第二章 二次函数的复习课件
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课件55张PPT。数学·新课标（BS）第2章复习1第2章复习1 ┃ 知识归类┃知识归纳┃数学·新课标（BS）1．二次函数的概念
一般地，形如 (a，b，c是常数， )的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2．二次函数的图象
二次函数的图象是一条 ，它是轴对称图形，其对称轴平行于 轴．y＝ax2＋bx＋ca≠0抛物线y第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．
3．二次函数的性质第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）开口向上 开口向上 开口向下 开口向下 (h，k) 第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）减小 增大 减小 增大 增大 减小 增大 减小 第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）4.二次函数图象的平移
一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．? 考点一 二次函数的定义应用 第2章复习1 ┃ 考点攻略┃考点攻略┃数学·新课标（BS）例1 已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点二 二次函数图象的平移例2 如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.－6 6 第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点三 二次函数与一次函数的综合应用 例3 已知矩形ABCD
中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)．
(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；
(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；
(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
(4)△PEB的面积与△PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] 利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点四 二次函数的图象和性质的应用 例4 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定A [解析] A 结合图形，找到A、O、B、C四个点的大致位置，容易看出y1与y2的大小关系．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点五 求二次函数的表达式 例5 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图X2－2所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．
(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．[解析] 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点六 二次函数和其他知识的综合应用例6 如图X2－3，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] 把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a和c的值，△ABP的周长中的边长AB是确定的，只要求出PA与PB的和最小即可，因此要把PA和PB转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）图X2－4第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）数学·新课标（BS）第2章复习2第2章复习2 ┃ 知识归类┃知识归纳┃数学·新课标（BS）1．利用二次函数求最值的问题
(1)利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤．
利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：
①找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)；
②求出该二次函数图象的顶点坐标；
③由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．
(2)产量最大化——体会利用二次函数求解最值的几种方式．第2章复习2┃ 知识归类数学·新课标（BS）产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决．也可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值．
[注意] 在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；也可以运用“数形结合”的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值．
(3)与图形有关的最值问题
直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了．第2章复习2┃ 知识归类数学·新课标（BS）[警示] 在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方．
2．二次函数与一元二次方程的关系
对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c，只要令y等于某个具体的数y0，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为y0的点的横坐标．
特殊地，如果令y值为0，所得方程为ax2＋bx＋c＝0，该方程的解是抛物线与x轴交点的横坐标．若方程无解，则说明抛物线与x轴无交点．第2章复习2┃ 知识归类数学·新课标（BS）二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0，得：ax2＋bx＋c＝0.
当b2－4ac＞0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与x轴有 个交点；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与x轴只有 个交点(即顶点)；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点．两一? 考点一 一元二次方程与二次函数的关系 第2章复习2 ┃ 考点攻略┃考点攻略┃数学·新课标（BS）B第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点二 二次函数与图形面积 例2 如图X2－8，苗圃的形状是直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD.其中AB，AD是已有的墙，∠BAD＝135°，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，问：当x取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] 从题中已知梯形(除去一腰)的长和一个特殊角∠BAD＝135°，这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出函数解析式．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点三 二次函数与几何图形例3 如图X2－10，在矩形ABCD中，AB＝m(m是大于0的常数)，BC＝8，E为线段BC上的动点(不与B，C重合)．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] (1)设法证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y关于x的函数关系式；(2)将m的值代入(1)中的函数关系式，配方化成顶点式后求最值；(3)逆向思考，当△DEF是等腰三角形，因为DE⊥EF，所以只能是EF＝ED，再由(1)可得Rt△BFE≌Rt△CED，从而求出m的值．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点四 二次函数与生活应用 例4 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点五 二次函数与体育活动第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] 解决这个问题的关键是正确地进行数学建模，将运动员在空中的运动路线抽象为所给出的直角坐标系中的抛物线，用待定系数法求出表达式，再利用函数知识求解．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）
一般地，形如 (a，b，c是常数， )的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2．二次函数的图象
二次函数的图象是一条 ，它是轴对称图形，其对称轴平行于 轴．y＝ax2＋bx＋ca≠0抛物线y第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．
3．二次函数的性质第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）开口向上 开口向上 开口向下 开口向下 (h，k) 第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）减小 增大 减小 增大 增大 减小 增大 减小 第2章复习1 ┃ 知识归类数学·新课标（BS）4.二次函数图象的平移
一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．? 考点一 二次函数的定义应用 第2章复习1 ┃ 考点攻略┃考点攻略┃数学·新课标（BS）例1 已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点二 二次函数图象的平移例2 如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.－6 6 第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点三 二次函数与一次函数的综合应用 例3 已知矩形ABCD
中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)．
(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；
(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；
(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
(4)△PEB的面积与△PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] 利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点四 二次函数的图象和性质的应用 例4 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定A [解析] A 结合图形，找到A、O、B、C四个点的大致位置，容易看出y1与y2的大小关系．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点五 求二次函数的表达式 例5 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图X2－2所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．
(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．[解析] 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点六 二次函数和其他知识的综合应用例6 如图X2－3，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] 把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a和c的值，△ABP的周长中的边长AB是确定的，只要求出PA与PB的和最小即可，因此要把PA和PB转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）图X2－4第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）数学·新课标（BS）第2章复习2第2章复习2 ┃ 知识归类┃知识归纳┃数学·新课标（BS）1．利用二次函数求最值的问题
(1)利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤．
利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：
①找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)；
②求出该二次函数图象的顶点坐标；
③由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．
(2)产量最大化——体会利用二次函数求解最值的几种方式．第2章复习2┃ 知识归类数学·新课标（BS）产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决．也可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值．
[注意] 在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；也可以运用“数形结合”的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值．
(3)与图形有关的最值问题
直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了．第2章复习2┃ 知识归类数学·新课标（BS）[警示] 在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方．
2．二次函数与一元二次方程的关系
对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c，只要令y等于某个具体的数y0，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为y0的点的横坐标．
特殊地，如果令y值为0，所得方程为ax2＋bx＋c＝0，该方程的解是抛物线与x轴交点的横坐标．若方程无解，则说明抛物线与x轴无交点．第2章复习2┃ 知识归类数学·新课标（BS）二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0，得：ax2＋bx＋c＝0.
当b2－4ac＞0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与x轴有 个交点；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与x轴只有 个交点(即顶点)；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点．两一? 考点一 一元二次方程与二次函数的关系 第2章复习2 ┃ 考点攻略┃考点攻略┃数学·新课标（BS）B第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点二 二次函数与图形面积 例2 如图X2－8，苗圃的形状是直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD.其中AB，AD是已有的墙，∠BAD＝135°，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，问：当x取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] 从题中已知梯形(除去一腰)的长和一个特殊角∠BAD＝135°，这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出函数解析式．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点三 二次函数与几何图形例3 如图X2－10，在矩形ABCD中，AB＝m(m是大于0的常数)，BC＝8，E为线段BC上的动点(不与B，C重合)．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] (1)设法证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y关于x的函数关系式；(2)将m的值代入(1)中的函数关系式，配方化成顶点式后求最值；(3)逆向思考，当△DEF是等腰三角形，因为DE⊥EF，所以只能是EF＝ED，再由(1)可得Rt△BFE≌Rt△CED，从而求出m的值．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点四 二次函数与生活应用 例4 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）? 考点五 二次函数与体育活动第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）[解析] 解决这个问题的关键是正确地进行数学建模，将运动员在空中的运动路线抽象为所给出的直角坐标系中的抛物线，用待定系数法求出表达式，再利用函数知识求解．第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习2 ┃ 考点攻略数学·新课标（BS）