2023-2024学年北师大版高一（上）期末预测数学试卷（含解析）

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2023-2024学年北师大版高一（上）期末预测数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（ ）
A． B． C．0 D．
4．已知函数为偶函数，则函数的增区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数为偶函数，且当时，．若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）天.（参考数据：)
A．70 B．80 C．90 D．100
7．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，中国代表团共获得201枚金牌，111枚银牌，71枚铜牌，共383枚奖牌的历史最好成绩.某个项目的比赛的六个裁判为某运动员的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均分为该选手的最后得分，设这六个原始分的中位数为，方差为，四个有效分的中位数为，方差为，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地,途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2）,甲前一半的路程使用速度v1,后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程,C是AB的中点）,则其中可能正确的图示分析为
A． B．
C． D．
二、多选题
9．一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A表示事件“骰子向上的点数大于等于3”，B表示事件“骰子向上的点数为奇数”，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数是定义域为的奇函数，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）．
A．函数（且）过定点
B．是定义域上的减函数
C．的值域是
D．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件
12．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：），相应不同声的声强级如下表所示，则（ ）
（） 正常人能忍受最高声强1 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话声强
（dB） 120 0 80
A． B． C． D．
三、填空题
13．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为
14．设，已知函数为偶函数，且在上单调递减，则可取的值为 .
15．若定义域为的奇函数满足，且其图象过点A，点A为函数（且）的图象所过定点，则 .
16．药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间．在特定剂量范围内，（单位，h）内药物在血液中浓度由（单位，）降低到（单位，），则药物的半衰期．已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度分别为和，经过一段时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为，设药物甲、乙的半衰期分别为，，则 ．
四、解答题
17．已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
18．已知是自然对数的底数，.
(1)判断函数在上的单调性并证明；
(2)解不等式.
19．设集合存在正实数t，使得定义域内任意x都有．
(1)若，证明：；
(2)若，，且．求函数的最小值．
20．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米.
(1)求关于的函数，并写出的取值范围;
(2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小
21．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．
(1)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．
(2)若规定两人起始分都为2分，记（）为甲累计总分为i时，甲最终获胜的概率，则
①求证（）为等比数列
②求的值．
22．2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
(3)在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
参考答案：
1．D
【分析】由并集的定义即可得出答案.
【详解】由题意知集合
故.
故选：D.
2．D
【分析】列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件，再分别求出点数之和是2、3、4的基本事件个数，进而求出点数之和是2、3、4的概率，，，即可得到它们的大小关系．
【详解】先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，， ，
，，，，，，
，，，，，，共36种，
其中点数之和是2的有1种，故，
点数之和是3的有2种，故，
点数之和是4的有3种，故，
所以
故选：D
3．A
【分析】根据题目条件推出函数的一个周期，从而得到，再根据和得到答案.
【详解】因为为偶函数，所以，
所以，
因为，故，
即，所以，
故，
故函数的一个周期，
故，
中，令得，，
因为，所以，
故.
故选：A
4．B
【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.
【详解】因为函数为偶函数，所以，解得，
所以函数，其增区间为.
故选：B．
5．C
【分析】易知函数关于直线对称，利用复合函数单调性可知其在上为增函数，即可得.
【详解】由函数为偶函数，得函数的图象关于直线对称．
当时，，由复合函数单调性可得函数在上为增函数，
所以在上为减函数，
结合，得，即．
故选：C．
6．B
【分析】根据题意列方程，然后取对数求解.
【详解】设天后当“进步”的值是“退步”的值的5倍，则，即，
两边同时取对数，化简得，
所以，即.
故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.
故选：B.
7．D
【分析】可求出六个原始分和四个有效分的中位数，再根据方差的定义判断方差的大小．
【详解】容易求出这六个原始分95，95，95，93，94，94的中位数为，方差为；
四个有效分95，95，94，94的中位数为，方差为；
根据方差的定义知四个有效分的波动性变小，所以．
故选：D．
8．A
【分析】开始时,甲乙两人速度相同,图像重合,后半段速度增加,路程时间图像的斜率应该更抖.
【详解】由题意可知,开始时,甲、乙速度均为v1,所以图象是重合的线段,由此排除C,D,再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示A正确．
故选:A.
9．ACD
【分析】由题意，根据事件的基本运算，结合古典概型的概率公式依次计算即可求解.
【详解】A：掷一枚骰子并观察向上的点数，样本空间为，共6个样本点，
则，共4个样本点，所以，故A正确；
B：，共3个样本点，所以，故B错误；
C：由选项AB知，，共5个样本点，所以，故C正确；
D：由选项AB知，，共2个样本点，所以，故D正确.
故选：ACD
10．BD
【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据奇函数的定义分析判断.
【详解】因为是定义域为的奇函数，
所以，则B一定成立；
令，则，解得，则D一定成立；
例如，则为奇函数，符合题意，
但，可知，即A不一定成立；
且，即C不一定成立；
故选：BD．
11．AD
【分析】由指数函数过定点即可判断A，由反比例函数的单调性即可判断B，由对数函数的值域即可判断C，由充分性以及必要性的定义即可判断D
【详解】令，解得，将代入，可得，
即函数过定点，故A正确；
函数的单调减区间为，故B错误；
函数，令，解得或，
则其定义域为，值域为，故C错误；
若，则，则函数在上单调递增，故充分性满足，
若函数在区间上为增函数，则，故必要性不满足，
所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，
故D正确；
故选：AD
12．BCD
【分析】根据表格的数据求出函数的解析式，利用解析式判断选项的正误.
【详解】由表格得，所以，
又因为，得，
所以，A错误；
，则，B正确；
当时，，C正确；
当时，，D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.
【详解】由，
因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，
所以有，等号不同时成立，解得.
故答案为：
14．
【分析】幂函数，先对教材研究过的的两种基本模型进行判断，再分别借助函数单调性和奇偶性的定义，判断等情形是否满足题意即可.
【详解】幂函数是偶函数，在上单调递增，不满足题意；
幂函数的定义域是，不满足奇偶性定义，不满足题意；
幂函数的定义域是，
设，，幂函数是奇函数，不满足题意；
幂函数的定义域是，
设，，所以幂函数是奇函数，不满足题意；
幂函数的定义域是，不满足奇偶性定义，不满足题意；
幂函数的定义域是，
设，，所以幂函数是偶函数，
设，
，
因为，得，
所以，即成立，所以幂函数在上单调递减，满足题意；
故答案是：.
15．2
【分析】先求出，可得，从而可得，再推出函数的周期为，进而可得答案.
【详解】因为，
所以（且）的图象过定点，
又因为的图象过点A，所以，
因为是定义域为的奇函数，所以，即.
由可得，
由，得，
所以，即，
于是有，
所以，即.
所以函数的周期为.
所以.
故答案为：.
16．2
【分析】根据题意代入即可求解.
【详解】由题意得，．
故答案为：2
17．(1)为奇函数；
(2)在上的单调递减，证明见解析；
(3).
【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可；
（2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可；
（3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可．
【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且，
取，则，即，
取，则，所以，
所以为奇函数.
（2）在R上的单调递减，证明如下：
任取，且，则，
令，则，
因为为奇函数，所以，
因为当时，，所以，
即，所以在上的单调递减.
（3）由，得，
因为，所以，
因为在上的单调递减，所以，
即时，恒成立，
等价于对任意时，恒成立，
令，则，
所以，
所以，
故实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：解题关键是利用进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题.
18．(1)函数在上单调递增，证明见解析
(2)或
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明；
（2）首先证明函数是偶函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性解不等式；
【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则
，
因为，，且，所以，所以，，，
故，即，
所以在上单调递增.
（2）函数的定义域为，且，
所以是偶函数，
又由（1）知在上单调递增，
所以，
两边平方可得，解得或，
故不等式的解集为或.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用即可判断；
（2）由题意得，所以对任意都成立，分离变量得且在恒成立，可求得，然后分类讨论，结合对勾函数的性质求解最小值即可．
【详解】（1）由题意可知，当和时，有，
所以，．
（2）由，
即，
所以，对任意都成立，
故，且在上恒成立，
所以且，
令，易知在单调递增，
故，所以，．
当时，在上单调递增，
∴单调递增，∴．
当时，在上单调递增，
∴单调递增，∴．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴．
综上，．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
（1）分离参数法：分离出函数中的参数，问题转化为求新函数的最值或范围．若恒成立，则；若恒成立，则；
（2）最值法：通过对函数最值的讨论得出结果．若恒成立，则；若恒成立，则；
（3）数形结合法：若恒成立，则图象始终在的上方；
（4）分段讨论法：对变量进行分段讨论，然后再综合处理．
20．(1)
(2)长为 6米 和宽为 2米
【分析】（1）根据矩形面积公式即可求解，
（2）利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）宽为米、长为米的长方形展牌, 所以面积为: , ,
其中 ,
故 , 即
（2）展牌的周长即 ,当且仅当 时, 等号成立, 此时 ,
所以设计展牌的长为 6 和宽为 2 , 才能使展牌的周长最小, 最小值为 16 .
21．(1)0.0348
(2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）根据题意设出事件，分类求解恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率.
（2）由题分析得出之间的递推公式，进而证明（）为等比数列，并求出数列的通项，由累加法求出的值.
【详解】（1）记“在每一轮比赛中甲得分1分”为事件A，，
“在每一轮比赛中乙得1分”为事件B，，
“在每一轮比赛中得0分”为事件C，．
记“恰好经过4轮比赛，甲获胜”为事件D，
则，
所以恰好经过4轮，甲赢得比赛的概率为.
（2）记甲累计总分为i时，甲最终获胜为事件M，
则
即
整理可得
且显然，
为等比数列，且首项为，公比为，
②，
，
，
，
叠加可得，而，
【点睛】方法点睛：根据题意得到之间的递推关系，再利用数列递推公式进行求解，概率与数列综合题目.
22．(1)，
(2)估计众数为70，分位数为
(3)
【分析】（1）由第三、四、五组的频率之和为0.7，各组频率之和为，建立方程组求解；
（2）由频率分布直方图可知最高的矩形组为第三组，取中点可得众数，求前两组与前三组频率之和，确定第分位数所在组，再由比例关系求解；
（3）由抽样比可得两组选取人数，列举法得，，再由古典概型概率公式可求.
【详解】（1）由题意可知：，，
解得，；
（2）由频率分布直方图估计众数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
则估计第分位数为；
（3）根据分层抽样，和的频率比为
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有
共4个，即，
所以.
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