微专题2 三角恒等变换
常考常用结论
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin (α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
(2)cos (α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ.
(3)tan (α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα.
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan2α＝.
3．常用公式
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan (α±β)(1 tanα·tanβ)．
(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin (x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.
1.[2023·河南许昌二模]已知α为锐角，且sinα＝，则tan (＋α)＝( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
2．[2023·江西九江三模]已知0<α<<β<π，且sinα＝，cosβ＝－，则cos (α－β)＝( )
A．－ B．－ C．－ D．
3．[2023·江西南昌二模]设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝2cos240°－1，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>cB．b>a>c
C．c>a>bD．a>c>b
4．[2023·山东潍坊一模]已知角α在第四象限内，sin(2α＋)＝，则sinα＝( )
A．－B．
C．D．－
2. (1)[2023·安徽安庆二模]已知第二象限角α满足sin (π＋α)＝－，则sin2β－2sin (α＋β)cos (α－β)的值为( )
A．－B．－
C．D．
(2)[2023·山西晋中三模]已知α，β为锐角，且tanα＝2，sin (α＋β)＝，则cosβ＝( )
A．－B．
C．－D．
(3)[2023·山东德州三模]若α，β为锐角，且α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________．
技法领悟
1．解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．
2．给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
3．实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
[巩固训练2] (1)[2023·广东深圳二模]已知tan＝2，则的值是( )
A． B．2 C． D．
(2)[2023·安徽宣城二模]已知sinα－sin (α＋)＝，则cos (－2α)＝( )
A．－B．C．D．
(3)[2023·河南校联考]已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，则cos (α＋β)的值为( )
A．B．
C．D．
微专题2 三角恒等变换
保分题
1．解析：因为sinα＝，α为锐角，
所以cosα＝，tanα＝3，
所以tan (＋α)＝＝－2.故选A.
答案：A
2．解析：∵0<α<<β<π，sinα＝，cosβ＝－，
∴cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，
∴cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝＝－.故选A.
答案：A
3．解析：因为a＝(sin56°－cos56°)＝sin (56°－45°)＝sin11°，
b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°＝－sin40°sin38°＋cos40°cos38°＝cos (40°＋38°)＝cos78°＝sin12°，
c＝2cos240°－1＝cos80°＝sin10°，
因为sin12°>sin11°>sin10°，
所以b>a>c.故选B.
答案：B
4．解析：由已知可得，sin (2α＋)＝cos (2α＋π)＝－cos2α＝，所以cos2α＝－，所以sin2α＝＝.
又角α在第四象限内，所以sinα＝－＝－.故选D.
答案：D
提分题
[例2] (1)解析：因为sinα＝，且α为第二象限角，所以cosα＝－＝－，
于是sin2β－2sin (α＋β)cos (α－β)＝sin [(α＋β)－(α－β)]－2sin (α＋β)cos (α－β)
＝－[sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)]＝－sin2α＝－2sinαcosα
＝－2×＝.故选D.
(2)解析：因为tanα＝2，所以sinα＝2cosα，
又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角，
所以sinα＝，cosα＝，且α>.
因为α，β为锐角，α>，所以<α＋β<π，
又sin (α＋β)＝，所以α＋β＝，
故cosβ＝cos (－α)＝coscosα＋sinsinα＝.故选D.
(3)解析：因为tan (α＋β)＝，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋tan (α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1＋tan (1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
答案：D
答案：D (3)2
[巩固训练2] (1)解析：由tan＝2，则＝＝＝＝.故选D.
(2)解析：由题意可知，sin α－sin (α＋)＝sin α－(sin α＋cos α)＝sin α－cos α＝sin (α－)＝，
所以cos (－2α)＝cos (π＋－2α)＝－cos (－2α)＝－cos [2(α－)]＝－[1－2sin2(α－)]＝－[1－2×]＝.故选C.
(3)解析：tanα－tanβ＝3，且α－β＝，
则＝＝＝＝3，
整理得：cosαcosβ＝，
则cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
整理得sinαsinβ＝，
所以cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝＝.故选D.
答案：D
答案：C
答案：D微专题1 三角函数的定义与同角关系式
常考常用结论
1．三角函数定义：设点P(x，y)(不与原点重合)为角α终边上任意一点，点P与原点的距离为：r＝，则：sinα＝，cosα＝，tanα＝.
2．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tanα＝.
1.[2023·河南开封三模]设α是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cosα＝x，则tanα＝( )
A．－ B．－ C． D．
2．[2023·山西阳泉二模]已知sinα＋cosα＝，0<α<π，则sinα－cosα＝( )
A．－B．C．－D．
3．[2021·新高考Ⅰ卷]若tanθ＝－2，则＝( )
A．－B．－C．D．
1.(1)[2023·安徽蚌埠模拟]将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点P(x，－)，那么sinα＝( )
A．B．
C．D．
(2)[2023·江西赣州二模]已知θ为锐角，满足sin2θ＋sinθcosθ－3cos2θ＝，则tanθ＝________.
技法领悟
1．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．
2．应用诱导公式与同角关系进行开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
[巩固训练1] (1)[2023·黑龙江齐齐哈尔一模]已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(cos－sin，cos＋sin)，则tanα＝( )
A．－1B．＋1
C．D．2
(2)[2023·陕西咸阳三模]已知方程sinα＋2cosα＝0，则cos2α－sinαcosα＝( )
A．－ B． C．－ D．
微专题1 三角函数的定义与同角关系式
保分题
1．解析：由三角函数定义可知：cosα＝＝x x＝±2，又α是第二象限角，故x＝－2，所以tanα＝＝－.故选B.
答案：B
2．解析：因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝，
即sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，所以2sinαcosα＝－.
因为0<α<π，所以cosα<0
0.
因为(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋＝，所以sinα－cosα＝.故选B.
答案：B
3．解析：将式子进行齐次化处理得：
＝
＝sinθ＝
＝＝＝.故选C.
答案：C
提分题
[例1] (1)解析：由点P在单位圆上，则x2＋＝1，解得x＝±，
由锐角α∈(0，)，即α－∈(－)，则x＝，
故cos (α－)＝，sin (α－)＝－，
所以sinα＝sin (α－)＝sin (α－)cos＋cos (α－)sin＝＝.故选D.
(2)解析：因为sin2θ＋sinθcosθ－3cos2θ
＝＝＝，
整理得2tan2θ＋5tanθ－18＝0，
解得tanθ＝2或tanθ＝－，
又因为θ为锐角，则tanθ>0，所以tanθ＝2.
答案：D (2)2
[巩固训练1] (1)解析：tanα＝＝＝＝＝＝＋1.故选B.
(2)解析：方程sinα＋2cosα＝0，化简得tanα＝－2，
则cos2α－sinαcosα＝＝，
分子分母同时除以cos2α可得：＝，
将tanα＝－2代入可得cos2α－sinαcosα＝＝＝.故选B.
答案：B
答案：B微专题3 三角形中的角平分线问题
5.[2023·江苏盐城三模]在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，且AD＝2.
(1)若∠BAC＝，AB＝3，求△ABC的面积；
(2)若BD＝3，求边AC的取值范围．
技法领悟
三角形中与角平分线有关的问题，一般利用三角形的面积之间的关系建立等式来解决问题．
[巩固训练4] [2023·辽宁葫芦岛一模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.sin (A－B)＝sin (A＋B)－sin (A＋C)，角A的角平分线交BC于点D，且b＝3，c＝6.
(1)求角A的大小；
(2)求线段AD的长．
微专题4 解三角形与三角函数的性质综合
6.[2023·河南濮阳模拟]已知f(x)＝2sin (x＋)cosx＋sin2x.
(1)若x∈(0，)，求函数f(x)的值域；
(2)在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，且△ABC的面积为2，当a＝6时，求△ABC的周长．
技法领悟
解决此类问题第(1)问一般利用三角恒等变换求出函数的解析式，再研究三角函数的有关性质；第(2)问一般利用正弦、余弦定理研究三角形的面积、周长等问题．
[巩固训练5] 已知函数f(x)＝cos (－2x)－2cos2x＋.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f＝，a＝，c＝1，求sinB的值．
微专题3 三角形中的角平分线问题
提分题
[例5] (1)解析：因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以AB·ACsin＝(AB＋AC)·ADsin，
得：3AC＝2(3＋AC)，解得AC＝6，
所以S△ABC＝AB·ACsin＝.
(2)解析：设∠BAC＝2α，AB＝c，AC＝b，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ADC得
AB·ACsin2α＝AB·ADsinα＋AC·ADsinα，
即bccosα＝b＋c，所以cosα＝，
又在△ABD中cosα＝＝，
所以＝，得b＝，
因为cosα＝∈(0，1)且b>0，得3则c－∈(0，)，所以b>，
即边AC的取值范围为(，＋∞)．
[巩固训练4] (1)解析：在△ABC中，由已知sin (A－B)＝sin (A＋B)－sin (A＋C)，可得：
则有：sinAcosB－cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB－sinB，
即2cosAsinB－sinB＝0.
又sinB≠0，即有cosA＝，
而A∈(0，π)，所以A＝.
(2)解析：在△ABC中，由(1)知A＝，因为AD为角A的角平分线，
则有∠BAD＝∠CAD＝30°，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得：
×3×6×sin60°＝×AD×6×sin30°＋×3×AD×sin30°，
解得AD＝2，
所以线段AD的长为2.
微专题4 解三角形与三角函数的性质综合
提分题
[例6] (1)解析：由题意，函数f(x)＝2sin (x＋)cosx＋sin2x＝2cos2x＋sin2x＝2cos2x－1＋sin2x＋1＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin (2x＋)＋1，
当x∈(0，)时，可得<2x＋<，
∴－所以函数f(x)的值域为(0，3].
(2)解析：由(1)得f(A)＝2sin (2A＋)＋1＝2，
所以sin (2A＋)＝，
因为A∈(0，π)，得2A＋∈()，
所以2A＋＝，解得A＝，
又S△ABC＝bcsinA＝2，可得bc＝8，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－24，
因为a＝6，所以b＋c＝2，
所以△ABC的周长为6＋2.
[巩固训练5] (1)解析：已知函数f(x)＝cos (－2x)－2cos2x＋，
则f(x)＝sin2x－2·＝sin2x－cos2x＝2sin (2x－)，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
因为x∈[0，π]，令k＝0，则－≤x≤；
令k＝1，则≤x≤，
即函数f(x)的单调递增区间为[0，]，[，π].
(2)解析：已知f＝，即2sin (A－)＝，即sin (A－)＝，
又－又a＝，c＝1，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA可得b2＋b－2＝0，
又b>0，则b＝1，则B＝，sinB＝.微专题2 三角形边的中线(或等分线)问题
3.[2023·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tanB；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
4.[2023·四川成都三模]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＋a＝bcosC－ccosB.
(1)求角B的大小；
(2)若D是AC边上一点，且BD＝CD＝b，求cos∠BDA.
技法领悟
解决此类问题时，一般要想到∠BDA＋∠CDA＝180°，如图所示，此时cos∠BDA＝－cos∠CDA.
[巩固训练3] 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.
微专题2 三角形边的中线(或等分线)问题
提分题
[例3] (1)解析：因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝，
解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4.
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，
所以c＝.
在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，
所以b＝.
在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，
所以sinB＝＝.
所以tanB＝＝.
(2)解析：因为D为BC的中点，所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＝－，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.
在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，
所以S△ABC＝bcsin∠BAC
＝bc
＝bc
＝
＝，
解得bc＝4.
则由，解得b＝c＝2.
[例4](1) 解析：∵c＋a＝bcosC－ccosB，
由正弦定理有：
sinC＋sinA＝sinBcosC－sinCcosB，
∵sinA＝sin (B＋C)，
∴sinC＋sinBcosC＋sinCcosB＝sinBcosC－sinCcosB.
∴2sinCcosB＋sinC＝0.
又C∈(0，π)，∴sinC≠0.
∴cosB＝－.
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2) 解析：在△BCD中，由余弦定理得：
cos∠BDC＝＝.
在△ABD中，由余弦定理得：cos∠BDA＝＝.
∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴cos∠BDC＝－cos∠BDA.
即＝－，
整理得b2－c2＝2a2.
在△ABC中，由余弦定理得：
cosB＝＝－.
则－＝－＝－.∴a＝c.
∴b2－c2＝6c2，即b＝c.
∴cos∠BDA＝＝.
[巩固训练3] (1)解析：证明：由题设，BD＝，由正弦定理知：＝，即＝，
∴BD＝，又b2＝ac，
∴BD＝b，得证．
(2)解析：由题意知：BD＝b，AD＝，DC＝，
∴cos∠ADB＝＝，同理cos∠CDB＝＝，
∵∠ADB＝π－∠CDB，
∴＝，整理得2a2＋c2＝，又b2＝ac，
∴2a2＋＝，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得＝或＝，
由余弦定理知：cos∠ABC＝＝，
当＝时，cos∠ABC＝>1不合题意；当＝时，cos∠ABC＝；
综上，cos∠ABC＝.第三讲 三角函数与解三角形——大题备考
大题一般为两问：第一问一般为利用正、余弦定理实施“边角互化”求角，多与三角形的内角和定理、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式等相结合；第二问一般与三角形的面积、周长问题相结合，有时与基本不等式相结合求三角形的周长或面积的最值等
微专题1 三角形的面积与周长问题
1.[2023·新高考Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sinB.
(1)求sinA；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
2．[2023·河南开封模拟]a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边．已知7acosA＝bcosC＋ccosB．
(1)求sin2A；
(2)若b＋c＝9，a2＝12b2＋1，求△ABC的周长．
1.[2023·河北秦皇岛一中二模]已知△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2a2cosB＋b2＝2abcosC＋a2＋c2.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
2.[2023·安徽三模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＋sinA＝.
(1)求角C；
(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2b的取值范围．
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝absinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
[巩固训练1] [2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
[巩固训练2] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2acosAcosC＋2ccos2A.
(1)求角A；
(2)若a＝4，求c－2b的取值范围．
微专题1 三角形的面积与周长问题
保分题
1．解析：方法一 (1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sinB，
所以2sin (A－)＝sin (－A)，
展开并整理得(sinA－cosA)＝(cosA＋sinA)，
得sinA＝3cosA，
又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，
所以sinA＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝×sinA＝＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2，
由(1)得，tanA＝3>，所以又A＋B＝，所以B>，
即C设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BCsinC，
即5h＝2×3，
解得h＝6，
所以AB边上的高为6.
方法二 (1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sinB，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，
所以sinAcosC＝3cosAsinC，
易得cosAcosC≠0，
所以tanA＝3tanC＝3tan＝3，
又sinA>0，
所以sinA＝＝.
(2)由(1)知sinA＝，tanA＝3>0，所以A为锐角，
所以cosA＝，
所以sinB＝sin (－A)＝(cosA＋sinA)＝×()＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC×sinA＝2＝6.
2．解析：(1)因为7acosA＝bcosC＋ccosB，
所以由正弦定理得7sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB，
即7sinAcosA＝sin (B＋C)＝sinA，又sinA>0，所以cosA＝，
所以A为锐角，所以sinA＝＝，
故sin2A＝2sinAcosA＝2×＝.
(2)因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝12b2＋1，b＋c＝9，
所以b2＋(9－b)2－b(9－b)＝12b2＋1，
整理得(17b＋70)(b－2)＝0，解得b＝2(负根舍去)，
所以a2＝12b2＋1＝49，a＝7，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9＋7＝16.
提分题
[例1] 解析：(1)由余弦定理得2a2cosB＋b2＝a2＋b2－c2＋a2＋c2，
即2a2cosB＝2a2，
所以cosB＝，又B∈(0，π)，则B＝.
(2)方法一 △ABC为锐角三角形，A＋B＋C＝π，B＝，则A＋C＝，
所以，可得又a＝4，则＝，故c＝，
由S△ABC＝acsinB＝c＝，即S△ABC＝＋4，而tanA>1，
所以S△ABC∈(4，8)，故△ABC面积的取值范围为(4，8)．
方法二 由B＝，a＝4，画出如图所示三角形，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点A落在线段A1A2(端点A1，A2除外)上，
当CA1⊥A1B时，S△A1BC＝×2×2＝4，
当CA2⊥BC时，S△A2BC＝×4×4＝8，
∴S∈(4，8)．
[例2] (1)解析：△ABC中，cosA＋sinA＝，
由正弦定理得cosA＋sinA＝.
所以sinCcosA＋sinAsinC＝sinB＋sinA，
即sinCcosA＋sinAsinC＝sin (A＋C)＋sinA＝sinAcosC＋sinCcosA＋sinA，
所以sinAsinC＝sinAcosC＋sinA；
又A∈(0，π)，则sinA≠0，所以sinC－cosC＝1，
则有sin (C－)＝，又因为C∈(0，π)，则C－＝，即C＝.
(2)解析：设∠CAD＝θ，则△ACD中，由C＝可知θ∈(0，)，
由正弦定理及AD＝可得＝＝＝2，
所以CD＝2sinθ，AC＝2sin (－θ)，
所以a＋2b＝4sinθ＋4sin (－θ)＝6sinθ＋2cosθ＝4sin (θ＋)，
由θ∈(0，)可知，θ＋∈()，sin (θ＋)∈(，1]，
所以a＋2b∈(2，4].
即a＋2b的取值范围为(2，4].
[巩固训练1] (1)解析：由已知条件，得sin2B＋sinAsin2B＝cosA＋cosAcos2B.
所以sin2B＝cosA＋cosAcos2B－sinAsin2B＝cosA＋cos (A＋2B)＝cos [π－(B＋C)]＋cos [π－(B＋C)＋2B]＝－cos (B＋C)＋cos [π＋(B－C)]＝－2cosBcosC，
所以2sinBcosB＝－2cosBcosC，
即(sinB＋cosC)cosB＝0.
由已知条件，得1＋cos2B≠0，则B≠，
所以cosB≠0，所以sinB＝－cosC＝.
又0＜B＜，所以B＝.
(2)解析：由(1)知sinB＝－cosC＞0，则B＝C－，
所以sinA＝sin (B＋C)＝sin (2C－)＝－cos2C.
由正弦定理，得＝＝＝＝＝＋4sin2C－5≥2－5＝4－5，
当且仅当sin2C＝时，等号成立，所以的最小值为4－5.
[巩固训练2] (1)解析：因为b＝2acosAcosC＋2ccos2A，
由正弦定理得sinB＝2sinAcosAcosC＋2sinCcos2A，
即sinB＝2cosA(sinAcosC＋sinCcosA)，
即sinB＝2cosAsin (A＋C)，
因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，
所以sinB＝2cosAsinB.
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以cosA＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)解析：由(1)知sinB＝－cosC＞0，则B＝C－，
所以sinA＝sin (B＋C)＝sin (2C－)＝－cos2C.
由正弦定理，得＝＝＝＝＝＋4sin2C－5≥2－5＝4－5，
当且仅当sin2C＝时，等号成立，所以的最小值为4－5.
由正弦定理得＝，
所以c－2b＝(sinC－2sinB)＝[sin (π－－B)－2sinB]＝cosB－sinB)＝8(cosBcos－sinBsin)，
所以c－2b＝8cos (B＋)．
因为B∈(0，)，所以B＋∈(，π)，
所以cos (B＋)∈(－1，)，所以c－2b∈(－8，4)．微专题4 由三角函数的性质求参数范围
4.(1)[2023·安徽马鞍山一模]已知函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象经过点(0，)，若函数f(x)在区间[0，π]内恰有两个零点，则实数ω的取值范围是( )
A．[] B．[)
C．[] D．[)
(2)[2023·山东菏泽二模]已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)在区间[－]上单调递增，且在区间[0，π]上只取得一次最大值，则ω的取值范围是( )
A．[] B．[]
C．[] D．[]
技法领悟
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．
[巩固训练4] (1)[2023·河南郑州三模]设函数g(x)＝sin (ωx＋)在区间(0，π)内恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A．(] B．[)
C．[) D．(]
(2)已知f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0，ω∈R)在[，π]上是严格减函数，则ω的取值范围是________．
微专题4 由三角函数的性质求参数范围
提分题
[例4] (1)解析：由条件可知f(0)＝tanφ＝，|φ|<，所以φ＝，f(x)＝tan (ωx＋)，当x∈[0，π]时，ωx＋∈[，ωπ＋]，若函数在区间[0，π]上恰有2个零点，则2π≤ωπ＋<3π，解得≤ω<.故选D.
(2)解析：函数f(x)向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin [2(x＋φ)－]，函数g(x)是奇函数，所以g(0)＝sin (2φ－)＝0，则2φ－＝kπ，k∈Z，则φ＝，k∈Z，因为φ∈(0，)，所以φ＝.
依题意，函数f(x)＝2sin (ωx－)，ω>0，因为f(x)在区间[－]上单调递增，由x∈[－]，则ωx－∈[－ω－ω－]，于是－ω－≥－且ω－，解得ω≤且ω≤，即0<ω≤，当x∈[0，π]时，ωx－∈[－，ωπ－]，因为f(x)在区间[0，π]上只取得一次最大值，因此≤ωπ－<，解得≤ω<，所以ω的取值范围是[].故选B.
答案：D
答案：B
[巩固训练4] (1)解析：x＝0时，ωx＋＝，0<<，因此由题意<ωπ＋≤3π，解得<ω≤.故选A.
(2)解析：因为x∈[，π]，所以ω＋≤ωx＋≤πω＋，
由题意得[ω＋，πω＋] [＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，
所以，k∈Z，可得，k∈Z.
由ω>0，当k＝0，解得≤ω≤.
所以ω的取值范围是[].
答案：A (2)[]微专题3 三角函数性质与图象的综合
1.[2023·河南许昌实验中学二模]已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象是由y＝2sin (ωx＋)的图象向右平移个单位长度得到的，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)图象的对称轴中与y轴距离最近的对称轴方程为( )
A．x＝－B．x＝
C．x＝－D．x＝
2.
[2023·河南安阳二模]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤)的部分图象如图所示，则f(x)在[，π]上的值域为( )
A．[－] B．[－1，]
C．[－1，] D．[－]
3.
[2023·河北石家庄三模]已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(x)图象的一个对称中心是( )
A．(，0) B．(－，0)
C．(，0) D．(－，0)
3.(1)[2023·安徽淮北二模](多选)函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．φ＝
C．f(x)在[－1，]上单调递增
D．将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)＝cos2x的图象
(2)[2023·广东深圳一模]将函数y＝sin (2x＋)的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的(ω∈N*)倍后，所得函数g(x)的图象在区间(0，π)上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则ω的值为________.
技法领悟
三角函数的性质主要是指单调性、周期性、奇偶性以及对称性，解题时，一是把所给的表达式化为y＝Asin (ωx＋φ)的形式，利用整体代换法，对比正、余弦函数的性质求解；二是注意结合三角函数图象进行分析．
[巩固训练3] (1)[2023·安徽淮南二模]已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)，(A>0，ω>0，|φ|<)的相邻两个对称中心距离为且图象经过M(，A)，若将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递减区间是( )
A．[kπ－，kπ＋]，k∈Z
B．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z
C．[kπ，kπ＋]，k∈Z
D．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z
(2)[2023·福建厦门二模]将函数f(x)＝sin (2x－)的图象向左平移φ(0＜φ＜)个单位长度．得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝________．
微专题3 三角函数性质与图象的综合
保分题
1．解析：因为ω>0，所以＝π，得ω＝2，所以f(x)＝2sin [2(x－)＋]＝2sin (2x－)，令2x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，取k＝0，得x＝，取k＝－1，得x＝－，因为<，所以与y轴距离最近的对称轴方程为x＝－.故选C.
答案：C
2．解析：因为f(0)＝sinφ＝－，且|φ|≤，所以φ＝－.因为f＝sin (ω－)＝0，且f(x)在(，0)附近单调递减，所以ω－＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin (2x－)，当x∈[，π]时，2x－∈[]，sin (2x－)∈[－1，].故选C.
答案：C
3．解析：方法一 设f(x)的最小正周期为T，由函数图象可知，＝＝，∴T＝2π，
∴T＝＝2π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin (x＋φ)，
又∵当x＝－时，f(x)取最大值，
∴－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin (x＋)．
令x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的对称中心为(－＋kπ，0)，k∈Z，
当k＝－1时，f(x)的一个对称中心为(－，0)．
方法二 设f(x)的最小正周期为T，由函数图象可知，
＝＝，∴＝π，
由图象可知，f(x)的一个对称中心为(，0)，
∴f(x)的对称中心为(＋kπ，0)，k∈Z，
当k＝－2时，f(x)的一个对称中心为(－，0)．故选D.
答案：D
提分题
[例3](1) 解析：由图象可得，＝＝，
所以T＝π，ω＝＝2，故A项正确；
由图象可得，A＝，所以f(x)＝sin (2x＋φ)．
又图象过点(，－)，
根据“五点法”可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z.
又－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝sin (2x＋)，故B项错误；
因为－1≤x≤，所以－2＋≤2x＋.
因为π<2，所以＝>0，所以>，
所以>＝.
因为y＝sinx在[－]上单调递增，在[]上单调递减，故C项错误；
因为f(x)＝sin (2x＋)，
将函数f(x)的图象向左平移个单位，可得y＝sin [2(x＋)＋]＝sin (2x＋)＝cos2x的图象，故D项正确．故选AD.
(2) 解析：由题可知g(x)＝sin (2×x＋)＝sin (ωx＋)．
因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈(，ωπ＋)．
所以y＝sinx，x∈(，3π)的图象大致如图所示，
要使g(x)的图象在区间(0，π)上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，
则2π<ωπ＋，解得<ω≤，
因为ω∈N*，所以ω＝2.
答案：AD (2)2
[巩固训练3] 解析：(1)解析：依题意，函数f(x)的周期＝T＝2×＝π，则ω＝2，又f＝A，即2×＋φ＝＋2nπ，n∈Z，而|φ|<，因此φ＝，f(x)＝Asin (2x＋)，g(x)＝f(x－)＝Asin (2x－)，由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得：kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数g(x)的单调递减区间是[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.故选B.
(2)解析：函数f(x)向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin [2(x＋φ)－]，函数g(x)是奇函数，所以g(0)＝sin (2φ－)＝0，则2φ－＝kπ，k∈Z，则φ＝，k∈Z，因为φ∈(0，)，所以φ＝.
答案：B (2)微专题2 三角函数的性质
常考常用结论
1．三角函数的单调区间
y＝sinx的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)；
y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tanx的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．
2．三角函数的奇偶性与对称性
y＝Asin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
y＝Acos (ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝Atan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
3．三角函数的周期
(1)y＝Asin (ωx＋φ)和y＝Acos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan (ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个最小正周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个最小正周期．
1.[2023·安徽马鞍山二模]函数f(x)＝2sin (x＋)在下列区间中单调递减的是( )
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
2．(多选)下列命题正确的是( )
A．y＝3cosx－2的最小值为－5
B．y＝|cosx|的最小正周期为2π
C．y＝sin (2x＋)关于直线x＝对称
D．y＝tan (x－)在区间(0，)单调递增
3．已知曲线y＝－2cos (x＋φ)的一条对称轴是x＝，则φ的值可能为( )
A． B．C． D．
2.(1)[2023·全国乙卷]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间()单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝( )
A．－ B．－ C． D．
(2)[2023·广东广州三模](多选)若函数f(x)＝sin4x＋cos4x，则( )
A．函数f(x)的一条对称轴为x＝
B．函数f(x)的一个对称中心为(，0)
C．函数f(x)的最小正周期为
D．若函数g(x)＝8[f(x)－]，则g(x)的最大值为2
技法领悟
1．三角函数单调区间的求法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos (ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
[巩固训练2] (1)[2023·安徽合肥一模]已知函数f(x)＝cos (x＋)cos (x＋)，则下列说法正确的是( )
A．点(－，0)是曲线y＝f(x)的对称中心
B．点()是曲线y＝f(x)的对称中心
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
(2)[2023·湖南岳阳模拟]已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)，若函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称，且关于直线x＝轴对称，则ω的最小值为________．
微专题2 三角函数的性质
保分题
1．解析：由2kπ＋f(x)的减区间是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z，
只有选项B的区间(，π) ()．故选B.
答案：B
2．解析：当cosx＝－1时，y＝3cosx－2的最小值为－5，A正确；
f(x)＝|cosx|，则f(x＋π)＝|cos (x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|＝f(x)，即π为y＝|cosx|的周期，故y＝|cosx|的最小正周期不是2π，B错误；
当x＝时，y＝sin (2×)＝1，所以y＝sin (2x＋)关于直线x＝对称，C正确；
当x∈(0，)时，x－∈(－)，函数y＝tanx在(－)上单调递增，故y＝tan (x－)在区间(0，)单调递增，D正确．故选ACD.
答案：ACD
3．解析：由题意，－2cos (φ＋)＝±2，即cos (φ＋)＝±1，于是φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，经检验，只有当k＝1时即φ＝时符合．故选C.
答案：C
提分题
[例2] (1)解析：由题意得＝，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin＝sin，f＝sin (－×2＋)＝sin＝，故选D.
(2)解析：由题意得，f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－＝cos4x＋.
当x＝时，f(x)＝cos (4×)＋＝，又f(x)min＝，所以x＝是函数f(x)的一条对称轴，故A正确；
由选项A分析可知f＝，所以点(，0)不是函数f(x)的对称点，故B错误；
由T＝＝，知函数f(x)的最小正周期为，故C正确；
g(x)＝8[f(x)－]＝2cos4x，所以g(x)max＝2，故D正确．故选ACD.
答案：D
答案：ACD
[巩固训练2] (1)解析：由题意得f(x)＝cos (x＋)cos (x＋)＝－sinx(cosx－sinx)
＝(sin2x－sinxcosx)
＝)
＝－(sin2x＋cos2x)＋
＝－sin (2x＋)＋，
由2x＋＝kπ得x＝－，则f(x)的对称中心为()(k∈Z)，所以A，B错误．
由2x＋＝＋kπ得x＝，则f(x)的对称轴方程为x＝(k∈Z)，C正确，D错误．故选C.
(2)解析：由题知f(x)的图象关于点(，0)中心对称，且关于直线x＝轴对称，则与之间的距离为，(k∈Z)，即＝＝，(k∈Z)，即ω＝3＋6k，(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝0时，ω的最小值为3.
答案：C (2)3微专题1 三角函数的图象
常考常用结论
1．三角函数的图象
y＝sinx，x∈[－2π，2π]
y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]
y＝|sinx|，x∈[－2π，2π]
y＝cosx，x∈[－2π，2π]
y＝cos|x|，x∈[－2π，2π]
y＝|cosx|，x∈[－2π，2π]
y＝tanx，x∈(－)
y＝tan|x|，x∈(－)
y＝|tanx|，x∈(－)
2.三角函数的两种常见变换
(1)y＝sinx
y＝sin (x＋φ),
y＝sin (ωx＋φ),
y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
(2)y＝sinx,
y＝sinωx,
y＝sin (ωx＋φ),
y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
1.[2023·山东滨州模拟]将函数f(x)＝sin (2x－)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin2x
B．g(x)＝sin (2x－)
C．g(x)＝sin (2x＋)
D．g(x)＝－cos2x
2．[2023·安徽蚌埠三模]已知函数f(x)＝sin (2x－)，则要得到函数g(x)＝sin2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
3.
[2023·河南信阳模拟]函数f(x)＝sin (2ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝
1.(1)[2023·全国甲卷]函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos (2x＋)的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)[2023·安徽蚌埠二模]已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )
A．f(x)＝|sinx|＋|cosx|－2sin2x
B．f(x)＝|sinx|－|cosx|＋2sin2x
C．f(x)＝|sinx|－|cosx|＋2cos2x
D．f(x)＝|sinx|＋|cosx|＋2cos2x
技法领悟
1．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
2．已知函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
[巩固训练1] (1)[2023·江西上饶模拟]已知是函数f(x)＝sinx＋acosx的一个零点，将函数y＝f(2x)的图象向右平移个单位长度后所得图象的表达式为( )
A．y＝2sin (2x－) B．y＝2sin (2x＋)
C．y＝－2cos2x D．y＝2cos2x
(2)
已知函数f(x)＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的部分图象如图所示，则g＝( )
A． B． C．－ D．－
微专题1 三角函数的图象
保分题
1．解析：函数f(x)＝sin (2x－)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝sin [2(x＋)－]＝sin (2x＋)．故选C.
答案：C
2．解析：因为g(x)＝sin2x＝sin [2(x＋)－]，所以要得到函数g(x)＝sin2x的图象，只需将函数f(x)的图象向左平移个单位即可．故选C.
答案：C
3．解析：由题意可知，函数的周期为T＝4×(3－1)＝8，T＝，则ω＝；函数的图象经过(1，1)，所以1＝sin (＋φ)，＋φ＝＋2kπ，φ＝＋2kπ，k∈Z.因为0≤φ<2π，所以当k＝0时，φ＝.故选B.
答案：B
提分题
[例1] (1)解析：把函数y＝cos的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝cos＝cos＝－sin2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.
(2)解析：由题可知，图象过点(0，1)，取x＝0，
对于A：f(0)＝|sin0|＋|cos0|－2sin0＝0＋1－0＝1；
对于B：f(0)＝|sin0|－|cos0|＋2sin0＝0－1＋0＝－1；
对于C：f(0)＝|sin0|－|cos0|＋2cos0＝0－1＋2＝1；
对于D：f(0)＝|sin0|＋|cos0|＋2cos0＝3；
故可排除B、D，又由图象可知，当x＝时，f(x)>0，取x＝，
对于A：f＝－2sin (2·)＝1＋0－0＝1>0；
对于C：f＝＋2cos (2·)＝1－0－2＝－1<0；
可排除C.故选A.
答案：C
答案：A
[巩固训练1] (1)解析：依题意，f＝sin＋acos＝a＋＝0，解得a＝－，
所以f(x)＝sinx－cosx＝2sin (x－)，
所以f(2x)＝2sin (2x－)，
将y＝f(2x)向右平移个单位长度得到y＝2sin [2(x－)－]＝2sin (2x－)＝－2cos2x.故选C.
(2)解析：由题意可知，g(x)＝Acos (ωx＋ω＋φ)，
由图象知，A＝1，T＝－(－)＝，解得T＝π，所以ω＝＝2；
代入增区间上的零点(，0)后可得：cos (＋φ)＝0，
所以＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以φ＝－.即g(x)＝cos (2x＋)，
所以g＝.故选B.
答案：C
答案：B