(共39张PPT)
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系.
2.掌握函数零点存在定理.
3.能结合图象求解零点问题.
4.初步理解函数与方程思想.
5.感受数学抽象的不同层次,感受直观想象的作用,提高数形结合的意识.
自主预习·新知导学
一、函数的零点
【问题思考】
1.如图,观察函数f(x)的图象,并回答下列问题:
(1)根据函数f(x)的图象,你能否得出方程f(x)=0的根的个数
(2)你认为方程的根与对应函数图象有什么关系
提示:(1)由题图可知方程f(x)=0有3个根,即x1=-3,x2=-1,x3=2.
(2)方程的根就是对应函数的函数值等于0的自变量的值,也就是函数图象与x轴交点的横坐标.
2.使得 f(x0)=0 的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与 x轴 交点的横坐标.
3.函数的零点是点吗 是否所有函数都有零点
提示:函数的零点不是点,而是实数,如函数f(x)=x+1的零点是
-1,而不是(-1,0).并不是所有函数都有零点,如函数f(x)= , g(x)=x2+1均没有零点.
4.若4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点,则实数a的值等于( )
答案:D
二、零点存在定理
【问题思考】
1.若f(a)·f(b)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗
提示:不一定.如y=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,但f(2)·f(-2) >0.
2.结合教材,你认为求函数零点个数的常用方法有哪些
提示:方法1:利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几个零点.
方法2:利用函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数,从而判定零点的个数.
方法3:结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,利用f(a)·f(b)<0,结合单调性可判定y=f(x)在区间(a,b)内零点的个数.
方法4:转化成两个函数图象的交点问题,两个函数图象有几个交点,就说明有几个零点.
3.零点存在定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即 f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
4.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有对应值如下表:
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A.(-∞,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)零点即函数y=f(x)的图象与x轴的交点.( × )
(2)若方程f(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,则函数y=f(x)有两个零点.( √ )
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.
( × )
(4)若方程没有实数根,则对应函数没有零点. ( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 判断函数零点所在区间
【例1】 (1)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的大致区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
(2)函数 的零点所在的大致区间是( )
A.(3,4) B.(2,e)
C.(1,2) D.(0,1)
解析: (1)因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,
f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以f(0)·f(1)<0.
又因为函数f(x)的图象是一条连续的曲线,所以由零点存在定理可知f(x)的零点所在的大致区间为(0,1).
(2)由题意可得f(x)的定义域为(0,+∞),易知f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,函数f(x)的图象是一条连续的曲线.f(1)=ln(1+1)-2 =ln 2-2<0,f(2)=ln(2+1)-1=ln 3-1>0,可得f(1)·f(2)<0,由零点存在定理,可知f(x)的零点所在的大致区间是(1,2).
答案:(1)C (2)C
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数,求出函数的值.
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则在该区间内至少有一个零点.
【变式训练1】 函数f(x)=x+lg x-3的零点所在的大致区间是( )
答案:C
又因为f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且其图象是一条连续的曲线,所以由零点存在定理,可知f(x)的零点所在的大致区间是
探究二 求函数的零点
解:当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;
当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
求函数f(x)的零点的两种方法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根;
(2)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
【变式训练2】 已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.
探究三 判断函数零点的个数
【例3】 判断函数f(x)=ln x+x2-3零点的个数.
解法1:由题意可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
函数f(x)对应的方程为ln x+x2-3=0(x>0),所以原函数零点的个数即函数y=ln x(x>0)与y=3-x2(x>0)的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=ln x(x>0)和y=3-x2(x>0)的图象,如图.
由图象知,函数y=3-x2(x>0)与y=ln x(x>0)的图象只有一个交点,从而方程ln x+x2-3=0有一个根,即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.
解法2:由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,
因此f(1)·f(2)<0.
又f(x)=ln x+x2-3的图象在区间(1,2)上是不间断的,
所以f(x)在区间(1,2)上必有零点.
又f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,所以f(x)只有一个零点.
判断函数零点个数的方法
(1)对于一般函数的零点个数的判断问题,可以先确定零点存在,然后借助函数的单调性判断零点的个数.
(2)由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中画出函数y1=g(x)和y2=h(x)的图象,利用图象判定方程根的个数.
(3)解方程,解得的方程根的个数即函数零点的个数.
【变式训练3】 函数f(x)=ln x-x+2的零点个数为( )
A.1 B.2
C.0 D.不能确定
解析:如答图,在同一平面直角坐标系中,
分别画出函数y=ln x(x>0),y=x-2(x>0)的图象,
可知两函数图象有两个交点,即f(x)有两个零点.
答案:B
探究四 一元二次方程根的分布问题
【例4】 已知关于x的一元二次方程ax2-2(a+1)x+a-1=0(a≠0),求a为何值时函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1有且仅有一个零点.
若关于x的一元二次方程ax2-2(a+1)x+a-1=0(a≠0)的一根大于1,一根小于1,求实数a的取值范围.
因为方程有一根大于1,一根小于1,所以该方程所对应的函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1=0的图象大致如图.
又f(1)=-3<0,所以a>0.
故当a>0时,方程ax2-2(a+1)x+a-1=0的一根大于1,一根小于1.
解决一元二次方程根的分布问题应注意以下几点
(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.
(2)结合草图考虑三个方面:①开口方向;②Δ与0的大小;
③端点的函数值与零的关系.
思 想 方 法
用数形结合思想判断函数零点的个数
【典例】 试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零点个数.
分析:函数f(x)的零点个数即方程f(x)=0的解的个数.令f(x)=0,即x2-2|x|=a+1.令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则方程x2-2|x| =a+1的解的个数即函数g(x)与h(x)的图象交点的个数,故将问题转化为函数g(x)与h(x)的图象交点个数的问题.
解:令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,
函数g(x),h(x)的大致图象如图所示.
又g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,由图可得,
当a+1<-1,即a<-2时,函数g(x)与h(x)的图象无交点;
当a+1=-1,或a+1>0,即a=-2,或a>-1时,
函数g(x)与h(x)的图象有2个交点;
当-1
当a+1=0,即a=-1时,函数g(x)与h(x)的图象有3个交点.
综上,当a<-2时,函数f(x)无零点;
当a=-2,或a>-1时,函数f(x)有2个零点;
当-2当a=-1时,函数f(x)有3个零点.
在函数与方程问题中,可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象交点的问题,依据函数图象的特征,构造关于参数的不等式求解.
随 堂 练 习
答案:D
2.对于函数f(x),若f(-1)·f(3)<0,则( )
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
解析:∵函数f(x)的图象在区间(-1,3)内未必连续,
故尽管f(-1)·f(3)<0,
但方程y=f(x)=0在区间(-1,3)内未必有实数解.
答案:D
3.方程2x-x2=0的解的个数是 .
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x及y=x2的图象(图略),可看出两图象有两个交点,故2x-x2=0的解的个数为2.
答案:2
4.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的一个零点比0大,一个零点比0小,则实数a的取值范围为 .
解析:由题意可知f(0)=a-2<0,解得a<2.
答案:(-∞,2)
所以函数f(x)的零点是-3.
(2)令f(x)=0,即x2+2x+4=0,因为Δ=4-4×4=-12<0,
所以此方程无解,故原函数无零点.
(3)令y=0,即2x-3=0,解得x=log23.故函数的零点为log23.
(4)令y=0,即1-log5x=0,解得x=5.故函数的零点为5.(共33张PPT)
1.2 利用二分法求方程的近似解
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易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方法.
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用.
3.从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用;体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.
自主预习·新知导学
一、二分法的概念
【问题思考】
1.(1)我们已经知道函数f(x)=ln x+2x-6的零点在区间(2,3)内,如何缩小零点所在区间(2,3)的范围
(2)如何进一步地缩小零点所在的区间
(3)若给定精确度0.3,如何选取近似值
提示:(1)①取区间(2,3)的中点2.5.②计算f(2.5)的值,用计算器算得f(2.5)≈-0.084.因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
(2)再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内.这样一来,零点所在的范围越来越小了.
(3)当精确度为0.3时,因为|2.75-2.5|=0.25<0.3,所以可以将x=2.5作为函数f(x)=ln x+2x-6的零点近似值,当然区间[2.5,2.75]内的任意一个值都是满足精确度的近似值,常取区间的端点作为零点的近似值.
2.对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线, f(a)·f(b)<0 ,则每次取区间的中点,将区间
一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
二、利用二分法求方程的近似解的过程
【问题思考】
1.所有函数的零点都可以用二分法求出吗
提示:不是,例如函数y=(x+1)2的零点就无法用二分法求出.
2.当|a-b|<ε时,为什么说区间[a,b]上的任意实数x都可以作为零点x0的近似值
提示:因为|x-x0|≤|a-b|<ε,所以以x作为零点x0的近似值满足精确度的要求.
3.利用二分法求方程近似解的过程步骤
4.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0, f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.9 B.0.7
C.0.5 D.0.4
解析:由题意可知,函数的零点在区间(0.68,0.72)内,又|0.72-0.68|=0.04<0.1,故区间[0.68,0.72]内的任一个值都满足题意,结合选项知,只有选项B符合,故选B.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)用二分法所求出的方程的解都是近似解.( × )
(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.( × )
(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.( × )
(4)用二分法一定可以求得函数的零点. ( × )
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探究一
探究二
探究一 二分法的概念
【例1】 (1)下列函数,不能用二分法求零点的是( )
(2)用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的解,取区间的中点2,那么下一个有解的区间是 .
解析:(1)观察题中图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,故B不能用二分法求零点.
(2)设f(x)=2x+3x-7,则f(1)=-2<0,f(3)=10>0,f(2)=3>0,
∴f(x)零点所在的区间为(1,2),
∴方程2x+3x-7=0下一个有解的区间是(1,2).
答案:(1)B (2)(1,2)
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.
【变式训练1】 已知函数f(x)的大致图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为( ).
A.4,4 B.3,4
C.5,4 D.4,3
解析:图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左、右函数值异号的有3个零点,所以可以用二分法求解的零点个数为3.
答案:D
探究二 用二分法求方程的近似解或函数零点的近似值
【例2】 求方程x3-3=0的一个近似解.(精确度为0.02)
解:考察函数f(x)=x3-3,基于零点存在定理,从一个两端点函数值异号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程的解所在的区间.
经试算,f(1)=-2<0,f(2)=5>0,所以方程f(x)=0在区间(1,2)内有解.
取区间(1,2)的中点1.5,f(1.5)=0.375>0,
所以方程f(x)=0在区间(1,1.5)内有解.
如此下去,得到方程f(x)=0的解所在区间(如下表).
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 -2 2 5 1
第2次 1 -2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 -1.047 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 -0.400 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 -0.030 1.5 0.375 0.062 5
第6次 1.437 5 -0.030 1.468 75 0.168 0.031 25
第7次 1.437 5 -0.030 1.453 125 0.068 4 0.015 625
至此,可以看出,区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02,而方程的解就在这个区间内,因此区间内任意一个数都是满足精确度0.02的近似解,例如,1.45就是方程x3-3=0精确度为0.02的一个近似解.
应用二分法需注意的问题
(1)精确度:要看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤的结束.
(2)初始区间:初始区间的选定一般在两个整数间,在精确度给定的情况下,不同的初始区间结果是相同的.
(3)方程解的选取:当区间长度符合“精确度ε”的要求后正确选取方程的解.
当区间[an,bn]的长度|an-bn|<ε时,这个近似值可以是区间[an,bn]内任意一个数.
【变式训练2】 根据表,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)内的零点近似值(精确度为0.1)是 .
f(1)=-1 f(2)=3 f(1.5)=-0.125
f(1.75)=1.109 375 f(1.625)=0.416 015 625 f(1.562 5)=0.127 197 266
答案:1.5(答案不唯一)
易 错 辨 析
因对二分法的原理理解不到位致误
答案 B
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
答案:D
随 堂 练 习
1.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的是( ).
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log2x D.f(x)=ex-2
解析:由于f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时, f(x)>0.在零点两侧函数值同号,因此不能用二分法求零点.其余选项在零点两侧函数值符号均相反,故可用二分法求解.
答案: ACD
2.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是( ).
A.(2,3) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,1)
解析:令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,∵f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,∴根据函数零点存在定理可得,零点在区间(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的解所在的初始区间为(2,3).故选A.
答案:A
3.函数y=f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
那么方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.05)为( )
A.1.275 B.1.375
C.1.415 D.1.5
解析:f(1.438)=0.165>0,
f(1.406 5)=-0.052<0,
且|1.438-1.406 5|=0.031 5<0.05,
故方程f(x)=0满足精确度为0.05的一个近似解在区间
[1.406 5,1.438]内.
结合四个选项知,只有1.415符合条件,故选C.
答案:C
4.若函数f(x)在定义域{x∈R|x≠0}上是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,f(2)=0,则函数f(x)的零点有 个.
解析:因为区间f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
所以f(-2)=f(2)=0.
因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.
所以f(x)在区间(0,+∞)内仅有x=2一个零点,在区间(-∞,0)内仅有x=-2一个零点.
故函数f(x)有2个零点.
答案:2
5.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:
由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解.(精确度为0.1)
解:因f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间[1.25,1.375]的长度为0.125>0.1,因此需要取区间(1.25,1.375)的中点1.312 5,而区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又两个区间的长度都为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.(共49张PPT)
§2 实际问题中的函数模型
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素养阐释
1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力,即根据实际问题进行信息综合,列出函数解析式.
2.会建立函数模型解决实际问题.
3.通过学习函数基本模型的应用,体会实践与理论的关系,初步渗透理论与实践的辩证关系.
4.体会函数思想在解决现实问题中的应用,提升数学建模素养.
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一、实际问题的函数刻画
【问题思考】
1.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:有一天,兔子和乌龟比赛跑步.领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为乌龟和兔子行驶的时间,则与故事情节相吻合的是( ).
解析:乌龟距离起点的距离始终在增加,符合一次函数的增长模型,兔子距离起点的距离先增加,再停止增加一段时间后又更快的增加,总之,乌龟与兔子行进的路程是一样的,乌龟用的时间少,兔子用的时间长,综合以上分析,选B.
答案:B
2.在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际问题中存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象,但常见的还是使用解析式.
二、用函数模型解决实际问题
【问题思考】
1.数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系,用形式化的数学语言,抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构.其中,函数模型是应用最广泛的数学模型之一.
实际问题一旦被认定是函数关系,就可以通过研究这个函数的性质,使问题得到解决.
2.解决实际问题的基本过程是什么
提示:(1)分析问题,(2)建立函数模型,(3)解决函数问题,(4)回到实际问题.
3.某物体一天内的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h)的函数,且满足T(t)=t3-3t+60,t=0时表示中午12:00,则上午8:00时的温度为 ℃.
解析:由于t=0时表示中午12:00,则上午8:00时t=-4,代入函数T(t)=t3-3t+60中,可得T(-4)=8.
答案:8
三、常见的函数模型
【问题思考】
1.常见的几种函数模型
2.某水果市场规定,批发苹果不少于100 kg时,批发价为2.5元/kg.小王携带3 000元现金到市场采购苹果,并以2.5元/kg的价格买进,如果购买的苹果为x kg,小王付款后剩余现金y元,那么y与x之间的函数关系为 .
答案:y=3 000-2.5x(100≤x≤1 200)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)商场将某种商品按进货价提高40%,然后再打八折优惠销售,结果每件商品比进货价多赚了270元,那么这种商品的进货价是2 000元/件.( × )
(2)当不同的范围下,对应关系不同时,可以选择分段函数模型.
( √ )
(3)已测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个函数模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用甲作为函数模型较好.( √ )
(4)有关平均增长率的实际问题一定是指数函数模型.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 利用已知函数模型解决实际问题
(1)求p%的值.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年
(3)该森林今后最多还能砍伐多少年
用函数模型解决实际问题的思想
【变式训练1】 我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与声音的强度有关系.声音的强度用I(W/m2)表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平LI表示,它们满足以下关系:
(单位为分贝,LI≥0,其中I0=1×10-12 W/m2).回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10 W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的强度水平;
(2)某一新建的小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试求该小区内公共场所的声音强度I的范围.
探究二 分段函数模型
【例2】 据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数图象如图,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t h内台风所经过的路程s km.
(1)当t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用函数关系式表示出来;
(3)若N城位于M地的正南方向,且距M地650 km,试判断这场台风是否会侵袭到N城.如果会,那么在台风发生后多长时间它将侵袭到N城 如果不会,请说明理由.
解:(1)由题中图象可知,线段OA对应的方程是v=3t(0≤t≤10),线段BC对应的方程是v=-2t+70(20≤t≤35).故当t=4时,v=12,
(3)当t∈[0,10]时,smax= ×102=150<650;
当t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650;
当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,
解得t=30或t=40(舍去),
故在台风发生30 h后将侵袭到N城.
分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数,一要注意规范书写格式;二要注意各段的定义域的表示方法,对于中间的各个分点,一般是“一边闭,一边开”,以保证在各分点的“不重不漏”.
【变式训练2】 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为51元
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出P与x之间的函数关系式.
(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元 如果订购1 000个,利润又是多少元
(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
(3)设销售商一次订购量为m个时,工厂获得的利润为L元,
当m=500时,L=6 000;
当m=1 000时,L=11 000.
因此,当销售商一次订购500个零件时,
该厂获得的利润是6 000元;如果订购1 000个,利润是11 000元.
探究三 函数模型的选择
【例3】 在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
分析:把各组数据代入,逐个检验即可选出最接近的一个.
解析:对于选项A,各组数据都很接近,
对于选项B,当x=5.15时,y=8.3,与实际数据相差较大,
当x=6.126时,y=10.252,与实际数据相差较大,故选项B不合适;
对于选项C,当x=4时,y=2,与实际数据相差较大,
故选项C不合适;
答案:A
【变式训练3】 通过市场调查,得到某商品的价格在近四个月的市场平均价f(x)(单位:元/kg)与时间x(单位:月)的数据如下:
现有三种函数模型:f(x)=bx+a(b≠0),f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
,找出你认为最适合的函数模型,并估计12月此商品市场平均价为( )元/kg.
A.28 B.25 C.23 D.21
解析:因为f(x)的值随x值的增大先增后减,
所以选f(x)=ax2+bx+c(a≠0)最合适.
将(8,28.00),(10,36.00),(11,34.00)分别代入f(x)=ax2+bx+c,
可求得a=-2,b=40,c=-164,则f(x)=-2x2+40x-164.
当x=12时,f(x)=28.
答案:A
易 错 辨 析
因题意理解不正确致误
【典例】 依法纳税是每个公民应尽的义务.国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的.2019年开始实施的税收新起征点规定:月收入不足5 000元的免征个人工资、薪金所得税,超过5 000元的部分需征税.设全月应纳税所得额(x)=全月总收入-5 000,税率见表:
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过3 000元的部分 3%
2 超过3 000元至12 000元的部分 10%
3 超过12 000元至25 000元的部分 20%
…… …… ……
7 超过80 000元的部分 45%
(1)若在不考虑专项扣除的情况下,应纳税额为f(x),试用分段函数表示1~3级应纳税额f(x)的计算公式.
(2)王工程师今年10月的工资收入为10 000元,且没有专项扣除,试计算王工程师10月应缴纳个人所得税多少元.
错解:(1)依题意,1~3级应纳税额f(x)的计算公式为
(2)因为x=10 000-5 000=5 000∈(3 000,12 000],
所以f(x)=10%×5 000=500.
所以王工程师今年10月应缴纳个人所得税500元.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:以上错解主要是对表中所给税率没有真正理解.如级数2中应纳税所得额在区间(3 000,12 000]上时,指的是前面的
3 000元仍按3%纳税,超过3 000元的部分才按10%纳税,同样,后面各级都要如此,即前面的仍按上一级税率计算纳税额,超过部分按本级税率计算纳税额,总纳税额要将各级计算的税额相加.
正解:(1)依题意,1~3级应纳税额f(x)的计算公式为
(2)因为x=10 000-5 000=5 000∈(3 000,12 000],
所以f(x)=90+10%×(5 000-3 000)=290元,
所以王工程师今年10月应缴纳个人所得税290元.
1.认真读题、审题,弄清题意,明确题目中的数量关系.
2.充分借助图象、表格信息确定解析式,对于分段函数图象要特别注意虚实点,写准定义域,同时要注意它是一个函数.
随 堂 练 习
1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )
A.减少7.84% B.增加7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
解析:设某商品原来价格为a,依题意得a(1+0.2)2·(1-0.2)2= a×1.22×0.82=0.921 6a,所以四年后的价格与原来的价格比较(0.921 6-1)a=-0.078 4a,即减少7.84%.
答案:A
2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( )
A.y=log2x B.y=2x C.y=x2 D.y=2x
解析:代入逐个检验可得答案为B.
答案:B
3.(多选题)甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止,设甲、乙两人之间的距离为s(单位:km),甲行驶的时间为t(单位:h),s与t之间的函数关系图象如图所示,则下列说法正确的有( ).
A.出发1 h时,甲、乙在途中相遇
B.出发1.5 h时,乙比甲多行驶了60 km
C.出发3 h时,甲、乙同时到达终点
D.甲的速度是乙的速度的一半
解析:由题中图象可得,出发1 h时,甲、乙在途中相遇,故A正确;甲骑摩托车的速度为120÷3=40(km/h),设乙开汽车的速度为a km/h,则 ,解得a=80,
故乙开汽车的速度为80 km/h,
所以甲的速度是乙速度的一半,故D正确;出发1.5 h时,乙比甲多行驶了1.5×(80-40)=60(km),故B正确;乙到达终点所用的时间为1.5 h,甲到达终点所用的时间为3 h,故C错误.
答案:ABD
4.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg 中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分打出的字数,则当N=40时,t≈ .
(已知lg 5≈0.699,lg 3≈0.477)
答案:36.72
5.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是一组邻边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的总面积为8 m2.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)写出用料l与x之间的函数关系式.(共39张PPT)
第5课时 函数应用
知 识 网 络
要 点 梳 理
专题归纳·核心突破
知 识 网 络
要 点 梳 理
1.函数的零点是什么
提示:对于函数y=f(x),使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数y=f(x)的零点.
2.方程的根与函数的零点的关系是怎样的
提示:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
3.函数的零点存在定理的内容是怎样的 怎样理解
提示:零点存在定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
理解:(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上若不连续,则f(a)·f(b)<0与函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点个数没有关系(即:零点存在定理仅对连续函数适用).
(2)连续函数y=f(x)若满足f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内至少有一个零点;反过来,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点不一定使f(a)·f(b)<0成立,若y=f(x)为单调函数,则一定有f(a)·f(b)<0.
4.函数零点常用的判定方法有哪些
提示:(1)定义法(定理法):使用零点存在定理,函数y=f(x)必须在区间上是连续的,当f(a)·f(b)<0时,函数在区间(a,b)内至少有一个零点.
(2)方程法:判断方程f(x)=0是否有实数解.
(3)图象法:若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成,则可考虑用图象法求解,如f(x)=g(x)-h(x),作出y=g(x)和y=h(x)的图象,其交点的横坐标即函数f(x)的零点.
5.怎样判断函数零点的个数
提示:(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理法:利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.
(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
6.什么是二分法
提示:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
7.利用二分法求方程近似解的过程步骤是怎样的
提示:
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)关于函数f(x),x∈[a,b],若x0∈[a,b],且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点.( √ )
(2)函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.( × )
(3)不论m为何值,函数f(x)=x2-mx+m-2都有两个零点.( √ )
(4)实数a,b,c是图象连续不断的函数f(x)定义域中的三个数,且满足a(5)若函数f(x)的唯一零点同时在区间 内,则f(0)与f(1)符号相同.( √ )
(6)如图所示的函数图象,都可以用二分法求图中交点横坐标.( × )
专题归纳·核心突破
专题整合
高考体验
专题一 函数的零点所在区间及个数判断
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(1,2)与(2,3)
(2)已知函数y=f(x)和y=g(x)在区间[-2,2]上的图象如下图所示:
给出下列四个说法:
①方程f(g(x))=0有且仅有6个根;
②方程g(f(x))=0有且仅有3个根;
③方程f(f(x))=0有且仅有7个根;
④方程g(g(x))=0有且仅有4个根.
其中正确的说法为 .(填序号)
(2)设函数f(x)的三个零点为a,b和0,且a由题图知a∈(-2,-1),b∈(1,2),
设函数g(x)的两个零点为c,d,且c由题图知c∈(-2,-1),d∈(0,1).
(ⅰ)由f(g(x))=0知g(x)=a或g(x)=b或g(x)=0,
其中a∈(-2,-1),b∈(1,2),因为g(x)的图象与直线y=a,直线y=b和直线y=0均有两个交点,所以y=f(g(x))有6个零点,故①正确.
(ⅱ)由g(f(x))=0知f(x)=c或f(x)=d,其中c∈(-2,-1),d∈(0,1),由于y=f(x)的图象与直线y=c有1个交点与直线y=d有3个交点,
所以函数y=g(f(x))有4个零点,故②错误.
同理可以判断③错误,④正确.
故正确的说法为①④.
答案:(1)B (2)①④
根据函数零点的定义,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,判断一个方程是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有根,有几个根.确定函数零点的个数有两个基本方法:利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断.
【变式训练1】 函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
在同一平面直角坐标系中分别画出函数g(x),h(x)的图象(如图),可以发现两个函数的图象有两个交点,因此函数f(x)有两个零点.
答案:B
专题二 函数的零点与方程的根的关系及应用
(1)当a=1时,函数g(x)是否存在零点,若存在,求出所有零点;若不存在,说明理由.
(2)求函数g(x)的最小值.
分析:(1)利用换元法,转化为一元二次函数求解.
(2)运用分类讨论思想求解.
解:(1)当a=1时,函数g(x)不存在零点.理由如下:
当a=1时,设t=ex,则t∈[1,3].
令h(t)=t2+t-1,
∴函数g(x)不存在零点.
(2)设t=ex,则t∈[1,3],令g(t)=t2+|t-a|,t∈[1,3].
当a≤1时,g(t)=t2+t-a在区间[1,3]上单调递增,
所以g(t)的最小值为g(1)=2-a.
因为函数g(t)在区间[a,3]上单调递增,在区间[1,a]上也单调递增,又函数g(t)在区间[1,3]上为连续函数,所以函数g(t)在区间[1,3]上为增函数,所以g(t)的最小值为g(1)=a.
综上可得,当a≤1时,g(x)的最小值为2-a;
1.函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
2.求参数范围常用方法
(1)一元二次函数零点(或一元二次方程根)的分布问题用函数思想求解.
(2)利用函数图象数形结合求解.
(3)利用分类讨论思想求解.
【变式训练2】 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
答案:B
专题三 函数的性质及应用
【例3】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:km/h)是车流密度x(单位:辆/km)的函数.当桥上的车流密度达到200 辆/km时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20 辆/km时,车流速度为60 km/h.研究表明:当20(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的解析式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/h)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1 辆/h)
分析:理解题意→列出函数关系式→求出最值
利用函数解决实际问题的常用方法
(1)利用所给定的函数模型或图象,用待定系数法求出解析式进而解决实际问题.
(2)构造函数模型:一是由题意直接确定模型,进而解决其他问题,二是由题目提供的数据,利用图形确定函数模型.从而解决一些实际问题或预测一些结果.
【变式训练3】 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市场调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售,可获利30%,但要付出仓储费用700元,请根据商场情况,分析如何购销获利较多
解:设商场投资x元,在月初出售,到月末可获利y1元,在月末出售,可获利y2元,
则y1=15%x+10%(x+15%x)=0.265x,
y2=30%x-700=0.3x-700.
在同一平面直角坐标系中,画出函数y1=0.265x和y2=0.3x-700的图象如图,得两图象的交点坐标为(20 000,5 300).
由图象,知当x>20 000时,y2>y1;当x=20 000时,y1=y2;
当x<20 000时,y2当投资等于20 000元时,月初、月末出售均可;
当投资大于20 000元时,月末出售.
考点一 零点的判断与求法
解析:函数g(x)=f(x)+x+a有两个零点,
等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,
即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点,
由图象可知,
必须使得直线y=-x-a与直线y=-x+1重合或位于直线y=-x+1的下方,
所以-a≤1,即a≥-1.
故选C.
答案:C
当x≥2时,由f(x)=x-4<0,解得x<4,
∴2≤x<4.
当x<2时,由f(x)=x2-4x+3<0,解得1∴1综上可知,1分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图.
由函数f(x)恰有2个零点,
结合图象可知1<λ≤3或λ>4.
故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
答案:(1,4) (1,3]∪(4,+∞)
考点二 函数模型及应用
3.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1
答案:A
4.(2020·全国 Ⅲ 高考)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:
,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)( ).
A.60 B.63 C.66 D.69
答案:C