2024北师大版数学九年级下学期课时练--3.3确定二次函数的表达式同步练习（含解析）

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2024北师大版数学九年级下学期
第二章　二次函数
3　确定二次函数的表达式
基础过关全练
知识点　用待定系数法求二次函数的表达式
1.(2023湖南常德石门期末)抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=x2的图象开口大小相同,则这条抛物线的解析式为(　　)
A.y=-(x-3)2-5
C.y=(x-3)2-5
2.【教材变式·P43随堂练习T1】(2023湖南长沙雨花期末)若二次函数的图象的顶点坐标为(2,-1),且抛物线过点(0,3),则二次函数的解析式是(　　)
A.y=-(x-2)2-1　　　　B.y=-(x-2)2-1
C.y=(x-2)2-1　　　　D.y=(x-2)2-1
3.(2022安徽淮南月考)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(-1,0),
(0,5)两点,则这个二次函数的解析式为　　　　.
4.(2022山东兰陵期末)小刚在用描点法画抛物线C:y=ax2+bx+c时,列出了下面的表格:
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
请根据表格中的信息,写出抛物线C的解析式:　　　　　　.
5.【一题多解】(2022上海徐汇期末)某二次函数的图象如图所示,对称轴为直线x=-1,根据图中信息可得该二次函数的解析式为　　　　.
6.【新独家原创】【一题多解】如图,抛物线的顶点坐标为(4,-2),且过O,A两点.现将抛物线向右平移且平移后经过A点,求平移后所得抛物线的解析式.
7.(2023浙江温州一模)已知二次函数y=a(x-1)2-2的图象经过点(3,2).
(1)求该函数的表达式,并在图中画出该函数的大致图象.
(2)P是该函数图象上一点,且在对称轴右侧,过点P作PD⊥x轴于点D.当PD≤1时,求点P横坐标的取值范围.
能力提升全练
8.(2022山东平邑三模,11,★★☆)“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在煎炸臭豆腐时,我们把“焦脆而不煳”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,“可食用率”p与煎炸时间t(单位:分钟)近似满足的函数关系为p=at2+bt+c(a≠0,a,b,c是常数),下图记录了三次试验的数据.根据上述函数关系和试验数据,可以得到煎炸臭豆腐的最佳时间为(　　)
A.3.50分钟　　　　B.4.05分钟
C.3.75分钟　　　　D.4.25分钟
9.(2020山东临沂中考,25,★★☆)已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式;
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y110.(2023陕西陇县期中,22,★★☆)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),点B(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积是△BCD面积的4倍 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
素养探究全练
11.【抽象能力】【新考法】若一次函数y=kx+m的图象经过二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点,我们就称这两个函数为“丘比特函数组”.
(1)请判断一次函数y=-3x+5和二次函数y=x2-4x+5是不是“丘比特函数组”,并说明理由;
(2)若一次函数y=x+2和二次函数y=ax2+bx+c为“丘比特函数组”,已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点在二次函数y=2x2-3x-4的图象上并且二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=x+2的图象与y轴的交点,求二次函数y=ax2+bx+c的表达式.
答案全解全析
基础过关全练
1.B　因为抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,所以抛物线的顶点坐标为(3,-5),所以设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-5,因为所求抛物线与y=x2的图象开口大小相同,y有最大值,所以a=-,所以这条抛物线的解析式为y=-(x-3)2-5.故选B.
2.C　∵二次函数的图象的顶点坐标为(2,-1),∴设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-1,把(0,3)代入得4a-1=3,解得a=1,所以y=(x-2)2-1.故选C.
3.y=-x2+4x+5
解析　把(-1,0),(0,5)代入y=-x2+bx+c,
得
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.
4.y=-x2+4x+3
解析　把(0,3),(1,6),(2,7)分别代入y=ax2+bx+c,得∴抛物线C的解析式为y=-x2+4x+3.
5.y=-x2-2x+3
解析　解法一[交点式法]:由题图可知抛物线经过点(1,0),(-3,0),(0,3),设所求解析式为y=a(x-1)(x+3),则-3a=3,∴a=-1,∴y=-(x-1)(x+3),即y=
-x2-2x+3.
解法二[一般式法]:设所求解析式为y=ax2+bx+c,由题意得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.
6.解析　解法一:因为原抛物线的顶点坐标为(4,-2),所以设原抛物线的解析式为y=a(x-4)2-2,
因为原抛物线过原点(0,0),
所以0=a(0-4)2-2,解得a=,
所以原抛物线的解析式为y=(x-4)2-2.
因为原抛物线的顶点坐标为(4,-2),
所以OA=2×4=8.
将抛物线y=(x-4)2-2向右平移8个单位得抛物线y=(x-4-8)2-2,即y=x2-3x+16.
所以平移后所得抛物线的解析式为y=x2-3x+16.
解法二:设原抛物线的解析式为y=ax2+bx,
由顶点坐标为(4,-2)得
所以原抛物线的解析式为y=x2-x,
因为原抛物线的顶点坐标为(4,-2),所以OA=2×4=8.
将抛物线y=x2-x向右平移8个单位得抛物线y=(x-8)2-(x-8),即y=x2-3x+16.
所以平移后所得抛物线的解析式为y=x2-3x+16.
7.解析　(1)把(3,2)代入y=a(x-1)2-2,得2=a(3-1)2-2,解得a=1,∴y=(x-1)2-2.
大致图象如图:
(2)由(1)得,对称轴为直线x=1.
∵P是该函数图象上一点,且在对称轴右侧,
∴xP>1,
当y=1时,(x-1)2-2=1,解得x=1±;
当y=-1时,(x-1)2-2=-1,解得x1=0,x2=2.
∴2≤xP≤1+.
能力提升全练
8.C　将图象中的三个点的坐标(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)分别代入p=at2+bt+c,得所以函数关系式为p=-0.2t2+1.5t-1.9,
由题意可知,煎炸臭豆腐的最佳时间为函数图象顶点的横坐标,即t=
-=3.75,
则所求的最佳时间为3.75分钟.故选C.
9.解析　(1)∵抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3,∴抛物线的对称轴为直线x=1.
(2)∵抛物线的顶点在x轴上,
∴2a2-a-3=0,解得a=或a=-1,
∴抛物线的解析式为y=或y=-x2+2x-1.
(3)抛物线的对称轴为直线x=1,
Q(3,y2)关于直线x=1的对称点的坐标为(-1,y2),
分情况讨论:
①当a>0时,要使y1②当a<0时,要使y13.
10.解析　(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),点B(2,-3),
∴∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(2)存在.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴D点坐标为(1,-4),令x=0,则y=x2-2x-3=-3,∴C点坐标为(0,-3),又∵B点坐标为(2,-3),∴BC∥x轴,∴S△BCD
=×2×1=1,设点P的坐标为(m,m2-2m-3),∴S△PBC=×2×|m2-2m-3-(-3)|
=|m2-2m|,∴|m2-2m|=4×1,解得m=1±,当m=1+时,m2-2m-3=1,当m=1-时,m2-2m-3=1,综上,P点坐标为(1+,1)或(1-,1).
素养探究全练
11.解析　(1)一次函数y=-3x+5和二次函数y=x2-4x+5不是“丘比特函数组”.理由:y=x2-4x+5=(x-2)2+1,所以该抛物线的顶点坐标为(2,1).当x=2时,y=-3x+5=-1≠1,故一次函数y=-3x+5和二次函数y=x2-4x+5不是“丘比特函数组”.
(2)由题意,可设二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(m,m+2),将顶点坐标代入二次函数y=2x2-3x-4得m+2=2m2-3m-4,解得m=3或m=-1.
当m=3时,顶点坐标为(3,5),则二次函数y=ax2+bx+c可写成顶点式为y=a(x-3)2+5.一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为(0,2),将(0,2)代入y=a(x-3)2+5得9a+5=2,解得a=-,故二次函数的表达式为y=
-x2+2x+2.
同理,当m=-1时,二次函数的表达式为y=x2+2x+2.
综上,二次函数的表达式为y=-x2+2x+2或y=x2+2x+2.
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