2024北师大版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(二)三角函数的实际应用（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024北师大版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(二)三角函数的实际应用（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 455.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-28 21:09:02 | ||
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文档简介
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2024北师大版数学九年级下学期
专项素养综合全练(二)
三角函数的实际应用
类型一 单直角三角形
1.(2023吉林乾安二模)台灯是生活中常见物品,图1是一个台灯的实物图,图2是其侧面示意图.台灯的双轴灯臂AB=9 cm,AC=37 cm,通过调节灯臂AC的倾斜角度∠CAC'可以改变台灯的照明位置,已知AB垂直于底座,∠CAC'=23°,求灯臂顶端C到底座的距离(结果精确到
1 cm).(参考数据:sin 23°≈0.39,cos 23°≈0.92,tan 23°≈0.42)
图1 图2
类型二 “背靠式”
2.(2023内蒙古通辽中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向,距离灯塔100 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数) (参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08,sin 40°≈
0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
3.(2023天津河东二模)某数学兴趣小组利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度.他们先在河岸设立A,B两个观测点,然后选定对岸河边的一棵树记为点C.测得AB=260 m,∠CAB=35°,
∠CBA=75°.请你根据测得的数据,求出这段河流的宽度(结果取整数).参考数据:tan 35°≈0.70,tan 75°≈3.73.
类型三 “母抱子”型
4.【教材变式·P21T4】(2023重庆渝中二模)超速行驶是引发交通事故的主要原因,如图所示,MN是一条直线路段,限速60千米/时,交警在该路段附近设立了观测点P,这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒,已知∠PAB=30°,∠PBN=53°,
AP=180米.
(1)求A、B之间的路程;(参考数据:≈1.7,sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,
tan 53°≈)
(2)此车是否超速了 请说明理由.
类型四 “互拥抱”型
5.(2023河南许昌二模)如图所示,一梯子AC斜靠着墙OD,梯子与地面夹角为45°.若梯子底端A向右水平移动1 m至点B,梯子顶端随之向上移动至点D,此时∠DBO=α,OB=2 m,求CD的长度.(用含α的式子表示)
类型五 “斜截”型
6.(2023山西阳泉二模)随着时代的发展和人们生活水平的提高,私家车越来越多,停车越来越难,停车场的建造就成为解决问题的途径之一.如图所示的是一个新建的地下停车场的设计示意图,已知坡道AB的坡比i=1∶2.4,AC⊥CD,DH⊥AB,AC的长为7.2米,CD的长为0.4米.按规定,停车场坡道口上方需张贴限高标志,以便告知停车人其车辆能否安全驶入,请根据所给数据,确定该停车场入口的限高,即DH的长为多少.
类型六 “其他”型
7.某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD,如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α,无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处,测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度,点M、C、D在同一条直线上.其中tan α=2,MC=50米.则河流的宽度CD=
米(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73).
8.(2023湖南常德中考)今年“五一”小长假期间,小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩,坐在如图1的椅子上休息时,小陈感觉很舒服,激发了她对这把椅子的好奇心,就想出个问题考考同学小余.小陈同学先测量,根据测量结果画出了图1的示意图(图2).在图2中,已知四边形ABCD是平行四边形,座板CD与地面MN平行,△EBC是等腰三角形且BC=CE,∠FBA=114.2°,靠背FC=57 cm,支架AN=43 cm,扶手的一部分BE=16.4 cm.这时她问小余同学,你能算出靠背顶端F点距地面(MN)的高度是多少吗 请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数).
(参考数据:sin 65.8°≈0.91,cos 65.8°≈0.41,tan 65.8°≈2.23)
答案全解全析
1.解析 过点C作CE⊥BD于点E,过点C作CF⊥BC'于点F,
∵AB垂直于底座,CE⊥BE,CF⊥BC',∴四边形FBEC是矩形,
∴CE=FB,在Rt△ACF 中,∵AC=37 cm,∠CAF=23°,cos∠CAF=,
∴AF=AC·cos∠CAF=37×cos 23°≈37×0.92=34.04(cm),
∴CE=BF=AB+AF=9+34.04≈43(cm).
答:灯臂顶端C到底座的距离约为46 cm.
2.解析 如图:
由题意得PC⊥AB,EF∥AB,
∴∠A=∠EPA=72°,∠B=∠BPF=40°,
在Rt△APC中,AP=100海里,
∴PC=AP·sin 72°≈100×0.95=95(海里),
在Rt△BCP中,BP=≈148(海里),
∴B处距离灯塔P约有148海里.
3.解析 过点C作CD⊥AB,垂足为D,在Rt△ACD、Rt△BCD中,
∵tan∠CAB=,tan∠CBA==260.
∴CD≈153(m).
答:这段河流的宽度约为153 m.
4.解析 (1)如图,过点P作PC⊥MN于C,
在Rt△APC中,AP=180米,∠PAC=30°,
∴PC=AP=90(米),AC=≈153(米),
在Rt△BPC中,PC=90米,∠PBC=53°,∴BC=≈67.5(米),
∴AB=AC-BC=153-67.5=85.5(米).
答:A、B之间的路程约为85.5米.
(2)超速了.理由:∵A、B之间的路程为85.5米,汽车所用的时间为5秒,∴汽车经过AB的速度为85.5÷5=17.1(米/秒)=61.56(千米/时),
由于61.56>60,因此超速了.
5.解析 由题意得DO⊥AO,AB=1 m,
∵OB=2 m,∴AO=AB+OB=3 m,
在Rt△ACO中,∠CAO=45°,
∴OC=AO·tan 45°=3(m),
在Rt△OBD中,∠DBO=α,
∴OD=OB·tan α=2tan α(米),
∴CD=OD-OC=(2tan α-3)m,
∴CD的长度为(2tan α-3)m.
6.解析 延长CD交AB于E,如图:
∵坡道AB的坡比i=1∶2.4,∴tan∠CAB=,
∵AC=7.2米,∴CE=3米,
∵CD=0.4米,∴DE=2.6米,
∵DH⊥AB,AC⊥CD,
∴∠EDH+∠DEH=∠DEH+∠CAB=90°,∴∠EDH=∠CAB,
∴tan∠EDH=,
∴DH=2.4EH.
在Rt△DEH中,DH2+EH2=DE2,
∴(2.4EH)2+EH2=2.62,
∴EH=1米(舍负),∴DH=2.4米.
答:DH的长为2.4米.
7.264
解析 如图,过点B作BN⊥MD,垂足为N,
由题意可知∠BDM=30°,AB=MN=50米,∠ACM=α,
在Rt△ACM中,tan∠ACM=2=米,
∴AM=2MC=100米.∴BN=AM=100米.
在Rt△BND中,∵tan∠BDN=,
∴DN==300米.
∴CD=DN+MN-MC=300+50-50≈264(米).
8.解析 过点F作FQ⊥CD,垂足为点Q,
∵四边形ABCD是平行四边形,∠FBA=114.2°,
∴∠ABC=∠FCQ=180°-∠BCD=180°-114.2°=65.8°,
∴FQ=FC·sin∠FCQ=57sin 65.8°(cm),
过点A作AP⊥MN于点P,
由题意知AB∥CD∥MN,FC∥AN,
则∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8°,
∴AP=AN·sin∠ANP=43sin 65.8°(cm),
过C作CH⊥AB于点H,
∵BC=CE,EB=16.4 cm,∴BH=8.2 cm,
∴CH=BH·tan∠CBH≈8.2×2.23≈18.29(cm),
∴靠背顶端F点距地面(MN)的高度为FQ+AP-HC=57sin 65.8°+43sin 65.8°-18.29≈100×0.91-18.29=72.71≈72.7 cm.
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2024北师大版数学九年级下学期
专项素养综合全练(二)
三角函数的实际应用
类型一 单直角三角形
1.(2023吉林乾安二模)台灯是生活中常见物品,图1是一个台灯的实物图,图2是其侧面示意图.台灯的双轴灯臂AB=9 cm,AC=37 cm,通过调节灯臂AC的倾斜角度∠CAC'可以改变台灯的照明位置,已知AB垂直于底座,∠CAC'=23°,求灯臂顶端C到底座的距离(结果精确到
1 cm).(参考数据:sin 23°≈0.39,cos 23°≈0.92,tan 23°≈0.42)
图1 图2
类型二 “背靠式”
2.(2023内蒙古通辽中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向,距离灯塔100 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数) (参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08,sin 40°≈
0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
3.(2023天津河东二模)某数学兴趣小组利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度.他们先在河岸设立A,B两个观测点,然后选定对岸河边的一棵树记为点C.测得AB=260 m,∠CAB=35°,
∠CBA=75°.请你根据测得的数据,求出这段河流的宽度(结果取整数).参考数据:tan 35°≈0.70,tan 75°≈3.73.
类型三 “母抱子”型
4.【教材变式·P21T4】(2023重庆渝中二模)超速行驶是引发交通事故的主要原因,如图所示,MN是一条直线路段,限速60千米/时,交警在该路段附近设立了观测点P,这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒,已知∠PAB=30°,∠PBN=53°,
AP=180米.
(1)求A、B之间的路程;(参考数据:≈1.7,sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,
tan 53°≈)
(2)此车是否超速了 请说明理由.
类型四 “互拥抱”型
5.(2023河南许昌二模)如图所示,一梯子AC斜靠着墙OD,梯子与地面夹角为45°.若梯子底端A向右水平移动1 m至点B,梯子顶端随之向上移动至点D,此时∠DBO=α,OB=2 m,求CD的长度.(用含α的式子表示)
类型五 “斜截”型
6.(2023山西阳泉二模)随着时代的发展和人们生活水平的提高,私家车越来越多,停车越来越难,停车场的建造就成为解决问题的途径之一.如图所示的是一个新建的地下停车场的设计示意图,已知坡道AB的坡比i=1∶2.4,AC⊥CD,DH⊥AB,AC的长为7.2米,CD的长为0.4米.按规定,停车场坡道口上方需张贴限高标志,以便告知停车人其车辆能否安全驶入,请根据所给数据,确定该停车场入口的限高,即DH的长为多少.
类型六 “其他”型
7.某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD,如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α,无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处,测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度,点M、C、D在同一条直线上.其中tan α=2,MC=50米.则河流的宽度CD=
米(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73).
8.(2023湖南常德中考)今年“五一”小长假期间,小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩,坐在如图1的椅子上休息时,小陈感觉很舒服,激发了她对这把椅子的好奇心,就想出个问题考考同学小余.小陈同学先测量,根据测量结果画出了图1的示意图(图2).在图2中,已知四边形ABCD是平行四边形,座板CD与地面MN平行,△EBC是等腰三角形且BC=CE,∠FBA=114.2°,靠背FC=57 cm,支架AN=43 cm,扶手的一部分BE=16.4 cm.这时她问小余同学,你能算出靠背顶端F点距地面(MN)的高度是多少吗 请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数).
(参考数据:sin 65.8°≈0.91,cos 65.8°≈0.41,tan 65.8°≈2.23)
答案全解全析
1.解析 过点C作CE⊥BD于点E,过点C作CF⊥BC'于点F,
∵AB垂直于底座,CE⊥BE,CF⊥BC',∴四边形FBEC是矩形,
∴CE=FB,在Rt△ACF 中,∵AC=37 cm,∠CAF=23°,cos∠CAF=,
∴AF=AC·cos∠CAF=37×cos 23°≈37×0.92=34.04(cm),
∴CE=BF=AB+AF=9+34.04≈43(cm).
答:灯臂顶端C到底座的距离约为46 cm.
2.解析 如图:
由题意得PC⊥AB,EF∥AB,
∴∠A=∠EPA=72°,∠B=∠BPF=40°,
在Rt△APC中,AP=100海里,
∴PC=AP·sin 72°≈100×0.95=95(海里),
在Rt△BCP中,BP=≈148(海里),
∴B处距离灯塔P约有148海里.
3.解析 过点C作CD⊥AB,垂足为D,在Rt△ACD、Rt△BCD中,
∵tan∠CAB=,tan∠CBA==260.
∴CD≈153(m).
答:这段河流的宽度约为153 m.
4.解析 (1)如图,过点P作PC⊥MN于C,
在Rt△APC中,AP=180米,∠PAC=30°,
∴PC=AP=90(米),AC=≈153(米),
在Rt△BPC中,PC=90米,∠PBC=53°,∴BC=≈67.5(米),
∴AB=AC-BC=153-67.5=85.5(米).
答:A、B之间的路程约为85.5米.
(2)超速了.理由:∵A、B之间的路程为85.5米,汽车所用的时间为5秒,∴汽车经过AB的速度为85.5÷5=17.1(米/秒)=61.56(千米/时),
由于61.56>60,因此超速了.
5.解析 由题意得DO⊥AO,AB=1 m,
∵OB=2 m,∴AO=AB+OB=3 m,
在Rt△ACO中,∠CAO=45°,
∴OC=AO·tan 45°=3(m),
在Rt△OBD中,∠DBO=α,
∴OD=OB·tan α=2tan α(米),
∴CD=OD-OC=(2tan α-3)m,
∴CD的长度为(2tan α-3)m.
6.解析 延长CD交AB于E,如图:
∵坡道AB的坡比i=1∶2.4,∴tan∠CAB=,
∵AC=7.2米,∴CE=3米,
∵CD=0.4米,∴DE=2.6米,
∵DH⊥AB,AC⊥CD,
∴∠EDH+∠DEH=∠DEH+∠CAB=90°,∴∠EDH=∠CAB,
∴tan∠EDH=,
∴DH=2.4EH.
在Rt△DEH中,DH2+EH2=DE2,
∴(2.4EH)2+EH2=2.62,
∴EH=1米(舍负),∴DH=2.4米.
答:DH的长为2.4米.
7.264
解析 如图,过点B作BN⊥MD,垂足为N,
由题意可知∠BDM=30°,AB=MN=50米,∠ACM=α,
在Rt△ACM中,tan∠ACM=2=米,
∴AM=2MC=100米.∴BN=AM=100米.
在Rt△BND中,∵tan∠BDN=,
∴DN==300米.
∴CD=DN+MN-MC=300+50-50≈264(米).
8.解析 过点F作FQ⊥CD,垂足为点Q,
∵四边形ABCD是平行四边形,∠FBA=114.2°,
∴∠ABC=∠FCQ=180°-∠BCD=180°-114.2°=65.8°,
∴FQ=FC·sin∠FCQ=57sin 65.8°(cm),
过点A作AP⊥MN于点P,
由题意知AB∥CD∥MN,FC∥AN,
则∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8°,
∴AP=AN·sin∠ANP=43sin 65.8°(cm),
过C作CH⊥AB于点H,
∵BC=CE,EB=16.4 cm,∴BH=8.2 cm,
∴CH=BH·tan∠CBH≈8.2×2.23≈18.29(cm),
∴靠背顶端F点距地面(MN)的高度为FQ+AP-HC=57sin 65.8°+43sin 65.8°-18.29≈100×0.91-18.29=72.71≈72.7 cm.
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