-1,2]时, f(x)=ax+2(a>0)的值域为[-a+2,2a+2],
要满足g(x)的值域是f(x)值域的子集,
则解得a≥1,
故实数a的取值范围为[1,+∞).
7.解析　(1)当0当x>20时,S(x)=xR(x)-(380x+150)=370x+2 140--380x-150=-10x-+1 990,
∴S(x)=
(2)当0∴函数S(x)在(0,20]上单调递增,
∴当x=20时,S(x)取得最大值,最大值为1 450.
当x>20时,S(x)=-10x-+1 990
=-+1 990≤-2+1 990=-500+1 990=1 490,
当且仅当10x=,即x=25(负值舍去)时,等号成立,故S(x)的最大值为1 490.
∵1 490>1 450,∴当年产量为25万台时,该企业获得的年利润最大,最大年利润为1 490万元.
8.解析　(1)不正确.没有考虑到u还可以小于0.
正确解答如下:令u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4≤4,易知u≠0,
当0当u<0时,<0,即f(x)<0.
∴f(x)<0或f(x)≥,即f(x)既无最大值,也无最小值.
(2)∵x2+x+2=+≥,∴0∴函数y=有最大值,无最小值.
(3)对于函数f(x)=(a>0),
令t=ax2+bx+c,t≠0.
①当Δ>0时,t有最小值,tmin =<0,
当≤t<0时,≤,即f(x)≤;
当t>0时, f(x)>0.
∴f(x)>0或f(x)≤,
故f(x)既无最大值,也无最小值.
②当Δ=0时,t有最小值,tmin==0,又t≠0,∴t>0,此时>0,即f(x)>0,
故f(x)既无最大值,也无最小值.
③当Δ<0时,t有最小值,tmin=>0,即t≥>0,
∴0<≤,即0∴当x=-时, f(x)有最大值,没有最小值.
综上,当Δ≥0时, f(x)既无最大值,也无最小值;当Δ<0时, f(x)有最大值,此时x=-,没有最小值.
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