函数考点精讲——函数的概念与性质
1．函数的定义
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，．其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
2．函数的要素及相同函数
一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．求函数的定义域要注意以下几点
（1）分式的分母不为0；
（2）偶次根式的被开方数大于等于0；
（3）零次幂的底数不为0；
（4）对数的真数大于零；
（5）指数、对数函数的底数大于零且不等于1；
（6）实际问题对自变量的限制．
4．抽象函数的定义域
(1)若函数的定义域为，则的定义域由a≤≤b求出．
(2)若函数的定义域为，则的定义域为在的值域
5．函数值域的求法
（1）图象法；
（2）直接法；
（3）配方法；
（4）换元法；
（5）分离常数法；
（6）单调性法；
（7）基本不等式法．
6．几种常见初等函数的值域
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为( ∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax ＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
(4)y＝sinx和y=cosx的值域为[ 1,1]，y=tanx的值域为R.
(5)指数函数的值域为(0，＋∞)．
(6)对数函数的值域为R.
5．函数的表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．
（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系
6．分段函数
（1）分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
（2）分段函数的定义域和值域
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
7．复合函数
设y是u的函数y=f（u），u是x的函数u=g（x），如果g（x）的值全部或部分在f（u）的定义域内，则y通过u成为x的函数，记作y=f（g（x）），称为由函数y=f（u）与u=g（x）复合而成的复合函数．
8．单调性的概念
一般地，设函数的定义域为I，区间DI:
如果,当时，都有,那么就称在区间D上是单调递增；
如果,当时，都有,那么就称在区间D上是单调递减；
9．单调区间
如果函数在区间D上单调递增（或单调递减），那么就说函数在区间D上具有单调性性，区间D叫做的单调增（减）区间．
10．判断函数单调性的方法
（1）利用定义判断函数的单调性，步骤如下：
a．取值：设为该区间内任意的两个值，且；
b．作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；
c．定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；
d．判断：根据定义作出结论．
（2）利用函数图象判断函数的单调性．
（3）利用基本初等函数的单调性．
（4）复合函数的单调性
已知在上是增（减）函数，在区间（或区间）上是增（减）函数，那么复合函数在上一定是单调的，具体分为以下四种情况，可记为“同增异减”．
增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数
11．函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得
结论 为最大值 为最小值
12．函数的奇偶性定义
偶函数：对于函数，如果对于其定义域中的任意给定的实数，都有，并且，就称函数为偶函数．
奇函数：对于函数，如果对于其定义域中的任意给定的实数，都有，并且，就称函数为奇函数．
不是所有的函数都是奇函数或偶函数，我们称那些既不是奇函数又不是偶函数的函数为非奇非偶函数．
13．判断函数奇偶性的方法
（1）利用定义判断．
（2）利用定义的等价形式判断：
是奇函数；
是偶函数．
（3）利用图象判断：
的图象关于原点对称是奇函数；
的图象关于轴对称是偶函数．
（4）四则运算判断：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
14．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
15．表示形式
(1)一般式：f(x)=ax ＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)=a(x h) ＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：，其中，是抛物线与x轴交点的横坐标.
16．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称性 函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数. 在上是增函数； 在上是减函数.
最值 当时， 当时，
17．二次函数图象常用结论
(1)函数的图象与x轴交点的横坐标是方程的实根．
(2)若为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为=．
(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0()．
18．幂函数的概念
一般地，形如 (a∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，a为常数.
19．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
过定点 过定点 过定点
函数考点精讲——指数函数与对数函数
1. 根式
（1）次方根
如果，那么叫做的次方根，其中，且．
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，用符号表示．
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．可以合并写成．
负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作．
（2）根式的相关概念
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
；
2. 分数指数幂
我们规定正数的正分数指数幂的意义是；正数的负分数指数幂的意义是 ；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3. 有理数指数幂的运算性质
；
；
．
4. 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（是无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
5．指数函数定义
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
6．指数函数的图象与性质
图象
定义域
值域
性质 图象过定点，即时，
在上是减函数 在上是增函数
7. 对数的相关概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
8. 两种特殊的对数
常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作．
自然对数：在科学技术中常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为．
9. 对数恒等式
10. 对数同底运算法则
如果，且，那么：
11. 对数换底公式
（，且；，且；）
特别地：（，且）
12．对数函数的定义
一般地，我们把函数（，且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
13．对数函数的图象与性质
图象
定义域
值域
性质 过定点，即时，
在上是减函数 在上是增函数
14．对数函数图象间的关系
函数（，且）的图象与的图象关于轴对称，即底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称．
在第一象限内，时，底数越大，图象越靠近轴；时，底数越小，图象越靠近轴．
15．对数函数图象与指数函数图象的关系
对数函数和指数函数（，且）的图象关于直线对称.
函数考点精讲——函数的应用
1. 函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．
2．方程的根与函数的零点间的关系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴交点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3．零点存在定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．
4．二分法的概念
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
5．用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精确度．
（2）求区间的中点．
（3）计算．若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）．
（4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）．
第 8 页（共 26 页）函数题型专练
【函数的定义域】
【例1】函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
【答案】 B
【解析】 要使函数有意义，
则需
解得－1
所以x∈(－1,0)∪(0,2]．
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．
【复合函数的定义域】
【例2】函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，
则 ∴函数f(x)的定义域为.
【函数的解析式】
【例3】已知f ＝lg x，则f(x)的解析式为________．
【答案】 f(x)＝lg (x>1)
【解析】 令＋1＝t(t>1)，
则x＝，
所以f(t)＝lg (t>1)，
所以f(x)＝lg (x>1)．
【分段函数】
【例4】已知f(x)＝则f ＋f 的值为( )
A. B．－ C．－1 D．1
【答案】 D
【解析】 f ＝f ＋1＝f ＋1
＝cos ＋1＝，
f ＝cos
＝cos ＝－，
∴f ＋f ＝－＝1.
【求具体函数的单调区间】
【例5】 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x D．y＝
【答案】 AC
【解析】 ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确；
对于选项C，y′＝1－sin x≥0，
∴y＝x＋cos x在R上为增函数，故C正确；
y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
【判断或证明函数的单调性】
【例6】试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【解析】方法一 设－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)方法二 f′(x)＝
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
【比较函数值的大小】
【例7】已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．a【答案】 B
【解析】 ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，
均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，
∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)是偶函数，
∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，
又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，
∴1<<，
又0∴ln <<，
∴>>f(ln )，
即a【求函数的最值】
【例8】函数y＝的最大值为________．
【答案】
【解析】 令＝t，则t≥2，
∴x2＝t2－4，∴y＝＝，
设h(t)＝t＋，
则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
∴h(t)min＝h(2)＝，
∴y≤＝(x＝0时取等号)．
即y的最大值为.
【解不等式】
【例9】 已知函数f(x)＝x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
【答案】 (0,1)
【解析】 由f(x)＝x－log2(x＋2)知，
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，
且f(－1)＝3，
由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，
∴
解得0【求参数的取值范围】
【例10】函数f(x)＝且满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．[4,8) B．(4,8) C．(1,8] D．(1,8)
【答案】 A
【解析】 函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0，
所以函数f(x)＝是R上的增函数，
则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足
解得4≤a<8，
所以实数a的取值范围为[4,8)．
【判断函数的奇偶性】
【例11】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log2(x＋)．
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x
＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2[－x＋]
＝log2(－x)
＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
【函数奇偶性的应用】
【例12】函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】 C
【解析】 依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，
于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，
所以M＋N的值为2.
【函数的周期性】
【例13】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】 A
【解析】 由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f ＝f
＝f ＝－f ＝－.
【函数的对称性】
【例14】已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
【答案】 ACD
【解析】 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
【函数周期性与奇偶性结合】
【例15】已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 D;
【解析】 因为当时，，
所以，
所以当时，周期为，
故有，
因为当时，，
所以当时，是奇函数，
故而，
因为当时，，
所以，
则有．
故选．
【函数对称性与奇偶性综合】
【例16】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 C;
【解析】 因为是定义域为的奇函数，且，
所以，
所以
所以，
因此，
因为，，
所以，
因为，
所以，
从而，
故选．
【函数对称性与单调性综合】
【例17】已知函数对定义域内任意都满足，且在上单调递减，则，，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 D;
【解析】 根据题意：，
∴关于直线对称，
又在上单调递减，
故在上单调递增．
∵，
∴，
即，
故答案选．
【函数对称性与周期性综合】
【例18】已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 D;
【解析】 由函数的图象关于点对称可知，．
又，则．
故．
所以，是以为周期的偶函数．
从而，， ， ．
故 ．
【幂函数的图象与性质】
【例19】若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A．－1C．－1【答案】 D
【解析】 幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，
∴0当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1综上可知，－1【二次函数的解析式】
【例20】若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.
【答案】 －2x2＋4
【解析】 f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)
＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
∵f(－x)＝f(x)，
∴2a＋ab＝0，
∴f(x)＝bx2＋2a2.
∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，
∴b<0，且2a2＝4，
∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.
【二次函数的单调性与最值】
【例21】已知函数f(x)＝x2－tx－1.
(1)若f(x)在区间(－1,2)上不单调，求实数t的取值范围；
(2)若x∈[－1,2]，求f(x)的最小值g(t)．
【解析】f(x)＝x2－tx－1＝2－1－.
(1)依题意，－1<<2，
解得－2∴实数t的取值范围是(－2,4)．
(2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1,2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝3－2t.
②当－1<<2，即－2f(x)min＝f ＝－1－.
③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1,2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(－1)＝t.
综上有g(t)＝
【指数幂的运算】
【例22】)(a>0，b>0)＝________.
【答案】
【解析】 原式＝＝.
【指数函数的图象及应用】
【例23】已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0【答案】 ABD
【解析】 如图，观察易知，a【比较指数式的大小】
【例24】若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
【答案】 B
【解析】 ∵函数y＝0.3x在R上是减函数，
∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，
又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
0．3<0.7，
∴0<0.30.3<0.70.3，
∴0而函数y＝1.2x是R上的增函数，
∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.
【指数方程或不等式】
【例25】已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
【答案】 D
【解析】 ∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.
∴x≤0或1≤x≤2.
【指数函数性质的综合应用】
【例26】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
【答案】 (－∞，4]
【解析】 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，
即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
【对数式的运算】
【例27】设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10 C．20 D．100
【答案】 A
【解析】 2a＝5b＝m，
∴log2m＝a，log5m＝b，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5
＝logm10＝2，
∴m2＝10，
∴m＝(舍m＝－)．
【对数函数的图象及应用】
【例28】已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0C．0【答案】 A
【解析】 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1【比较指数式、对数式大小】
【例29】设a＝log3e，b＝e1.5，c＝ ，则( )
A．bC．c【答案】 D
【解析】 c＝＝log34>log3e＝a.
又c＝log342，
∴a【解对数方程不等式】
【例30】若loga(a＋1)0，a≠1)，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 依题意loga(a＋1)∴或
解得【对数性质的应用】
【例31】设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
【答案】 D
【解析】 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln
＝ln＝ln，
∵y＝1＋在上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．
【函数零点所在区间的判定】
【例32】(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【答案】 AD
【解析】 f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．
【函数零点个数的判定】
【例33】若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】 C
【解析】 因为f(x＋1)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2函数，
因为x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，
所以作出它的图象，则y＝f(x)的图象如图所示．(注意拓展它的区间)
再作出函数g(x)＝的图象，
容易得出交点为12个．
【根据函数零点个数求参数】
【例34】已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－a(x＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4－2) B．(4＋2，＋∞)
C．[0,4－2] D．(0,4－2)
【答案】 D
【解析】 画出f(x)的函数图象，
设y＝a(x＋3)，该直线恒过点(－3,0)，
结合函数图象，
若y＝a(x＋3)与y＝－x2－2x相切，
联立得x2＋(a＋2)x＋3a＝0，
Δ＝(a＋2)2－12a＝0，
得a＝4－2(a＝4＋2舍)，
若f(x)＝a(x＋3)有四个不同的实数根，
则0【根据函数零点范围求参数】
【例35】已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(－∞，0) D.
【答案】 B
【解析】 由f(x)＝3x－＝0，
可得a＝3x－，
令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．
由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．
当x∈(－∞，－1)时，
g(x)＝3x－<3－1＋1＝，
又g(x)＝3x－>0，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
第 8 页（共 26 页）