2024北师大版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(六)证明圆的切线的常用方法（含解析）

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2024北师大版数学九年级下学期
专项素养综合全练(六)
证明圆的切线的常用方法
类型一　有交点:连半径,证垂直
规律方法
如果已知直线与圆有公共点,要证直线与圆相切,可连接这个公共点和圆心,得到半径,只需证明这条半径垂直于已知直线即可,简记为“有交点:连半径,证垂直”,并且注意要证“垂直”,常需利用已知中原有的垂直关系.
方法1　平行线性质法证垂直
1.(2022陕西安康汉滨月考)如图,在☉O中,点A是的中点,过点A作AD∥BC.求证:AD与☉O相切.
2.(2023河北石家庄四十二中一模节选)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD.求证:CD是☉O的切线.
方法2　利用等角转换法证垂直
3.(2023辽宁鞍山立山二模节选)如图,AB为☉O的直径,D是☉O上的一点,延长AB至点C,连接CD,∠BDC=∠BAD.求证:CD是☉O的切线.
4.(2022江苏扬州中考节选)如图,AB为☉O的弦,OC⊥OA交AB于点P,交过点B的直线于点C,且CB=CP.试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由.
方法3　利用全等法证垂直
5.如图,已知AB是☉O的直径,PB是☉O的切线,C是☉O上的点,AC∥OP.
(1)求证:PC是☉O的切线;
(2)若∠A=60°,AB=4,求PC的长.
方法4　勾股定理逆定理法证垂直
6.如图,☉O的直径AB=12,点P是AB延长线上一点,且PB=4,点C是☉O上一点,PC=8.求证:PC是☉O的切线.(M9203005)
类型二　无交点:作垂直,证半径
规律方法
如果已知中无法直接判断直线与圆有无公共点,那么过圆心作已知直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径即可,简记为“无交点:作垂直,证半径”.
方法5　角平分线性质法证半径
7.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的☉O与BC相切于点M.求证:CD与☉O相切.
方法6　全等三角形法证半径
8.如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC长为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO,交BO的延长线于点D,且
∠AOD=∠BAD.
(1)求证:AB为☉O的切线;
(2)若BC=6,tan∠ABC=,求AD的长.
答案全解全析
1.证明　连接OA(图略),
∵A是的中点,∴OA⊥BC,
∵AD∥BC,∴OA⊥AD,
∵点A为半径OA的外端点,∴AD与☉O相切.
2.证明　连接OC,如图.
∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAO,
∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,
∵AD⊥DC,∴OC⊥DC,
∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
3.证明　连接OD,如图.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°,
∵OB=OD,∴∠ABD=∠ODB,
∵∠BDC=∠A,∴∠BDC+∠ODB=90°,
∴∠ODC=90°,∴OD⊥CD,
∵OD是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
4.解析　直线BC与☉O相切.理由:如图,连接OB,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∵CP=CB,
∴∠CPB=∠CBP,
∵∠APO=∠CPB,
∴∠APO=∠CBP,
∵OC⊥OA,
∴∠A+∠APO=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
∴∠OBC=90°,
∵OB为☉O的半径,∴直线BC与☉O相切.
5.解析　(1)证明:如图,连接OC.
∵PB是☉O的切线,
∴∠OBP=90°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC∥OP,
∴∠OAC=∠POB,∠POC=∠OCA,
∴∠POB=∠POC,
又∵OC=OB,OP=OP,∴△POC≌△POB,
∴∠OCP=∠OBP=90°,即OC⊥PC.
又∵OC是☉O的半径,∴PC是☉O的切线.
(2)∵AB=4,∴OB=2.
∵∠A=60°,∠POB=∠A,∴∠POB=60°.
在Rt△POB中,∠OPB=90°-∠POB=30°,
∴PO=2OB=4.
∴PB=.
∵△POC≌△POB,∴PC=PB=2.
6.证明　连接OC.
∵☉O的直径AB=12,∴OB=OC=6.
∵PB=4,∴PO=10.
在△POC中,PC2+CO2=82+62=100,PO2=102=100,∴PC2+OC2=PO2.
∴∠OCP=90°,即OC⊥PC.
又∵OC是☉O的半径,∴PC是☉O的切线.
7.证明　如图,连接OM,过点O作ON⊥CD于点N.
∵☉O与BC相切于点M,∴OM⊥BC.
∵O为正方形ABCD对角线AC上一点,
∴CO平分∠BCD,∴OM=ON,∴CD与☉O相切.
8.解析　(1)证明:如图,作OE⊥AB于E.
因为☉O与BC相切于点C,所以AC⊥BC,
因为∠AOD=∠BAD,AD⊥BD,所以∠OAD=∠ABD,
易知∠OAD=∠OBC,所以∠ABD=∠OBC,
又因为BO=BO,∠OEB=∠OCB=90°,
所以△BOE≌△BOC(AAS).
所以OE=OC,所以点E在☉O上,
所以AB为☉O的切线.
(2)由BC=6,tan∠ABC=,得AC=8,
所以AB==10.
因为△BOE≌△BOC,所以BE=BC=6,所以AE=10-6=4.
令OE=OC=x,则AO=8-x.
在Rt△AEO中,(8-x)2=42+x2,解得x=3,
所以OB=.
因为AB·OE=OB·AD,所以×AD,所以AD=2.
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