2024北师大版数学九年级下学期课时练--第2课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质同步练习（含解析）

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2024北师大版数学九年级下学期
第二章　二次函数
第2课时　二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质
基础过关全练
知识点4　二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质
15.(2023江苏常州模拟)对于二次函数y=-(x-1)2的图象的特征,下列描述正确的是(　　)
A.开口向上　　B.经过原点 C.对称轴是y轴　D.顶点在x轴上
16.(2023山东临沂河东二模)将抛物线y=x2向右平移2个单位后,所得抛物线的解析式为(　　)
A.y=(x+2)2　　　　B.y=x2+2 C.y=(x-2)2　　　　D.y=x2-2
17.(2023黑龙江牡丹江期中)在同一直角坐标系中,一次函数y=kx+b和二次函数y=k(x+b)2的图象大致可能为(　　)
　 　
A B C D
18.【一题多变】(2023四川自贡沿滩月考)在函数y=(x-1)2中,当x>1时,y随x的增大而　　　　.(填“增大”或“减小”)
[变式1]已知二次函数y=-(x-m)2,当x>2时,y随x的增大而减小;当x<2时,y随x的增大而增大,则m的值为　　　　.
[变式2]已知二次函数y=(x-m)2,当x≥2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是　　　　.
19.已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时,有最大值,且图象过点(1,-3),求该函数的表达式,并指出当x为何值时,y随x的增大而减小.
20.【教材变式·P37议一议】已知函数y=-(x+2)2和y=-(x-2)2
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出它们的函数图象;
(2)分别指出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)试说明分别通过怎样的平移,可以由函数y=-x2的图象得到函数y=-(x+2)2和函数y=-(x-2)2的图象;
(4)分别说出y随x的增大而增大以及y随x的增大而减小时,各个函数的自变量的取值范围.
21.如图所示的是二次函数y=a(x+m)2的图象.
(1)求二次函数的表达式;
(2)将(1)中所求抛物线绕顶点旋转180°,求旋转后的抛物线的表达式.
知识点5　二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
22.(2023甘肃兰州中考)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是(　　)
A.函数图象的对称轴为直线x=-2　　　　
B.函数图象的顶点坐标为(2,3)
C.函数的最大值是-3　　　　
D.函数的最小值是-3
23.(2023广西北部湾经济区中考)将抛物线y=x2先向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线的解析式是(　　)
A.y=(x-3)2+4　　　　B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4　　　　D.y=(x+3)2-4
24.【一题多解】设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为(　　)
A.y1>y2>y3　　　　B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1　　　D.y3>y1>y2
25.(2023四川自贡沿滩月考)已知抛物线y=-(x-2)2+3.
(1)该抛物线开口向　　　,对称轴是　　　,顶点坐标是　　　　;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出y=-(x-2)2+3的图象.
26.如图所示的是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点为M(1,-4).
(1)求二次函数的图象与x轴的交点A,B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB=S△MAB 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
基础过关全练
15.D　抛物线y=-(x-1)2开口向下,顶点坐标为(1,0),对称轴为直线x=1,故抛物线不经过原点,顶点在x轴上.故选D.
16.C　按照“左加右减,上加下减”的规律求解即可.抛物线y=x2向右平移2个单位得到抛物线y=(x-2)2.故选C.
17.D　A.一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,故k>0,b>0,由二次函数y=k(x+b)2的图象可知k>0,b<0,此选项错误,不符合题意;
B.一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,故k>0,由二次函数y=k(x+b)2的图象可知k<0,此选项错误,不符合题意;
C.一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,故k<0,由二次函数y=k(x+b)2的图象可知k>0,此选项错误,不符合题意;
D.一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,故k<0,b>0,由二次函数y=k(x+b)2的图象可知k<0,b>0,此选项正确,符合题意.
故选D.
18.增大
解析　抛物线y=(x-1)2开口向上,对称轴为直线x=1,
∴当x>1时,y随x的增大而增大.
[变式1]　2
解析　∵y=-(x-m)2,∴函数图象的对称轴为直线x=m,∵当x>2时,y随x的增大而减小;当x<2时,y随x的增大而增大,∴m=2.
[变式2]　m≤2
解析　易知函数图象的对称轴为直线x=m,开口向上,∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大,∵x≥2时,y随x的增大而增大,∴m≤2.
19.解析　∵当x=2时,二次函数y=a(x-h)2有最大值,∴h=2,a<0,
又∵函数图象过点(1,-3),∴-3=a(1-2)2,解得a=-3,
∴该函数的表达式为y=-3(x-2)2.
当x>2时,y随x的增大而减小.
20.解析　(1)如图.
(2)函数y=-x2的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0).
函数y=-(x+2)2的图象开口向下,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).
函数y=-(x-2)2的图象开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,0).
(3)函数y=-(x+2)2的图象是由函数y=-x2的图象向左平移2个单位长度得到的;
函数y=-(x-2)2的图象是由函数y=-x2的图象向右平移2个单位长度得到的.
(4)对于y=-x2,当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小.
对于y=-(x+2)2,当x<-2时,y随着x的增大而增大;当x>-2时,y随着x的增大而减小.
对于y=-(x-2)2,当x<2时,y随着x的增大而增大;当x>2时,y随着x的增大而减小.
21.解析　(1)由题图可知,点(0,1)在二次函数y=a(x+m)2的图象上,二次函数图象的顶点坐标是(2,0),
∴m=-2,a(0+m)2=1.∴a=.
∴二次函数的表达式为y=(x-2)2.
(2)旋转后的抛物线与抛物线y=(x-2)2关于x轴对称,即两抛物线上的对应点的横坐标相同,纵坐标互为相反数,
∴旋转后的抛物线的表达式为y=-(x-2)2.
22.C　二次函数y=-3(x-2)2-3的图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-3),当x=2时,y取最大值-3,故选C.
23.A　本题主要考查了二次函数的图象与几何变换,熟记“左加右减,上加下减”是解决问题的关键.将抛物线y=x2先向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线的解析式是y=(x-3)2+4.
24.A　解法一(性质法):∵抛物线的解析式是y=-(x+1)2+a,∴对称轴是直线x=-1,点A关于直线x=-1的对称点是A'(0,y1),易知点A'、B、C都在对称轴的右边,∵抛物线开口向下,∴在对称轴右边y随x的增大而减小,∴y1>y2>y3.故选A.
解法二(草图法):如图,画出y=-(x+1)2+a的大致图象,再将A、B、C三点在图象上描出,由图象易知y1>y2>y3.
解法三(距离对称轴远近法):∵抛物线的解析式是y=-(x+1)2+a,∴对称轴是直线x=-1,抛物线开口向下,∴抛物线上的点距离对称轴越远,所对应的函数值越小.∵|-2-(-1)|=1,|1-(-1)|=2,|2-(-1)|=3,∴y1>y2>y3.
解法四(直接代入法):当x=-2时,y1=-1+a;当x=1时,y2=-4+a;当x=2时,y3=-9+a,∴y1>y2>y3.
25.解析　(1)下;直线x=2;(2,3).
(2)①列表如下:
x … 0 1 2 3 4 …
y … -1 2 3 2 -1 …
②描点、连线,如图:
26.解析　(1)∵二次函数y=(x+m)2+k的图象的顶点坐标是(1,-4),
∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0).
(2)在二次函数的图象上存在点P,使S△PAB=S△MAB.
由(1)知AB=4,则S△PAB=AB×|yP|=2|yP|,
∵S△MAB=AB×|-4|=8,
∴2|yP|=×8,解得yP=±5.
∵二次函数的最小值为-4,
∴yP=5.
当y=5时,x2-2x-3=5,解得x=-2或x=4.
故点P的坐标为(-2,5)或(4,5).
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