第5讲 同构与导数放缩
知识与方法
同构不等式是近些年高考模拟题的热点题型，经常出现在压轴选择填空和导数大题中，特别是恒成立求参数取值范围，或证明不等式，常规方法可能需要采用隐零点，往往较为繁琐，而用同构，则会达到四两拨千斤的功效．
那么何为同构？什么时候用同构呢？顾名思义，同构，函数结构相同时使用，或者通过变形使不等式两边的函数结构相同。例如题目给了条件能等价变形为，然后利用的单调性，如递增，再转化为，这种方法我们就可以称为同构不等式，简称同构．．
同构第一重境界：双变量问题、地位完全等价，只需把同一个变量移到不等式同一边即可。给大家一些常见的例子，一看便知．
（1）
为增函数，求导证明即可
（2）
为减函数．
同构第二重境界：指对跨阶时使用，何谓指对跨阶？简单做一个介绍，、x、中，指数增长最快属于第一阶，x其次，属于第二阶，增长最慢，属于第三阶。如果题目中既出现，又出现，我们暂且称之为指对跨阶．
指对跨阶常见模型及处理方法：
（1）积型：
（2）商型：
（3）和差型：
同构第三重境界：有些同构式不是很明显的指对跨阶，需要配凑常数或者自变量x，此类题型较为含蓄，需要同学们多加练习。举例说明：
【例】如：（1）
（2）
（3）
以上就是同构的三重境界，很多同学看完后可能同构的运用还是不够灵活，要想用好同构，还要掌握两种方法，指对变换与放缩．
常见的指对变换有，，基于此，有如下一些变形，需要大家理解并掌握．
，；
，，
（1），
（2），，，
常见的指对变换与放缩结合有如下几种：
，；；
，
典型例题
【例1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
（1）：
【解析】，．
（2）；
【解析】，．
（3）；
【解析】，．
（4）；
【解析】
，．
（5）；
【解析】，．
（6）．
【解析】，．
（7）；
【解析】，．
（8）；
【解析】，．
【例2】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故．
【解法2】取，，满足，此时，，可排除BCD．
【答案】A．
【例3】已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______．
【解析】
【解法1】当，由题意可得与互为反函数，
故问题等价于在区间上恒成立．
构造函数，则，
令，得，且此时函数取到最小值，
故有，解得；
当时，不符合条件，舍去，
故a的取值范围是：；
【解法2】由指对函数图像可知，，
构造，，，，，
构造，，
从而，．
【答案】
【例4】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为______．
【解析】
【解法1】隐零点
∵实数，对任意的，不等式恒成立，∴，
设，，，，令，得，
由指数函数和反函数在第一象限的图象，得到与有且只有一个交点，
设交点为，当时，，递增，
当时，，递减，
∴在处取得极小值，且为最小值，
∴，令，解得，，
当时，不等式恒成立，
则的最小值为．
【解法2】同构，，
当，不等式恒成立
当，构造，，，
构造，，．
【例5】已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】即所以且，
构造，所以，，故，
令，，则，
令，解得，令，解得，
∴在单调递增，在单调递减，
∴．
【答案】C．
【例6】若对任意，恒有，则实数a的最小值为______．
【解析】
，
令，则，，
易知在（0，1）上递減，在上递增，所以，
所以在单调递增．
则，
易证，所以，
【答案】．
【例7】已知函，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】，令，显然为增函数．
则原命题又等价于．
由于，所以，即得．
【解法2】，
，
，
，
，
构造
，，
，
，
令，，
，
．
【答案】B.
【例8】对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为______．
【解析】
．
由于为增函数，所以由，得，即恒成立．
令，则，易得，所以实数a的最小值为．
【答案】．
【例9】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求a的取值范围．
【解析】（1）当时， ，∴，∴，
∵，∴曲线在点处的切线方程为，
当时，，当时，，
∴曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
（2）【解法1】同构，由，可得，即，
即，令，则，∴在上单调递增，
∵，∴，即，
令，∴，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴，∴，∴，故a的范围为．
【解法2】由可得，，，即，
设，∴恒成立，∴在单调递增，
∴，∴，即，
再设，∴，
当时，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴，∴，即，
∴，则，
此时只需要证，即证，
当时，∴恒成立，
当时，，此时不成立，综上所述a的取值范围为．
【解法3】由题意可得，，
∴，易知在上为增函数，
①当时，，，
∴存在使得，
当时，，函数单调递减，
∴，不满足题意，
②当时， ，，∴，令，
∴，易知在上为增函数，
∵，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，∴，即，
综上所述a的取值范围为．
【解法4】∵，，，∴，易知在上为增函数，
∵在上为增函数，在上为减函数，
∴与在上有交点，∴存在，使得，
则，则，即，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴
∴
设，易知函数在上单调递减，且，
∴当时，，∴时，，
设，，∴恒成立，∴在上单调递减，
∴，
当时，，
∴，∴．
【例】10．已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
【解析】（1）若，则，
设，则，
故存在唯一，使得 ，即，
，，单调递减，，，单调递增，
所以，所以在单调递增．
（2）若，当时， ，
若，，则．
设，则，令，则，
，，单调递减，，，单调递增．
当时，，
当时，，，
若，只需满足，即．
设，则，令，则，
，，单调递增，，，单调递减，
所以
所以若，即，则，
综上所述，当时，
强化训练
1．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，函数定义域，，当时，，单调递增，当时，，所以时，；时，；当时，，单调递减，此时，所以若存在，，使得成立，则且，所以，即，所以，，令，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时， ，
【答案】D．
2．设实数．且不等式对恒成立，则m的最大值是（ ）
A．e B． C．2e D．
【解析】由题意，，，不等式对恒成立，等价于，
设，则，于是在递增，
∵，时，不等式显然成立，时，有，故，
令，，，故在递增，在递减，故，故，即m的最大值是，
【答案】D．
3．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】即为，设，则上式对任意的实数恒成立，显然是上的增函数，
∴，
【答案】D．
4．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，令，，由，且，知在为减函数．所以，
【答案】C．
5．已知，函数的最小值为0，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，当且仅当，即，即时等号成立，所以．
【答案】C．
6．已知函数，的零点，则______．
【解析】
．
所以，即，或．则．
【答案】2．
7．已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值是______．
【解析】（利用）
等号成立的条件是，即有解
令，则，易得．故a的最小值为．
【答案】
8．已知函数，，其中，求证：．
【解析】证明：
，
令，则，
易知，故．
9．已知函数，若，求a的取值范围．
【解析】
．
由于，当且仅当等号成立，所以．
【答案】．
10．已知函数，，当时，若恒成立，求a的取值范围．
【解析】，当，不等式恒成立；
当时，，由于，【利用】
当且仅当等号成立，所以．故．
【答案】．
11．已知函数，求证时，．
【解析】证明：
令，则，易知，
又时，．所以时，．
12．已知函数，．
（1）讨论，零点的个数；
（2）若方程有实数根，求a的取值范围．
【解析】（1），，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
当，即时，无零点，
当时， 有一个零点，当时， 有两个零点
当时， 有一个零点．
，
当时，，单调递增，是的唯一零点，
当时，若，则，
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
当时，即时，无零点，
当时， 有一个零点，当时，有两个零点，
当时，当时， ，单调递增，
当时， ，单调递减，
所以，
当时，即时，无零点，
当时， 有一个零点，当时，有两个零点．
（2）若方程有实数根，即有大于零的实数根，
即有大于零的实数根，
设，则，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
设，
若方程有实数根，则存在零点，
，当时，则，在单调递增，
所以存在唯一零点，
当时，令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
当时，即时，存在零点，
综上所述，当时，方程有实数根．
13．已知函数，．
（1）若，求的极值；
（2）证明：．
【解析】（1）当时，．
，当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
综上，的极小值为，无极大值．
（2）因为，当且仅当时等号成立，
所以若，只需，
设，则，，
所以只需证明，
设，则，
当时，，，，单调递减，
当时，，，，单调递增，
所以，即，当且仅当，且严时等号成立，此时，．
所以．
14．已知函数，已知实数，若在上恒成立，求a的取值范围．
【解析】
同时加x
构造，单调递增，即
15．已知函数，，若，求的最大值．
【解析】由题意：；，
而：，∴．
构造在单增，∴，∴，∴，
∵，∴．
16．若时，关于x的不等式恒成立，求a的最大值．
【解析】．
构造，，∵，
当时，恒成立
当时，在
所以：．
17．已知函数，若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．
【解析】
【解法1】，
∴，
∴
令，单增，
．
【解法2】，，
构造，∴，因为单增，
∴，∴．
18．设函数．若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．
【解析】
，
，
∴．
19．若函数有零点，求b的取值范围．
【解析】，∵，
∴，
∵．
20．若，证明：．
【解析】需证：，即证：，
令，，∴，
∵在单减，即证：，即证显然成立．
1第5讲 同构与导数放缩
知识与方法
同构不等式是近些年高考模拟题的热点题型，经常出现在压轴选择填空和导数大题中，特别是恒成立求参数取值范围，或证明不等式，常规方法可能需要采用隐零点，往往较为繁琐，而用同构，则会达到四两拨千斤的功效．
那么何为同构？什么时候用同构呢？顾名思义，同构，函数结构相同时使用，或者通过变形使不等式两边的函数结构相同。例如题目给了条件能等价变形为，然后利用的单调性，如递增，再转化为，这种方法我们就可以称为同构不等式，简称同构．．
同构第一重境界：双变量问题、地位完全等价，只需把同一个变量移到不等式同一边即可。给大家一些常见的例子，一看便知．
（1）
为增函数，求导证明即可
（2）
为减函数．
同构第二重境界：指对跨阶时使用，何谓指对跨阶？简单做一个介绍，、x、中，指数增长最快属于第一阶，x其次，属于第二阶，增长最慢，属于第三阶。如果题目中既出现，又出现，我们暂且称之为指对跨阶．
指对跨阶常见模型及处理方法：
（1）积型：
（2）商型：
（3）和差型：
同构第三重境界：有些同构式不是很明显的指对跨阶，需要配凑常数或者自变量x，此类题型较为含蓄，需要同学们多加练习。举例说明：
【例】如：（1）
（2）
（3）
以上就是同构的三重境界，很多同学看完后可能同构的运用还是不够灵活，要想用好同构，还要掌握两种方法，指对变换与放缩．
常见的指对变换有，，基于此，有如下一些变形，需要大家理解并掌握．
，；
，，
（1），
（2），，，
常见的指对变换与放缩结合有如下几种：
，；；
，
典型例题
【例1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
（1）：
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
（7）；
（8）；
【例2】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3】已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______．
【例4】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为______．
【例5】已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例6】若对任意，恒有，则实数a的最小值为______．
【例7】已知函，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例8】对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为______．
【例9】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求a的取值范围．
【例】10．已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
强化训练
1．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．设实数．且不等式对恒成立，则m的最大值是（ ）
A．e B． C．2e D．
3．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，函数的最小值为0，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，的零点，则______．
7．已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值是______．
8．已知函数，，其中，求证：．
9．已知函数，若，求a的取值范围．
10．已知函数，，当时，若恒成立，求a的取值范围．
11．已知函数，求证时，．
12．已知函数，．
（1）讨论，零点的个数；
（2）若方程有实数根，求a的取值范围．
13．已知函数，．
（1）若，求的极值；
（2）证明：．
14．已知函数，已知实数，若在上恒成立，求a的取值范围．
16．若时，关于x的不等式恒成立，求a的最大值．
17．已知函数，若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．
18．设函数．若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．
19．若函数有零点，求b的取值范围．
20．若，证明：．
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