课件18张PPT。二次函数的图象与性质
第3课时 1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程.
2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
3.能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
4.能够正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.1.函数 的图象的顶点坐标是 ；
开口方向是 ；最 值是 .
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数 的
图象向 平移 个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数
__________的图象.(0,3)小向上3y=-2x2上3y=-3x2-2在同一坐标系中画出下列函数
的图象：思考：它们的图象之间有
什么关系？探究一函数 的图象函数 的图象函数 的图象向上平移2个单位向右平移1个单位【解析】函数y=a（x-h）2的图象对称轴是 直线x=h ；顶点是（h ，0）函数 的图象函数y=a（x-h）2的图象：0xy（h ，0）函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象关系：【归纳升华】（h ，0）1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的_______相同，
_________不同.
2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的______相同，
_________不同.
3.抛物线y =3x2+5的开口_______，对称轴是______，
顶点坐标是____________.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口__________，对称轴是___________，顶点坐标是_____________.形状形状位置位置向上向下y 轴直线x =－1(0，5)(－1，0)【跟踪训练】画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象，并与二次函数y=3x2的图象进行比较，说明它们之间的关系.探究二函数 的图象函数 的图象函数 的图象函数 的图象的图象的图象的图象的图象对称轴：直线x= h顶点： (h，k)【规律方法】 （当k,h都大于0时）的图象特点. 顶点坐标 对称轴 开口方向 抛物线向上向上向上向上向上向下向下y 轴(或直线x=0)y 轴(或直线x=0)直线x=－1直线x=1直线x=1直线x=－1直线x=h(h ，k)(1，2)(－1，－2)(1，－2)(－1，2)(0，2)(0，0)【跟踪训练】1.（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ).
A.y=(x－2)2+1 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x－2)2－3 D.y=(x+2)2－3
【解析】选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A，C符合，再根据图象经过点(0，1)知选项C符合. 2．（西宁·中考）将抛物线向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为
_______________.【答案】3．（襄樊·中考）将抛物线 先向上平移
2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表
达式为____________．或【答案】【答案】选B. 4．（宁夏·中考）把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）B.C.D.A.5．（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…,则
E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？
（ ）A.向上平移１个单位 B.向下平移１个单位
C.向左平移１个单位 D.向右平移１个单位【答案】选D.向上直线x=h(h,k)向下直线x=h(h,k)1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.抓着今天，你就会前进一步；丢弃今天，你就会停滞不动. 课件27张PPT。二次函数的图象与性质
第4课时 2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y=2(x－3)2 －5(2)y=－0.5(x+1)2(3) y = 3(x+4)2+22.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？【解析】1.（1）开口：向上，对称轴：直线x=3,顶点坐标（3，-5）（2）开口：向下，对称轴：直线x=-1,顶点坐标（-1，0）（3）开口：向上，对称轴：直线x=-4,顶点坐标（-4，2）2.（1）由y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位.（2）由y=-0.5x2向左平移1个单位.（3）由y=3x2向左平移4个单位，再向上平移2个单位.我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 那是怎样平移的呢？y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2只要将表达式右边进行配方就可以知道了.配方后的表达式通常称为配方式或顶点式这个结果通常称为顶点坐标公式.二次函数y=ax2+bx+c的顶点式【探究新知】因此,二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.结论 顶点坐标公式根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 【跟踪训练】【解析】（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-5）.（2）对称轴为直线x=8,顶点坐标为（8，1）.（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y= x2+ x+10
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
你有哪些计算方法？与同伴进行交流.【例题】（1）将函数y= x2+ x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.【解析】方法一（2）（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.方法二确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.【跟踪训练】【解析】（1）开口：向上，对称轴：直线x=1, 顶点坐标为（1，0）.（2）开口：向上，对称轴：直线x=1, 顶点坐标为（1，-3）.（3）开口：向上，对称轴：直线x=1, 顶点坐标为（1，-1）.（4）开口：向上，对称轴：直线x=0.5, 顶点坐标为（0.5，
-2.25）.（5）开口：向下，对称轴：直线x=-6, 顶点坐标为（-6，27）.1. （菏泽·中考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A , B, C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A.a+b=-1 B.a-b=-1
C.b<2a D.ac<0
【解析】选B.∵抛物线开口向上，∴a＞0, ∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，故D错；∵OA=OC=1，∴A，C两点的坐标分别为（-1，0），（0，1），∴当x=0时，y=1，即c=1；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a-b=-c=-1，故B对；由图象可知x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴a+b＞-1，故A错；
∵对称轴 ，∴b＞2a，故C错.2.（鄂州·中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0．其中正确的个数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4【答案】选C. A.0，5 B.0，1
C.-4，5 D.-4，1，的值分别为（ ）3．（安徽·中考） 若二次函数配方后为则【答案】选D.4．（福州·中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.a＞0 B.c＜0
C.b2－4ac＜0 D.a＋b＋c＞0【答案】选D. xyO【答案】选D.
6．（株洲·中考）已知二次函数(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a=-1, a=0, a=1, a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是 .【答案】【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2(a≠0)的关系1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最大(或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右侧,y随 x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随 x的增大而减小 .2.不同点: (1)位置不同.
(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和 0.3.联系: (a≠0) 的图象可以看成y=ax2的
图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位（当
时向右平移，当 时向左平移）,再沿对称轴
整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时
向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随x的增大而减小. 根据图形填表：希望不能和忧愁结伴，忧愁会拖后腿，希望和欢乐交朋友，欢乐会催你前行.
——冰心 课件17张PPT。2 二次函数的图象与性质 第1课时1.探索经历二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
3.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象间的联系. 1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.（1）列表.（3）连线.（2）描点.2.画函数图象的主要步骤是什么？请你画出二次函数 y=x2 的图象.1.列表：… －3 －2 －1 0 1 2 3 …… 9 4 1 0 1 4 9 … xyO-4-3-2-11234108642y=x22.描点3.连线议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≥0.
（3）当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.
（4）当 x= 0时，y最小值= 0.
（5）图象关于y轴对称.xyoy=x2xyoy=x2 函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.揭示新知二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.xyoy=x2 做一做说说二次函数y=-x2的图象
有哪些性质,与同伴交流.
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≤0.
（3）当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
（4）当x=0时，y最大值=0.
（5）图象关于y轴对称.oxyy=－x2 议一议1.抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是
.在 侧,y随着x的增大而增
大；在 侧,y随着x的增大而减小,当
x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛
物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).2.抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0【跟踪训练】【答案】选C.1．（盐城·中考）给出下列四个函数：；②；③；④①时y随x的增大而减小的函数有（ ）A.1 B.2个 C.3个 D.4个2．（盐城·中考）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ．【答案】y=x2-2x（答案不唯一）3．（烟台·中考）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（ ）【答案】选D. tsAtsBtsCtsDOOOOA.（4，4） B.（1，－4）
C.（2，0） D.（0，4）4．（哈尔滨·中考）在抛物线上的一个点是（ ）【答案】选C. 1.函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口方向是由a的符号决定的，a＜0开口向下,a＞0开口向上，图象是关于y轴对称的轴对称图形.2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低（高）点.【规律方法】二次函数y=±x2的性质１.顶点坐标与对称轴.２.位置与开口方向.３.增减性与最值.o奋斗就是生活，人生只有前进。
——巴金 课件30张PPT。二次函数的图象与性质
第2课时的图象，并能够比较它们1.能作出二次函数和与对二次函数图象的影响.的图象的异同，理解2.能说出二次函数和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.函数y=x2和y=-x2的图象x24-2y=x2y=-x2图象形状 开口方向对称轴顶点坐标抛物线抛物线向上向下y轴y轴(O,0)(O,O)yo-2-42晴天刹车距离s晴= v2雨天刹车距离s雨= v2你能作出 的图象吗？s雨= v2s雨= v2s晴＝ v2,列表做一做答：都在s轴的右侧.s晴＝ v2s雨＝ v2【合作探究】2.如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？112
96
80
64
48
32
16
s晴＝ v2s雨＝ v2【解析】如图，s=s雨-s晴
3.在某一个雨天，有一个司机在限速为30km/h的路口停了下来，这时过来一个警察告诉他超速驾驶了，可他说没有，如果他的刹车距离为32m,你认为他有没有撒谎？s晴＝ v2s雨＝ v2【解析】由图可
知当刹车距离是
32m时速度是40km/h,所以该司机超速.即该司机撒谎.··探究一 在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象问题：它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？yx26481002-2-4 y=x2··y=2x2图象形状 开口方向对称轴顶点坐标抛物线向上y轴（0，0）抛物线向上（O，O）y轴【解析】yx264810O2-2-4y=x2y=2x2y=-x2y=-2x24问题：它们与二次函数y=x2和y=2x2的图象又有什么异同？在下列平面直角坐标系中，
作出y=-x2及y=-2x2的图象做一做图象形状 开口方向对称轴顶点坐标抛物线向上y轴（0，0）抛物线向下（O，O）y轴抛物线向上（0，0）y轴抛物线向下（0，0）y轴【解析】 函数y=3x2及y=-3x2的图象会有哪些特点？图象形状 开口方向对称轴顶点坐标抛物线向上y轴（0，0）抛物线向下（O，O）y轴探究二y=ax2 （a≠0）的图象是一条抛物线，y=ax2（a≠0）的图象有哪些特征？yx26481002-2-4y=x2y=2x2y=-x2y=-2x2其顶点坐标是（0，0）对称轴是y轴（也可写作直线x=0）当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下随着 ︱a︱的增大，开口将越来越小探究三二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？动手验证一下你的想法.探究四yx2648024-2-4-2二次函数y=-3x2+ , y=-3x2- 的图象与二次函数y=-3x2 的图象有什么关系？探究五二次函数y=-3x2+ 由二次函数y=-3x2的图象向
上平移 个单位二次函数y=-3x2- 由二次函数y=-3x2的图象向
下平移 个单位【解析】二次函数y=ax2（a≠0）的图象与y=ax2+c（a≠0）的图象有什么异同？探究六y=ax2+c的图象是由 y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0 时，向上平移c个单位;
当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.抛物线a>0向上,a<0向下y轴（0，0）抛物线a>0向上,a<0向下y轴（0，c）y=ax2及y=ax2+c（a≠0）的图象和性质【规律方法】1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的
时间t(s)的关系为h=4.9t2, h是t的________函数，它的
图象是_________________________，顶点坐标为_______.
2.上题中若物体从100米高的地方落下，它离地面的高
度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=100-4.9t2,则h是t的
_____函数，图象是_______________________，顶点
坐标是___________.二次抛物线在第一（0，0）二次抛物线在第一象限的部分（0，100）象限的部分【跟踪训练】（乐山·中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减”即自变量加减左右移.A．3 B．2 C．1 D．0【答案】选B.3．坐标平面上有一函数y=24x2?48的图象，其顶点坐标为（ ）
A.(0，?2) B.(1，?24)
C.(0，?48) D.(2，48) 【答案】选C. 4．（郴州·中考）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________．【答案】y=x2－15．（西宁·中考）小汽车刹车距离s（m）与速
度v（km/h）之间的函数关系式为一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆
故障车，此时刹车 有危险（填“会”或
“不会”）. 【答案】会(1)y=ax2的图象是一条抛物线.(2)其顶点坐标是（0，0）.(3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）.(4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.随着︱a︱的增大，开口将越来越小.1.y=ax2(a≠0)的图象的特征2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0 时，向上平移c个单位;
当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.人要学会走路，也得学会摔跤，
而且只有经过摔跤才能学会走路.
——马克思
