北师大九年级下2.5二次函数与一元二次方程同步练习（含答案）

2.5二次函数与一元二次方程
一、选择题
1．如图2－128所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则一次函数y=ax－b的图象不经过 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若a与c异号，则其图象与x轴的交点个数为 ( )
A．2个 B．1个
C．0个 D．不能确定
3．根据下列表格的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的取值范围是 ( )
A．3＜x＜3.23 B．3．23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
4．函数的图象如图l－2－30，那么关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根 D．无实数根
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5．二次函数的图象如图l－2－31所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，bc＞0，△＜0 B.a＜0，bc＞0，△＜0
C．a＞0，bc＜0，△＜0 D.a＜0，bc＜0，△＞0
6．函数的图象如图 l－2－32所示，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0 B．b2－4ac＞0
C、的两根之和为负
D、的两根之积为正
7.不论m为何实数，抛物线y=x2－mx＋m－2（ ）
A．在x轴上方 B．与x轴只有一个交点
C．与x轴有两个交点 D．在x轴下方
二、填空题
8．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图 2－129所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为 ．
9．若抛物线y=kx2－2x＋l与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
10．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴只有一个交
点，则这个交点的坐标是 .
11．已知函数y=kx2－7x—7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是
12．直线y=3x—3与抛物线y=x2 －x+1的交点的个数是 .
三、解答题
13.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.
14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为B(6,5).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)该男生把铅球推出去多远 (精确到0.01米).
15.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0) , 且x1+x2=4, .(1)求抛物线的代数表达式;
(2)设抛物线与y轴交于C点,求直线BC的表达式;
(3)求△ABC的面积.
16．如果一个二次函数的图象经过点A(6 ( http: / / www.21cnjy.com )，10)，与x轴交于B，C两点，点B，C的横坐标分别为x1，x2，且x1＋x2＝6，x1x2＝5，求这个二次函数的解析式．
17．已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x ( http: / / www.21cnjy.com )＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y＝(2m－3)x－4m＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．
19．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解
答下列问题．
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
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20．如图2－131所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.
x … －3 －2 1 2 …
y … － －4 － 0 …
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并
指出m的取值范围；
(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；
(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．
参考答案
1．B[提示：a＞0，－＜0，∴b＞0．]
2．A
3．C
4.C
5.D
6.D
7.C
8．x1＝－l，x2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l，与x轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－l，0)，所以一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为x1＝－1，x2＝3．故填x1＝－l，x2＝3．]
9．k＜1，且k≠0[提示：若抛物线与x轴有两个交点，则(－2)2－4k＞0．]
10．(－，0)
11.略
12.1
13.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0, -3).
解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.
故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).
所以AC=3-1=2,AB=,BC=, OB=│-3│=3.
C△ABC=AB+BC+AC=.
S△ABC=AC·OB=×2×3=3.
14.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=.
故y=(x-6)2+5.
(2)由 (x-6)2+5=0,得x1=.
结合图象可知:C点坐标为(,0)
故OC=≈13.75(米)
即该男生把铅球推出约13.75米
15..(1)解方程组, 得x1=1,x2=3
故 ,解这个方程组,得b=4,c=-3.
所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.
(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.
由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).
所以, 解得
∴直线BC的代数表达式为y=x-3
(3)由于AB=3-1=2, OC=│-3│=3.
故S△ABC=AB·OC=×2×3=3.
16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x1＋x2＝－=6②，x1x2＝＝5③，由①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．
17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－＞0，∴2m－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.
18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x＜3．
(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．
(4)由图可知，解得代入方程得－2x2＋8x－6－k＝O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．
19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式为y＝x2＋x－4．令y＝0，得x1＝－4，x2＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．
解法2：(1)由抛物线P过点(1，－)，(－3，－)可知，抛物线P的对称轴为x＝－1．又∵抛物线P过(2，0)，(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S矩形DEFG＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝，b＝－.∴y=x－.又抛物线P的解析式为y＝x2＋x－4．令x－=x2＋x－4，解得x＝.如图2－132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N点的横坐标为．过N作x轴的垂线交x轴于H，得.∵点M不在抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k≠且k＞0． (4)由(3)知S矩形DEFG＝6．