高中数学北师大版必修一第四章高中数学北师大版必修一 第四章 对数运算和对数函数 测评（含解析）

第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是(　　).
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
2.已知a=0.993,b=log20.6,c=log3π,则(　　).
A.cC.a3.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则的值为(　　).
A.36 B.72 C.108 D.
4.四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　).
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
5.已知函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　).
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
6.设函数f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上的偶函数,且它在区间[0,+∞)上单调递增,若a=f,b=f,c=f(-2),则a,b,c的大小关系是(　　).
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
7.函数y=lo(6+x-x2)的单调递增区间是(　　).
A. B.
C. D.
8.若不等式lg ≥(x-1)·lg 3对任意的x∈(-∞,1]恒成立,则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[0,+∞) D.[1,+∞)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若a>b>0,0A.logcacb
C.ac>bc D.logc(a+b)>0
10.已知f(x)=|log2x|,若f(a)>f(2),则a的值可以是(　　).
A. B. C. D.3
11.已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列论述,其中正确的是(　　).
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
12.若函数f(x)=loga|x-1|(a>0,且a≠1)在区间(0,1)内单调递减,则(　　).
A.f(x)在区间(1,+∞)上单调递增且无最大值
B.f(x)在区间(1,+∞)上单调递减且无最小值
C.f(x)在定义域上是偶函数
D.f(x)的图象关于直线x=1对称
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知logba>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　　,b=　　　　　.
14.函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称,且函数g(x)=f(x-1)-3,则函数y=g(x)的图象必过定点　　　　　.
15.已知函数f(x)=若f(a)<0,则实数a的取值范围是　　　　　.
16.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)计算下列各式的值:
(1)+lo;
(2).
18.(12分)光线每通过一块玻璃其强度要减少10%,至少用多少块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们的光线在原强度的以下 (lg 3≈0.477 1)
19.(12分)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)(a∈R).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
20.(12分)已知函数f(x)=alog2x+blog3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若a>0,b>0,证明函数f(x)在定义域内为增函数;
(2)若a=ln(m2+2m+3),b=ln 10,解不等式f(3x-1)≤f(x+3).
21.(12分)已知函数f(x)=lg(k∈R).
(1)若y=f(x)是奇函数,求k的值,并求该函数的定义域;
(2)若函数y=f(x)在区间[10,+∞)上是增函数,求k的取值范围.
22.(12分)某老师为加强学生核心素养的培养,锻炼学生自主探究学习的能力,他们以函数f(x)=lg为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究成果:
①同学甲发现:函数f(x)的定义域为(-1,1);
②同学乙发现:函数f(x)为奇函数;
③同学丙发现:对于函数f(x)定义域内任意两个不同实数x1,x2,总满足>0;
④同学丁发现:对于任意a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=f().
以上成果你认为哪个是正确的,为什么
1.解析:要使函数f(x)=+lg(1+x)有意义,应满足解得(-1,1)∪(1,+∞).
故选C.
答案:C
2.解析:01,
∴b答案:D
3.解析:由2+log2a=3+log3b=log6(a+b),得log2(4a)=log3(27b)=log6(a+b).设log2(4a)=log3(27b)=log6(a+b)=k,则有4a=2k,27b=3k,a+b=6k,所以108ab=2k×3k=6k=a+b,所以=108,故选C.
答案:C
4.答案:D
5.解析:当a>0时,-a<0,若f(a)>f(-a),则log2a>lo[-(-a)],即log2a>loa,此时a>1;当a<0时,-a>0,若f(a)>f(-a),则lo(-a)>log2(-a),此时,-1综上,实数a的取值范围为(1,+∞)∪(-1,0).
答案:C
6.解析:因为1因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
所以f(lo)因为f(x)是偶函数,所以a=f=f(-log )=f(log),
b=f=f(-log)=f(lo),c=f(-2)=f(2),所以b答案:C
7.解析:要使函数有意义,需6+x-x2>0,解得-2令t=-x2+x+6=-,
则函数t=-x2+x+6在区间上单调递减,所以函数y=lo(6+x-x2)在区间上单调递增,即函数y=lo(6+x-x2)的单调递增区间是.
答案:D
8.解析:由lg ≥lg3x-1,得≥3x-1,1+2x+(1-a)3x≥3x,1+2x≥a·3x,即≥a对任意的x∈(-∞,1]恒成立.设f(x)=,x∈(-∞,1],则f(x)min=f(1)==1,∴a≤1.
答案:B
9.解析:因为0b>0得logcab>0,得cab>0,01,所以ac>bc,故C正确;取c=,a+b=2,则logc(a+b)=lo2=-1<0,故D错误.
答案:AC
10.解析:作出函数f(x)的图象如图所示,由于f(2)=f(),因此结合图象可知02.
所以ABD正确.
答案:ABD
11.解析:当a=0时,f(x)=lg(x2-1).由x2-1>0,得x<-1或x>1,此时f(x)的值域为R,f(x)无最小值,故A正确,B错误,C正确;令y=x2+ax-a-1,则该函数的对称轴为直线x=-,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则-≤2,解得a≥-4,但当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.
答案:AC
12.解析:由|x-1|>0,得x≠1,即函数f(x)=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1}.
设g(x)=|x-1|=
则g(x)在区间(-∞,1)上为减函数,在区间(1,+∞)上为增函数,且g(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故D正确;由上可知f(x)=loga|x-1|在区间(1,+∞)上单调递增且无最大值,故A正确,B错误;又f(-x)=loga|-x-1|=loga|x+1|≠f(x),故C错误.
答案:AD
13.解析:因为logab+logba=,所以+logba=,即2(logba)2-5logba+2=0,解得logba=2或logba=(舍去),所以a=b2.
代入ab=ba,得b2b=,因此2b=b2.
又因为b≠0,所以b=2,从而a=b2=4.
答案:4　2
14.解析:因为函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)=ax,故函数g(x)=f(x-1)-3=ax-1-3,则函数y=g(x)的图象必过定点(1,-2).
答案:(1,-2)
15.解析:由题意得解得0答案:(-∞,-1)∪(0,1)
16.解析:由f(x+1)=f(1-x)及f(-x)=-f(x),得f(-x)=f(2+x)=-f(x),
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
又log224即4则4-log220∈(-1,0),所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-=-=-2.
答案:-2
17.解:(1)+lo=+lo)-1=-1=-1=0.
(2)原式====-2.
18.解:设通过n块玻璃时,光线强度在原强度的以下,
则(1-10%)n≤,
即0.9n≤,
∴n·lg 0.9≤lg ,
∴n≥≈11.
故至少用11块这样的玻璃.
19.解:(1)∵f(1)=1,
∴log4(a+5)=1,∴a+5=4,a=-1,
∴f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,得-1设函数u=-x2+2x+3,则其在区间(-1,1]上单调递增,在区间[1,3)上单调递减.
又函数y=log4u(u>0)为增函数,
∴f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3).
(2)假设存在实数a,使f(x)的最小值为0,则函数h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
因此应有解得a=.
故存在实数a=,使f(x)的最小值为0.
20.解:f(x)=alog2x+blog3x,其定义域为(0,+∞).
(1)任取x1,x2∈(0,+∞),x1则f(x1)-f(x2)=alog2x1+blog3x1-(alog2x2+blog3x2)=a(log2x1-log2x2)+b(log3x1-log3x2).
∵0∴log2x1当a>0,b>0时,有a(log2x1-log2x2)<0,b(log3x1-log3x2)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数.
(2)由(1)及a=ln(m2+2m+3)=ln[(m+1)2+2]≥ln 2>ln 1=0,b=ln 10>ln 1=0,可知函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,
∴f(3x-1)≤f(x+3)
∴∴原不等式的解集为.
21.解:(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即lg =-lg ,
∴,1-k2x2=1-x2,
∴k2=1,k=±1,
而k=1不合题意,舍去,∴k=-1.
由>0,得函数y=f(x)的定义域为(-1,1).
(2)∵f(x)在区间[10,+∞)上是增函数,
∴>0,∴k>.
又f(x)=lg =lg ,
故对任意的x1,x2,当10≤x1∴,
∴(k-1)·<0.
又,
∴k-1<0,
∴k<1.
综上可知k∈.
22.解:在①中,因为f(x)=lg ,所以>0,解得函数的定义域为(-1,1),所以①是正确的;
在②中,因为函数的定义域为(-1,1),又f(x)=lg=-lg=-f(-x),所以函数f(x)为奇函数,所以②是正确的;
在③中,对于函数f(x)的定义域中任意两个不同实数x1,x2,总满足>0,即说明f(x)是增函数,但f(x)=lg=lg(-1+)是减函数,所以③是错误的;
在④中,对任意a,b∈(-1,1),有f(a)+f(b)=lg+lg=lg()=lg,
又f()=lg=lg,所以f(a)+f(b)=f,即④是正确的.
综上可知,正确的研究成果是①②④.
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