圆锥曲线的热点问题导学案
广水一中 梅军 2014-12-22
[最新考纲]
1．理解数形结合的思想．
2．了解圆锥曲线的简单应用.
知 识 梳 理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0 直线与圆锥曲线C ；
Δ＝0 直线与圆锥曲线C ；
Δ＜0 直线与圆锥曲线C ；
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程，则直线l与圆锥曲线C ，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ．
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C ( http: / / www.21cnjy.com )相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．
辨 析 感 悟
(1)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．( )
(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．( )
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．( )
(4)已知点(2,1)是直线l被椭圆＋＝1所截得线段的中点，则l的方程为x＋4y－6＝0.( )
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
规律方法 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方 ( http: / / www.21cnjy.com )程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)求弦长PQ；
(3)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
通讯地址：湖北省广水市第一高级中学 梅军 432700 电话13647291816
【变式一】在【训练1】的条件下，若弦长PQ等于，求实数k值；
【变式二】在【训练1】的条件下，弦长PQ是否存在最大值/？若存在，求出此最大值；若没有，求说明理由。
规律方法 直线与圆锥曲线的弦长问题， ( http: / / www.21cnjy.com )较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
1．将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法
2．涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与 ( http: / / www.21cnjy.com )系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．圆锥曲线的热点问题
广水一中 梅军 班级：三（19） 2014-12-22
[最新考纲]
1．理解数形结合的思想．
2．了解圆锥曲线的简单应用.
知 识 梳 理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常 ( http: / / www.21cnjy.com )将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0 直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0 直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0 直线与圆锥曲线C无公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行．
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上 ( http: / / www.21cnjy.com )以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．
辨 析 感 悟
(1)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．(√)
(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(×)
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(√)
(4)已知点(2,1)是直线l被椭圆＋＝1所截得线段的中点，则l的方程为x＋4y－6＝0.(×)
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
解 (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1.
把点P(0,1)代入椭圆＋＝1，得＝1，即b＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在，且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m.
联立消去y并整理得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，
整理得2k2－m2＋1＝0.①
联立
消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0.
整理得km＝1.②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
规律方法 将直线与圆锥曲线的两个方程联 ( http: / / www.21cnjy.com )立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)求弦长PQ；
(3)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中
Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞.
即k的取值范围为∪.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
由方程①得，x1＋x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝＋2.
∵(＋)⊥，
∴(x1＋x2)·(－)＋y1＋y2＝0，
即：－·(－)－＋2＝0.
解得：k＝－，由(1)知k2＞，与此相矛盾，
所以不存在常数k使＋与垂直．
【变式一】在【训练1】的条件下，若弦长PQ等于，求实数k值；
【变式二】在【训练1】的条件下，弦长PQ是否存在最大值/？若存在，求出此最大值；若没有，求说明理由。
规律方法 直线与圆锥曲线的弦长问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
1．涉及弦长的问题时，应熟练地利用 ( http: / / www.21cnjy.com )根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．
2．关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何 ( http: / / www.21cnjy.com )的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等．
3．圆锥曲线综合问题要四重视：
(1)重视定义在解题中的作 ( http: / / www.21cnjy.com )用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.
