本册综合测试题(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014～2015学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知集合A＝{x|x－1>0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝( )
A．{x|x>1} B．{x|x>0}
C．{x|x<－1} D．?
[答案] A
[解析] ∵A＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，B＝{y|y＝2x}＝R，
∴A∩B＝{x|x>1}．
2．(2015·陕西文，1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
[答案] A
[解析] ∵x2＝x，∴x＝0或x＝1，
∵lg≤0＝lg1，∴0
∴M＝{0,1}，N＝{x|0∴M∪N＝{x|0≤x≤1}＝[0,1]，选A．
3．(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是( )
A．1 B．1或
C．1，或± D．
[答案] D
[解析] 当x≤－1时，x＋2＝3，∴x＝1(不合题意)，
∴x≠1；
当－1又∵－1当x≥2时，2x＝3，∴x＝(不合题意)，
∴x≠.故x＝.
4．化简的结果是( )
A． B．x
C．1 D．x2
[答案] C
[解析] ＝＝＝1.
5．函数f(x)的定义域为[－6,2]，则函数y＝f()的定义域为( )
A．[－4,4] B．[－2,2]
C．[0，] D．[0,4]
[答案] D
[解析] ∵函数f(x)的定义域为[－6,2]，
∴－6≤≤2，又∵≥0，
∴0≤≤2，∴0≤x≤4，故选D．
6．用二分法求方程x－2lg＝3的近似解，可以取的一个区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] C
[解析] 本题考查用二分法求解函数零点所在区间．设f(x)＝x－2lg－3＝x＋lgx－3，因为f(2)·f(3)＝(lg2－1)×lg3<0，且函数图象在(2,3)上连续，所以可以取的一个区间是(2,3)，故选C．
7．函数y＝()x的反函数的图象为( )
[答案] D
[解析] 函数y＝()x的反函数为y＝logx，故选D．
8．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数且有最小值0，则它在[－3，－1]上( )
A．是减函数，有最大值0 B．是减函数，有最小值0
C．是增函数，有最大值0 D．是增函数，有最小值0
[答案] C
[解析] 奇函数在对称区间上单调性相同，且图象关于原点对称，故选C．
9．已知偶函数f(x)在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．f(－)C．f(4)[答案] D
[解析] ∵f(x)在(－∞，－2]上是增函数，
又－4<－<－3，
∴f(4)＝f(－4)10．设函数y＝x3与y＝22－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] B
[解析] 令f(x)＝x3－22－x，由题意知x0是函数f(x)的零点，又f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝8－1＝7>0，故选B．
11．设a＝60.5，b＝0.56，c＝log60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
[答案] A
[解析] a＝60.5>60＝1，b＝0.56<0,50＝1，
又0.56>0，∴0<0.56<1，
c＝log60.5b>c.
12．对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝，设函数f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]
C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1]
[答案] B
[解析] 依题意可得f(x)＝
作出其示意图如图所示．
由数形结合知，
实数c需有1二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x＋1)＝3x＋4，则f(x)的解析式为________________．
[答案] f(x)＝3x＋1
[解析] 设x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋4＝3t＋1，∴f(x)＝3x＋1.
14．3log925＋log－1(＋1)的值为__________．
[答案] 4
[解析] 3l og925＋log－1(＋1)＝3log35＋log－1(－1)－1＝5－1＝4.
15．(2014～2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)用长度为48的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为______．
[答案] 6
[解析] 设隔墙的长度为x，则矩形场地的另一边长为(24－2x)，矩形场地的面积S＝x(24－2x)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，∴当x＝6时，矩形场地的面积最大．
16．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为__________．
[答案] (0，＋∞)
[解析] ∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>log21＝0，
故函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(0，＋∞)．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝－的定义域为A，B＝{x∈Z|2a＋1}．
(1)求A，(?RA)∩B；
(2)若A∪C＝R，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由题意得，
∴3≤x<7，∴A＝{x|3≤x<7}，
∴?RA＝{x|x<3或x≥7}．
又B＝{x∈Z|2∴(?RA)∩B＝{7,8,9}．
(2)若A∪C＝R，则有，
∴3≤a<6.
故实数a的取值范围是3≤a<6.
18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度山东烟台高一上学期期中测试)计算下列各式的值：
(1)(×)6＋()－4－×80.25－(－2 014)0；
(2)log3.19.61＋lg＋ln(e2·)＋log3(log327)．
[解析] (1)原式＝6＋－4－2×8－1
＝108＋2－－2－1＝.
(2)原式＝log3.13.12＋lg10－3＋ln e＋log33
＝2－3＋＋1＝.
19．(本小题满分12分)在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周周末，该服装已不再销售．
(1)试建立价格P(元)与周次t之间的函数关系式；
(2)若此服装每周进价Q(元)与周次t之间的关系式为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N*，试问该服装第几周销售利润最大？
[解析] (1)当t∈[0,5]时，P＝10＋2t；
当t∈(5,10]时，P＝20；
当t∈(10,16]时，P＝40－2t.
所以P＝.
(2)由于销售利润为：售价－进价，
所以销售利润L＝P－Q.
所以，当t∈[0,5]时，
L＝10＋2t＋0.125(t－8)2－12＝0.125t2＋6，
当t＝5时，L取得最大值9.125；
当t∈(5,10]时，L＝20＋0.125(t－8)2－12＝0.125t2－2t＋16，此时L<9.125；
当t∈(10,16]时，L＝40－2t＋0.125(t－8)2－12＝0.125t2－4t＋36，L<8.5，
因此，该服装第5周销售利润最大．
20．(本小题满分12分)若关于x的方程x2＋mx＋m－1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围．
[解析] 根据题意，画出f(x)＝x2＋mx＋m－1的图象，如图所示．
图象的对称轴为直线x＝－.
因为方程x2＋mx＋m－1＝0有一个正根和一个负根，
则函数f(x)有两个零点x1，x2，
由题意不妨设x1>0，x2<0，且|x1|<|x2|.
由题意，有，故.
∴ 0即所求的取值范围为(0,1)．
21．(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(log2x)＝x＋，a为常数．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)如果f(x)为偶函数，求a的值；
(3)如果f(x)为偶函数，用函数单调性的定义讨论f(x)的单调性．
[解析] (1)令log2x＝t，则x＝2t.
∴f(t)＝2t＋.
∴f(x)＝2x＋(x∈R)．
(2)由f(－x)＝f(x)，则2－x＋＝2x＋，
∴(2x－2－x)(1－a)＝0对x∈R均成立．
∴1－a＝0，即a＝1.
(3)当a＝1时，f(x)＝2x＋，
设0≤x1f(x1)－f(x2)＝2x1＋－(2x2＋)
＝(2x1－2x2)(1－)，
∵2x1－2x2<0,1－>0，
∴f(x1)－f(x2)<0.
即f(x1)因此f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．
同理当x1f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，g(x)＝(6＋a)·2x－1.
(1)若f(1)＝f(3)，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，判断函数F(x)＝的单调性，并给出证明；
(3)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a(a?(－4,4))恒成立，求实数a的最小值．
[解析] (1)∵f(1)＝f(3)，
∴函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝2，
即－＝2，故a＝－4.
(2)由(1)知，g(x)＝(6－4)·2x－1＝2x，
F(x)＝(x∈R)
函数F(x)在R上是减函数
设x1，x2∈R，且x1∴Δx＝x2－x1>0，
Δy＝F(x2)－F(x1)＝－
＝＝.
根据指数函数性质及x1由上式得Δy<0，
所以F(x)在R上是减函数．
(3)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋)2＋3－，x∈[－2,2]，
又a?(－4,4)，故－?(－2,2)．
①当－≥2，即a≤－4时，
f(x)在[－2,2]上单调递减，
f(x)min＝f(2)＝7＋2a，故7＋2a≥a，即a≥－7.
所以－7≤a≤－4.
②当－≤－2，即a≥4时，
f(x)在[－2,2]上单调递增，
f(x)min＝f(－2)＝7－2a，故7－2a≥a，即a≤，
这与a≥4矛盾，故此情形不存在．
因此，实数a的最小值为－7.
本册综合测试题(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)若集合A＝{x|1a}，满足A?B，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a<1
C．a≥1 D．a≤2
[答案] A
[解析] 将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
∵A?B，∴a≤1.
2．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数g(x)＝2x＋5x的零点所在的一个区间是( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(－2，－1)
[答案] B
[解析] g(－1)＝－5<0，g(0)＝20＝1>0，故选B．
3．已知f(x2)＝lnx，则f(3)的值是( )
A．ln3 B．ln8
C．ln3 D．－3ln2
[答案] C
[解析] 设x2＝t，∵x>0，x＝，
∴f(t)＝ln＝lnt，
∴f(x)＝lnx，∴f(3)＝ln3.
4．(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)设f(x)是定义在R上的偶函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝( )
A．－5 B．5
C．3 D．－3
[答案] B
[解析] ∵x>0时，f(x)＝x2＋1，∴f(2)＝5.
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝5.
5．若m＝(2＋)－1，n＝(2－)－1，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2的值是( )
A．1 B．
C． D．
[答案] D
[解析] ∵m＝(2＋)－1＝2－，
n＝(2－)－1＝2＋.
∴(m＋1)－2＋(n＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2
＝＝＝.
6．函数f(x)＝的定义域是( )
A．{x|23}
C．{x|x≤2或x≥3} D．{x|x<2或x≥3}
[答案] D
[解析] 解法一：验证排除法：x＝3时，函数f(x)有意义，排除A、B；x＝2时，函数f(x)无意义，排除C，故选D．
解法二：要使函数有意义，应满足，解得x<2或x≥3，故选D．
7．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：
已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．
根据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是( )
A．过点(3,0)
B．顶点(2，－2)
C．在x轴上截线段长是2
D．与y轴交点是(0,3)
[答案] B
[解析] ∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1,0)，
∴1＋b＋c＝0，又二次函数的图象关于直线x＝2对称，
∴b＝－4，∴c＝3.
∴y＝x2－4x＋3，其顶点坐标为(2，－1)，故选B．
8．(2015·山东文，3)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是( )
A．aC．b[答案] C
[解析] ∵c＝1.50.6＞1,0＜b＝0.61.5＜0.60.6＝a＜1，∴b＜a＜c.
9．(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)若lga＋lgb＝0(a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象( )
A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于原点对称
[答案] C
[解析] ∵lga＋lgb＝0，∴lgab＝0，∴ab＝1，∴b＝.
∴f(x)＝ax与g(x)＝bx＝x的图象关于y轴对称．
10．函数f(x)＝log(－x2＋1)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－1,0] D．[0,1)
[答案] C
[解析] 由－x2＋1>0，得－1令u＝－x2＋1(－1又y＝logu为增函数，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,0]．
11．(2015·山东理，10)设函数f(x)＝，
则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A．[，1] B．[0,1]
C．[，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由f(f(a))＝2f(a)可得f(a)≥1，故有或，二者取并集即得a的取值范围是，故选C．
12．已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝0.1x2－11x＋3 000，每台产品的售价为25万元，则生产者为获得最大利润，产量x应定为( )
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
[答案] D
[解析] 设利润为S，由题意得，
S＝25x－y＝25x－0.1x2＋11x－3 000
＝－0.1x2＋36x－3 000＝－0.1 (x－180)2＋240，
∴当产量x＝180台时，生产者获得最大利润，故选D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知f(x)＝＋(3x＋1)0，则函数f(x)的定义域为________________．
[答案] ∪
[解析] 由题意，得，
∴x<2，且x≠－，故函数f(x)的定义域为∪.
14．(2014～2015学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)已知f(x)＝，则f[f(2)]＝____.
[答案] 2
[解析] f(2)＝－4＋3＝1，f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f[f(2)]＝f(－1)＝2.
15．(2014～2015学年度重庆一中高一上学期期中测试)函数y＝x2＋1，x∈[－1,2]的值域为__________．
[答案] [1,5]
[解析] ∵x∈[－1,2]，
∴当x＝0时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝5.
∴函数y＝x2＋1，x∈[－1,2]的值域为[1,5]．
16．设M、N是非空集合，定义M⊙N＝{x|x∈M∪N且x?M∩N}．已知M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝2x，x>0}，则M⊙N等于________．
[答案] {x|0≤x≤1或x>2}
[解析] ∵M＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，
N＝{y|y>1}，
∴M∩N＝{x|1∴M⊙N＝{x|0≤x≤1或x>2}．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知非空集合A＝{x|2a－2[解析] ∵A∩B＝A，∴A?B．
∴当A＝?时，2a－2≥a，∴a≥2.
当A≠?时，由题意得或，
解得a≤1.
综上可知，实数a的取值范围是a≤1或a≥2.
18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)计算下列各式的值：
(1)－(－9.6)0－＋(1.5)2＋(×)4；
(2)lg25＋lg2×lg500－lg－log29×log32.
[解析] (1) －(－9.6)0－＋(1.5)2＋(×)4＝－(－9.6)0－＋2＋4
＝－1－＋＋12＝.
(2)lg25＋lg2×lg500－lg－log29×log32
＝lg25＋lg2(2＋lg5)－lg－×
＝lg5(lg2＋lg5)＋lg4＋lg5－2
＝lg100－2＝2－2＝0.
19．(本小题满分12分)(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知二次函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2，x∈[－5,5]．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数k的取值范围，使函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[解析] (1)当k＝1时，
f(x)＝2x2－2x－5＝22－，
∵x∈[－5,5]，∴当x＝时，f(x)min＝－，
当x＝－5时，f(x)max＝55.
(2)当k＝0时，f(x)＝－2x－2在区间[－5,5]上是减函数，当k≠0时，由题意得≥5或≤－5，
∴0综上可知，实数k的取值范围是.
20．(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收入最大？最大月收入是多少元？
[解析] (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以能租出100－12＝88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x(x为50的整数倍)元时，租赁公司的月收入为y元，则y＝·(x－150)－×50＝－x2＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.所以当x＝4 050时，ymax＝307 050.故当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大月收入为307 050元．
21．(本小题满分12分)(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)已知f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围；
(3)证明：f＝f(x)－f(y)．
[解析] (1)令x＝y＝1，
则f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)∵f(xy)＝f(x)＋f(y), f(3)＝1，
∴f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
∴f(a)>f(a－1)＋2化为f(a)>f(a－1)＋f(9)＝f(9a－9)，
由题意得， 解得1(3)∵f(x)＝f＝f＋f(y)，
∴f＝f(x)－f(y)．
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝lg(mx－2x)(0(1)当m＝时，求f(x)的定义域；
(2)试判断函数f(x)在区间(－∞，0)上的单调性并给出证明；
(3)若f(x)在(－∞，－1]上恒取正值，求m的取值范围．
[解析] (1)当m＝时，要使f(x)有意义，须()x－2x>0，即2－x>2x，可得：－x>x，∴x<0
∴函数f(x)的定义域为{x|x<0}．
(2)设x2<0，x1<0，且x2>x1，则Δ＝x2－x1>0
令g(x)＝mx－2x，
则g(x2)－g(x1)＝m x2－2 x2－m x1＋2 x1
＝m x2－mx1＋2 x1－2 x2
∵0∴m x2－m x1<0,2 x1－2 x2<0
g(x2)－g(x1)<0，∴g(x2)∴lg[g(x2)]∴Δy＝lg(g(x2))－lg(g(x1))<0，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．
(3)由(2)知：f(x)在(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上也为减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上的最小值为f(－1)＝lg(m－1－2－1)
所以要使f(x)在(－∞，－1]上恒取正值，
只需f(－1)＝lg(m－1－2－1)>0，
即m－1－2－1>1，∴>1＋＝，
∵0课件45张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1集 合第一章章末归纳总结第一章
本章主要学习了集合的概念，元素与集合、集合与集合间的关系，以及子集的性质与集合间的运算性质等．
1．集合是“某些指定对象的全体”
构成集合的元素除了常见的数或点等数字对象外，还可以是其他对象．
集合的元素具有：①确定性；②互异性；③无序性．
集合的表示方法：列举法、描述法、维恩图法．
解答集合问题，要明白它所表示的意义，即元素指什么？是什么范围？紧紧抓住竖线前面的代表元素及它所具有的性质．
判断给定对象能否构成集合时，要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，注意它的“互异性”、“无序性”．
2．元素与集合，集合与集合间的关系
元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系．
元素与集合间用“∈”或“?”表示．
集合与集合之间有包含关系，如子集关系，相等关系，真子集关系．
熟练掌握集合的图形表示，会借助维恩图、数轴解决集合问题，树立数形结合解题的意识．
3．“交、并、补”都是集合的运算，对于两个集合而言，交集是指这两个集合的公共元素组成的集合，并集是指由这两个集合的全部元素组成的集合(要注意集合元素的互异性)．补集必须相对于指定的全集而言，一个集合的补集是指由不属于这个集合的全集中的全部其他元素组成的集合．
4．求解含参数的集合运算问题，先对集合化简，使问题明朗化，再对参数进行讨论，讨论时既不能重复又不能遗漏．
5．在集合运算过程中应力求做到“三化”：
(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形．
(2)具体化：求出具体的相关集合；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．
(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助“数形结合思想”解决问题．
1．集合的子集、真子集的个数
我们可通过举例，从实例中归纳出一般规律．如{a，b}的所有子集为?，{a}，{b}，{a，b}，所以子集有4个，真子集有3个；{a，b，c}的所有子集为?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，子集有8个，真子集有7个．由此，一个集合的子集个数与集合中元素的个数有关，我们可以归纳出：若一个非空集合含有n个元素，则它有2n个子集，(2n－1)个真子集，(2n－2)个非空真子集．
2．集合的基本运算问题
集合的运算主要包括交集、并集、补集等，解决集合运算的基本方法是先化简确定集合的元素，然后借助Venn图或数轴将抽象的问题具体化，一般地，集合用Venn图或数轴表示，在用数轴表示时，要注意端点值的取舍． 已知集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{y|y＝x＋2，x∈R}，求A∩B．
[解析] ∵A＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，
B＝{y|y＝x＋2，x∈R}＝{y|y∈R}．
∴A∩B＝{y|y≥0}，
[点评] 进行集合间的运算时，弄清集合中的元素是什么？是进行集合运算的前提．同时，我们要注意区分点集与数集．注意集合中的元素是什么专题一 集合问题中几个注意的地方 已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．注意空集的特殊性
(2)当a≠0，若A中有一个元素，即方程ax2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此时A＝{1}，满足题意；
若A中无元素，即方程ax2－2x＋1＝0无实数根，则Δ＝4－4a<0，解得a>1，此时A＝?，满足题意．
故所求实数a的取值范围是{a|a＝0，或a≥1}． 已知M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合．
[分析] 由M∪N＝M，得N?M，则N中的元素也在集合M中，则令M中的两个元素分别与t2－t＋1相等求解．注意集合中元素的互异性[解析] ∵M∪N＝M，∴N?M，即t2－t＋1∈M，
(1)若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，
当t＝1时，M中的两元素相同，不符合集合中元素的互异性，舍去．
∴t＝0.
(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，
由(1)知不符合题意，舍去．
综上所述，t的取值集合为{0}． 定义集合运算：集合A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A．0 B．6
C．12 D．18定义型
[解析] 由集合A⊙B的新定义x∈A，y∈B得，x＝0，y＝2或x＝0，y＝3或x＝1，y＝2或x＝1，y＝3，故z＝0,6,12，则A⊙B＝{0,6,12}，则集合A⊙B的所有元素之和为18，故应选D．
[答案] D 已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，是否存在集合C，使C的每一个元素都加上2就变成了A的一个子集；且C的各个元素都减去2，就变成了B的一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，请说明理由．
[解析] 假设存在集合C满足条件，因为C≠?，且C?{0,2,4,6,7}，C?{3,4,5,7,10}，∴C＝{4}或{7}或{4,7}．
开放探究型
[点评] 存在性问题，先假设存在，问题转化的关键就在于集合A与B的逆向转换，从两个方面去寻找集合C，逆向操作：A中元素减2得0,2,4,6,7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3,4,5,7,10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7或4、7.数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合．通过对图形的认识，数、形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和维恩图法．数形结合思想
1．数轴法
对初学者来说，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错．此时，数轴分析法是个好帮手，它能将复杂问题直观化．在具体应用时，要注意端点是实心还是空心，以免增解或漏解． 已知集合A＝{x|－1(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A?B，求实数m的取值范围．
[解析] 由题意得A＝{x|－1(1)在数轴上画出集合A和B，若A∩B＝?，则实数m＋2落在－1的左边或与－1重合，
所以m＋2≤－1，即m≤－3.(2)在数轴上画出集合A和B，若A?B，则实数m＋2落在3的右边或与3重合，
所以m＋2≥3，即m≥1.
2．维恩图法
维恩图是集合语言中的图形语言，它易引起清晰的视觉形象，能直观地表达概念．问题的本质以及相互之间的关系．加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识，夯实基础，提高能力具有重要意义． 已知I为全集，集合M、N?I，若M∩N＝N，则( )
A．?IM??IN B．M??IN
C．?IM??IN D．M??IN
[解析] 根据条件画出韦恩图，由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择．
[答案] C分类整合思想是数学思想中比较重要的一种思想，利用分类整合思想解决分类整合问题，已成为高考考查学生知识和能力的热点问题．首先，分类整合问题一般都覆盖较多知识点，有利于对知识面的考查；其次，解分类整合问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想和技巧，有利于对能力的考查，运用分类整合思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到“不重不漏”．分类整合思想 已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N?M，求实数a的取值范围．
[分析] M、N都是以一元二次方程的根为元素组成的集合，一个集合的子集一定有?.
[解析] ∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
又N?M，∴N＝?，或N＝{1}，或N＝{2}，或N＝{1,2}．
(1)当N＝?时，方程x2－2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a<0，即a>1. [点评] 分类整合思想是一种重要的思想方法，即通过化整为零、各个击破的方法，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”、“A∩B＝A”、“A∪B＝B”、“A?B”等都是同一含义．另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路．转化与化归思想[答案] D有些集合问题，条件很多，未知量也多，这时可以考虑通过列出方程或方程组来解决问题，既直观又快捷．一方程思想 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．
[分析] 由集合相等可得两集合中的元素对应相等，列出方程组即可，求解后注意集合中元素的互异性．对于比较复杂，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系时，这时能化难为易，从而将问题解决，这就是补集思想，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现．集合中的补集运算常与方程、不等式等联系起来，特别是否定性的条件，如a?A，可转化为a∈?RA，有时求解将会十分方便，省去一些复杂的讨论．补集思想 已知集合A＝{y|y>a＋5或y[分析] A∩B≠?的对立面为A∩B＝?，故可先求出A∩B＝?时a的取值范围，再用补集思想求A∩B≠?时a的取值范围．即实数a的取值范围为M＝{a|－1≤a≤2}．
而A∩B≠?时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a|a<－1或a>2}．
[点评] 已知全集U，要求子集A，若直接求A较困难或较麻烦时，则可考虑先求出A的补集?UA，再利用A＝?U(?UA)求出集合A．这就是数学中的补集思想．课件55张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1函 数第二章章末归纳总结第二章函数是中学数学重要的基础概念之一，是高中代数的一条主线，贯穿于中学数学的始终，是进一步学习高等数学的基础．函数思想是解决数学问题的重要思想，函数知识是高中数学的重点和难点，也是高考重点考查的内容．
本章主要内容分四大节，分别是：函数、一次函数和二次函数、函数的应用(Ⅰ)、函数与方程．函数的概念建立在集合与对应的语言环境下，相对于变量x、y之间的元素依赖关系无疑是质的飞跃、映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．
从日常生活、生产和进一步学习的需要来看，有关函数的知识是非常重要的．例如，在讨论社会问题、经济问题时，越来越多地运用数学的思想与方法，函数的内容在其中占有相当的地位．又如，计算机日渐普及，学习、使用计算机需要函数图象的有关知识．函数思想与知识应用的独特性与广泛性，更增添了函数的无穷魅力．1．判断函数单调性的方法
(1)直接法
对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接判断它们的单调性．
(2)图象法
画出函数的图象，根据其图象的上升或下降趋势判断函数的单调性．
(3)定义法
利用证明函数单调性的四个步骤(①取值；②求Δy；③判断符号；④下结论)进行判断．
专题一 函数的性质及应用
单调性是函数的重要性质．对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面，函数单调性的应用十分广泛．
奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．[分析] 本题主要考查函数单调性的逆向应用．解题的关键是去掉“f”符号，转化为关于x的不等式问题． 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2, f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] 根据奇、偶函数的性质，
将f(－1)和g(－1)转化为f(1)，g(1)列方程组求解．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①
又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②
由①②，得g(1)＝3.
[答案] B专题二 函数的图象及应用
函数的图象是函数的三种表示形式之一，是高考考查的重要内容，函数图象应用广泛．利用数形结合解题在高考试题中经常出现，有时还考查利用平移变换、对称变换作函数的图象．
1．平移变换
(1)水平平移：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，就得到y＝f(x＋a)的函数图象．
(2)竖直平移：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度，就得到y＝f(x)＋a的函数图象．
(1)(2)总结为“左加右减，上加下减”． 把函数y＝2x2－2x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式是__________．
[解析] 令f(x)＝2x2－2x，把f(x)的图象向右平移2个单位长度后得到y＝2(x－2)2－2(x－2)的图象，再向下平移3个单位长度后得到y＝2(x－2)2－2(x－2)－3的图象，即y＝2x2－10x＋9的图象．
[答案] y＝2x2－10x＋9
2．对称变换
(1)如y＝f(－x)，其函数图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(2)如y＝－f(x)，其函数图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称．
(3)如y＝－f(－x)，其函数图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称． 对于定义在R上的函数f(x)，有下列四个命题：
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；
②若对任意x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；
④函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确命题的序号为________(把你认为正确命题的序号都填上)．
[解析] ①正确，若f(x)是奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，而函数f(x－1)的图象相当于把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所以函数f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；③正确，函数f(x)的图象相当于把函数f(x－1)的图象向左平移一个单位长度，所以f(x)为偶函数．
[答案] ①③ 直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．3．翻折变换
(1)对于y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象位于x轴及x轴上方的部分不变，下方的部分作关于x轴的对称翻折而得到，如图1，将y＝f(x)及y＝|f(x)|的图象分别绘在两个坐标系中对照；(2)y＝f(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与y＝f(x)图象相同，而y＝f(|x|)是偶函数，再在y轴左侧作右侧部分的对称图象即可．如图2所示．
专题三 函数值域的求法
1．观察法
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 求下列函数的值域：
(1)y＝2－|x|；
[分析] (1)中|x|≥0；(2)的形式称为分段函数，分别求各段的值域．[解析] (1)∵|x|≥0，∴2－|x|≤2.
∴函数y＝2－|x|的值域为(－∞，2]．
(2)①当x<0时，－2x＋1>1，即y>1.
②当x＝0时，y＝0.
③当x>0时，－3x2<0，即y<0.
∴原函数的值域为(－∞，0]∪(1，＋∞)．
[点评] 利用已学基本函数的值域，用直观的方法确定所求函数的值域是求值域的一种常用方法．2．配方法
对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，求出函数的值域．
求下列函数的值域：
(1)y＝x2－6x＋8；
(2)y＝x2－6x＋8，x∈(1,2)；
[分析] 将二次函数配成y＝a(x＋h)2＋k的形式，画出图象，结合图象确定函数的值域．[解析] (1)y＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，如图①所示，∴函数的值域为[－1，＋∞)．
(2)y＝(x－3)2－1，如图②所示．
∴函数的值域为(0,3)．(3)∵3＋2x－x2≥0，即－1≤x≤3，
设y1＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4.
如图③所示，当y1≥0，即－1≤x≤3时，函数有意义．
∴函数y1＝3＋2x－x2，x∈[－1,3]的值域为[0,4]，则原函数的值域为[0,2]．
[点评] (1)配方法是求值域的最基本的方法，利用配方法，可求二次函数及相关函数的值域．
(2)要确定值域，先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”的原则．
3．换元法
通过对函数解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域．[分析] 利用换元法将无理函数转化为有理函数求函数的值域．[分析] 本题中的函数没有零点，且含有参数，可利用函数的零点与方程根的关系来求解．[解析] 函数y＝|x|－x－a没有零点，
即方程|x|－x－a＝0无实数根，
也就是函数y＝|x|与y＝x＋a的图象没有交点．
在同一坐标系中作出函数y＝|x|与y＝x＋a的图象，如图所示．
由图象可知，要使函数y＝|x|与y＝x＋a的图象没有交点，应满足a<0，故选D．
[答案] D
专题五 数学思想与方法
1．函数与方程思想
函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式(如单调性、最值等)或构造中间函数结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值，解(证)不等式、解方程以及讨论参数取值范围等问题．方程思想，是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型，加以解决． 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0且方程f(x)＝x有两相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(m2．数形结合思想
把数量关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，恰当地变更问题，使问题化难为易、化繁为简．这就是“数形结合”的根本特征．[答案] 2
3．分类讨论思想
分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，从而增加了题设条件，这也是解决分类问题的指导思想，根据题意，要适当划分讨论的层次． 已知函数f(x)＝x2－(2a－4)x＋2在[－1,1]内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．
[分析] 欲求f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)，需考察f(x)在[－1,1]上的单调性，而f(x)在[－1,1]上的单调性与对称轴相对于区间[－1,1]的位置有关，即对称轴在区间[－1,1]之左、之内、之右时，f(x)在[－1,1]上的单调性不同．因此需关于对称轴相对于区间[－1,1]上的位置展开讨论．
[解析] 对二次函数式配方法，可得
f(x)＝[x－(a－2)]2－(a－2)2＋2，x∈[－1,1]．
其图象的对称轴为直线x＝a－2.
①当a－2<－1，即a<1时，函数f(x)在[－1,1]上单调递增，所以函数的最小值为g(a)＝f(－1)，即g(a)＝2a－1.
②当－1≤a－2≤1，即1≤a≤3时，函数的最小值为g(a)＝f(a－2)，即g(a)＝－(a－2)2＋2.4．赋值思想
对于有些抽象函数，往往利用赋值法可得其性质，将复杂问题简单化．
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题．因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开．抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图象的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题． 定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
求证：(1)f(0)＝1；
(2)对任意的x∈R，恒有f(x)>0.课件54张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1基本初等函数(Ⅰ)第三章章末归纳总结第三章
指数函数、对数函数和简单的幂函数是重要的基本初等函数，是高中数学函数部分的主体内容，是历届高考的重点．本章是在初中学习了整数指数幂及运算性质的基础上，引入了分数指数幂的概念，然后将分数指数幂推广到实数指数幂，进而研究指数、指数函数的概念及图象性质；对数运算、对数函数的概念及其图象和性质．另外，函数的实际应用是新课标增添的内容．但它的研究思想方法，一直是高中数学的重点及难点之一，也是高考中常见题型．
函数建模时往往涉及很多因素，如果把涉及到的所有因素都考虑到，是不可能的，也没有必要，而且还会使问题复杂化而导致建模失败，要想把实际问题变为数学问题，需要对其进行必要的合理的简化和假设，梳理相应的数学问题即提出问题，有了数学问题，就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集到的信息来描述变量之间的关系，本章第4节即用函数模型来描述，即函数建模，最后还需将模型的结果与研究的实际问题作比较，以检验所建模型及计算过程的合理性，如果检验结果不符合实际，应该修改、补充，通常一个模型可以经过多次反复修改才能得到满意的结果．因此，函数建模的主要过程即为：在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比的方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的思想方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、发展过程中提高运用知识解决问题的能力．
1．幂的大小比较的方法
比较大小常用的方法有：(1)作差(商)法；(2)函数单调性法；(3)中介值法：要比较A与B的大小，先找一个中介值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B的大小关系．
在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断．(还可用幂函数的单调性，后面将学到)
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，应通过中介值来比较，或用图象法进行比较．
(4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，应先根据值的大小(特别是与0,1的大小)进行分组，再比较各组数的大小即可．
2．对数值大小的比较
(1)如果两个对数的底数相同，则由对数函数的单调性(当底数a>1时，函数为增函数；当底数 0(2)如果两个对数的底数和真数均不相同，那么通常引入中介值进行比较．
(3)如果两个对数的底数不同而真数相同，如y1＝loga1x与y2＝loga2x的比较(a1>0，a1≠1，a2>0，a2≠1)：
①当a1>a2>1时，根据对数函数图象的变化规律知当x>1时，y1y2.
②当01时，y1y2.
还可以用换底公式化为同底数的两个对数的倒数形式进行比较．
专题一 指数与指数幂运算，对数与对数运算
指数运算、对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章的主要考点，也是高考的必考内容．对于指数运算，首先，要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为分数指数；其次，若出现分式，则要注意分子、分母的因式分解，以达到约分的目的．对数运算要注意公式应用过程中范围的变化，保证前后的等价性．能熟练运用对数的运算法则及换底公式等化简计算． 已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
[答案] D
专题二 指数函数和对数函数的图象和性质
指数函数和对数函数是中学数学中两个重要的基本初等函数，它们的图象与性质始终是高考考查的重点，应熟练掌握图象的画法及形状，记熟性质．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图象与性质也随之改变，因此，在a的值不确定时，要对它们进行分类讨论． 已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )
[解析] 因为函数y＝log2x的反函数是y＝2x，所以f(x)＝2x.故f(1－x)＝21－x，因为此函数在R上是减函数，且过点(0,2)．因此选C．
[答案] C 已知f(x)＝|lgx|，且0A．a<1，b<1且c>1
B．01且c>1
C．b>1，c>1 [答案] D[分析] 先用换元法求出f(x)的表达式，再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性，然后利用以上结论求解．
专题三 函数的实际应用
指数函数、对数函数和幂函数在实际问题中应用非常广泛，解决的关键是弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，确定数学模型，再利用相应的函数模型答题，最后还原为实际问题．专题四 数形结合思想
数形结合是高中数学中的一种重要的数学思想方法，这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．运用数形结合的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性原则． 方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝log2(x＋4)及y＝3x的图象，如图所示．由图象可知，它们的图象有两个交点，故选C．
[答案] C
[点评] “数形结合”是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻找解决问题方法的一种数学思想．通常包括“以数解形”和“以形助数”两方面．
通过“以数解形”或“以形助数”，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，数形结合兼数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是基本的数学方法．[答案] a分类讨论问题的实质是把整体问题化为部分来解决，化成部分从而增加题设条件，这是解分类讨论问题的指导思想．
[分析] 本题是函数性质的综合应用，利用奇偶性和单调性分析，对a进行讨论，求出解集． 已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)和g(x)的大小．专题六 等价转化思想
数学问题中，已知条件是结论成立的保证，但有的问题已知条件和结论之间距离比较大，难于解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向需求结论靠拢，这就是解题过程中经常要做的工作，变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中的隐含因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题解决．
专题七 函数与方程的思想
在解决数学问题时，对于一些从形式上看是以非方程的问题出现的，但经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到很好的解决．这一思想方法我们称之为“方程思想”． 已知1A．aC．c[分析] 将a、b化简变形，再比较大小．
[解析] ∵1∴c＝logd(logdx)<0.
a－b＝(logdx)2－logdx2＝(logdx)2－2logdx
＝logdx(logdx－2)<0，
∴c[答案] D
[点评] (1)此题运用函数y＝logdx及其复合函数的单调性，值域比较a、b、c的大小；(2)此题也可采用特殊值法，如取d＝4，x＝2，判断a、b、c大小． 方程ax＋x2＝2(a>0，a≠1)的解的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．无法判定
[分析] 作出函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝2－x2的图象．
[解析] ∵ax＋x2＝2，∴ax＝2－x2.
令y1＝ax(a>0，a≠1)，y2＝2－x2，
分别作出两函数的图象如图．当a>1时 当0故选C．
[答案] C
[点评] 一般无法直接解出指、对数与整式混合一起的方程的解．此时可考虑建立函数关系，应用函数与方程的思想解题．
专题八 换元思想
换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．本章中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题，特别要注意换元后u的取值范围．[分析] 若设log5x＝u，则方程可化为一元二次方程u2－2u－3＝0，解此方程求出u，即可求出相应的x的值．第一章综合测试(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知集合M＝{0,1,2}，N＝{0,3,4}，则M∩N＝( )
A．{0} B．{1,2}
C．{3,4} D．?
[答案] A
[解析] M∩N＝{0,1,2}∩{0,3,4}＝{0}．
2．(2014～2015学年度内蒙古赤峰市林东一中高一上学期期中测试)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则集合P的子集共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
[答案] B
[解析] ∵M∩N＝{1,3}，∴P＝{1,3}，故集合P的子集共有4个．
3．(2014～2015学年河南省实验中学高一上学期月考)已知P＝{a，b}，M＝{t|t?P}，则P与M的关系为( )
A．P?M B．P?M
C．M?P D．P∈M
[答案] D
[解析] 由题意知集合M＝{?，{a}，{b}，{a，b}}，
又∵P＝{a，b}，∴P∈M.
4．(2014～2015学年度广东珠海四中高一上学期月考)设集合M＝{x|x2－x－12＝0}，N＝{x|x2＋3x＝0}，则M∪N＝( )
A．{－3} B．{－3,0,4}
C．{－3,4} D．{0,4}
[答案] B
[解析] M＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3,4}，
N＝{x|x2＋3x＝0}＝{－3,0}，∴M∪N＝{－3,0,4}．
5．若集合A、B、C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A、C之间的关系必定是( )
A．A?C B．C?A
C．A?C D．C?A
[答案] C
[解析] A∩B＝A?A?B，B∪C＝C?B?C，
∴A?C，故选C．
6．(2014～2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)设非空集合A?{1,2,3,4,5}，且若a∈A，则6－a∈A，这样的集合共有( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
[答案] C
[解析] ∵a∈A，则6－a∈A，
∴A＝{1,5}或A＝{1,5,3}，
或A＝{2,4}，或A＝{2,3,4}，
或A＝{3}，或A＝{1,2,4,5}，
或A＝{1,2,3,4,5}共7个．
7．设S＝R，M＝{x|－1A．M∩N B．M∪N
C．?S(M∪N) D．?S(M∩N)
[答案] C
[解析] ∵M∪N＝{x|－18．已知集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}．若m∈A，n∈B，则有( )
A．m＋n∈A
B．m＋n∈B
C．m＋n∈C
D．m＋n不属于A、B、C中的任意一个
[答案] B
[解析] 集合A为偶数集，集合B为奇数集，∵m∈A，n∈B，∴m为偶数，n为奇数，∴m＋n为奇数，故m＋n∈B．
9．(2015·北京文，1)若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3[答案] A
[解析] ∵－5∴A∩B＝{x|－310．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．A∩B B．A∪B
C．B∩(?UA) D．A∩(?UB)
[答案] C
[解析] 由题图知，阴影部分是集合B去掉A中的部分．
11．设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M∩N＝?
[答案] B
[解析] 解法一：利用特殊值法，令k＝－2、－1、0、1、2，可得M＝{…，－，－，，，，…}，
N＝{…，0，，，，1，…}，排除M＝N、M?N、
M∩N＝?，∴M?N.故选B．
解法二：集合M的元素x＝＋＝(k∈Z)，集合N的元素为x＝，∵k∈Z，
∴2k＋1是奇数，k＋2是所有整数，
∴M?N，故选B．
12．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，集合B＝{x|3≤x≤22}，且A?B，则实数a的取值范围为( )
A．1≤a≤9 B．6≤a≤9
C．a≤9 D．6[答案] C
[解析] ∵A?B，∴当A＝?时，有2a＋1>3a－5，
∴a<6.
当A≠?时，有，解得6≤a≤9.
综上可知，a≤9.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝________.
[答案] －1
[解析] ∵A∩B＝{1}，∴1∈A，
∴a2＝1，∴a＝±1.
当a＝1时，集合B中元素不满足互异性，∴a＝－1.
14．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是____________________．
[答案] x≠－1，且x≠0，且x≠3
[解析] 由，得x≠－1，且x≠0，且x≠3.
15．已知集合A＝{x|1≤x<2}，B＝{x|x[答案] a≥2
[解析] ∵A∩B＝A，∴A?B，∴a≥2.
16．已知集合U＝{x∈R|－6≤x≤6}，M＝{x∈R|－1[答案] {x∈R|－1[解析] ∵U＝{x∈R|－6≤x≤6}，
?UN＝{x∈R|0∴N＝{x∈R|－6≤x≤0或3又M＝{x∈R|－1∴M∩N＝{x∈R|－1三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>－1}．
(1)求A∩B和A∪B；
(2)求?U(A∩B)和?U(A∪B)．
[解析] (1)A∩B＝{x|x≤3}∩{x|x>－1}
＝{x|－1A∪B＝{x|x≤3}∪{x|x>－1}＝R.
(2)?U(A∩B)＝{x|x≤－1或x>3}，?U(A∪B)＝?.
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2求：(1)A∪B；
(2)(?RA)∩B．
[解析] (1)A∪B＝{x|3≤x<7}∪{x|2(2)∵?RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|219．(本小题满分12分)设全集U＝{x∈N|3≤x<10}，A和B都是U的子集，且有A∩B＝{3,9}，(?UA)∩B＝{7,8}，?U(A∪B)＝{5,6}，求集合A与B．
[解析] 全集U＝{3,4,5,6,7,8,9}，
又A∩B＝{3,9}，∴3,9∈A且3,9∈B；
∵(?UA)∩B＝{7,8}，∴7,8?A且7,8∈B；
∵?U(A∪B)＝{5,6}
∴5,6?A∪B，∴5,6?A且5,6?B，又考察元素4与集合A，B的关系知4∈A且4?B，
综上可知A＝{3,4,9}，B＝{3,7,8,9}．
20．(本小题满分12分)(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2(1)求A∩B，A∪(?UB)；
(2)若B∩C＝C，求实数a的取值范围．
[解析] (1)A∩B＝{x|2∵?UB＝{x|x≤2或x≥4}，
∴A∪(?UB)＝{x|x≤3或x≥4}．
(2)若B∩C＝C，则C?B．
∴，∴221．(本小题满分12分)设全集U＝{－，5，－3}，－是A＝{x|3x2＋px－5＝0}与B＝{x|3x2＋10x＋q＝0}的公共元素，求?UA，?UB．
[解析] ∵A、B中的方程都有一根为－，
∴分别代入两方程，得，
∴.
∴A＝{x|3x2－14x－5＝0}＝{x|(3x＋1)(x－5)＝0}
＝{－，5}，
B＝{x|3x2＋10x＋3＝0}＝{x|(3x＋1)(x＋3)＝0}
＝{－，－3}．
∴?UA＝{－3}，?UB＝{5}．
22．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|－3(1)求A∩M；
(2)若B∪(?UM)＝R，求实数b的取值范围．
[解析] (1)∵A＝{x|－3M＝{x|－4≤x<5}，
∴A∩M＝{x|－3(2)∵M＝{x|－4≤x<5}，
∴?UM＝{x|x<－4或x≥5}，
又B＝{x|b－3B∪(?UM)＝R，
∴，解得－2≤b<－1.
∴实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}．
第一章综合测试(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014～2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)方程组的解集是( )
A．(5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
[答案] D
[解析] 由，解得，故选D．
2．(2015·新课标Ⅱ理，1)已知集合A＝{－2，－1,0,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
[答案] A
[解析] 由已知得B＝{x|－2故A∩B＝{－1,0}，故选A．
3．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，则集合A等于( )
A．{0} B．{0,1}
C．{1} D．?
[答案] B
[解析] ∵U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，∴A＝{0,1}．
4．(2014～2015学年度德阳五中高一上学期月考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{3,4,5,6,7}，则P∪(?UQ)＝( )
A．{1,2} B．{3,4,5}
C．{1,2,6,7} D．{1,2,3,4,5}
[答案] D
[解析] ?UQ＝{1,2}，P∪(?UQ)＝{1,2,3,4,5}．
5．(2015·重庆理，1)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )
A．A＝B B．A∩B＝?
C．A?B D．B?A
[答案] D
[解析] 根据子集的定义，B?A，故选D．
6．(2014～2015学年度河南洛阳市高一上学期期中测试)已知集合M＝{x|y＝2－x}，N＝{y|y＝x2}，则M∩N＝( )
A．? B．{(1,1)}
C．{x|x≥0} D．{y|y>0}
[答案] C
[解析] M＝{x|y＝2－x}＝R，
N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，
∴M∩N＝{x|x≥0}．
7．(2014·浙江文，1)设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝( )
A．(－∞，5] B．[2，＋∞)
C．(2,5) D．[2,5]
[答案] D
[解析] S∩T＝{x|x≥2}∩{x|x≤5}＝{x|2≤x≤5}，故选D．
8．已知A∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
[答案] B
[解析] ∵A∩{－1,0,1}＝{0,1}，∴0∈A,1∈A．
又∵A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，
∴－2,2可能是集合A的元素，也可能不是集合A的元素．
∴A＝{0,1}或A＝{0,1，－2}，或A＝{0,1,2}，或A＝{0,1，－2,2}．
9．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{1,3,4} B．{2,4}
C．{4,5} D．{4}
[答案] D
[解析] A∩B＝{1,2,3}∩{2,4}＝{2}，图中阴影部分所表示的集合是?B(A∩B)＝{4}．
10．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则( )
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3
[答案] B
[解析] ∵A∩B＝{(2,5)}，∴(2,5)∈A，(2,5)∈B，
∴5＝2a＋1,5＝2＋b，∴a＝2，b＝3.
11．已知集合A＝{x|x2＋x＋1＝0}，若A∩R＝?，则实数m的取值范围是( )
A．m<4 B．m>4
C．0[答案] A
[解析] ∵A∩R＝?，∴A＝?，
即方程x2＋x＋1＝0无解，∴Δ＝()2－4<0，
∴m<4.
12．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和?如下：
⊕
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
b
c
c
b
c
b
d
d
b
b
d
?
a
b
c
d
a
a
a
a
a
b
a
b
c
d
c
a
c
c
a
d
a
d
a
d
那么d?(a⊕c)＝( )
A．a B．b
C．c D．d
[答案] A
[解析] 由题中表格可知，a⊕c＝c，d?(a⊕c)＝d?c＝a，故选A．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．若{a,0,1}＝{c，，－1}，则a＝______，b________，c＝________.
[答案] －1 1 0
[解析] ∵≠0，∴c＝0，a＝－1，b＝1.
14．(2014～2015学年度江苏启东中学高一上学期月考)若集合A＝{x|1[答案] {x|2[解析] A∩B＝{x|1＝{x|215．已知U＝{2,3，a2＋6a＋13}，A＝{|a－1|,2}，?UA＝{5}，则实数a＝________.
[答案] －2
[解析] ∵?UA＝{5}，∴5?A,5∈U，
∴，
即，或，
解得a＝－2.
16．有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有________人．
[答案] 2
[解析] 设两种都没买的有x人，由题意知，只买电视的有6人，只买电脑的有5人，两种均买了的有2人，∴6＋5＋2＋x＝15，∴x＝2.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)设全集U＝{x∈Z|0≤x≤10}，A＝{1,2,4,5,9}，B＝{4,6,7,8,10}，C＝{3,5,7}．
求：A∪B，(A∩B)∩C，(?UA)∩(?UB)．
[解析] U＝{x∈Z|0≤x≤10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
A∪B＝{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，
A∩B＝{4}，
(A∩B)∩C＝{4}∩{3,5,7}＝?.
?UA＝{0,3,6,7,8,10}，
?UB＝{0,1,2,3,5,9}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{0,3}．
18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)已知全集U＝{x|x－2≥0或x－1≤0}，A＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x≤1或x>2}．
求：A∩B，A∪B，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
[解析] U＝{x|x≥2或x≤1}，
∴?UA＝{x|x＝1或2≤x<3}，?UB＝{x|x＝2}．
∴A∩B＝{x|x<1或x>3}，
A∪B＝{x|x≤1或x>2}，
(?UA)∩(?UB)＝{x|x＝2}，
(?UA)∪(?UB)＝{x|x＝1或2≤x<3}．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，试求出实数k的值，并用列举法表示集合A．
[解析] ∵集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0只有一个实根或有两个相等的实数根．
①当k＝0时，方程－8x＋16＝0只有一个实数根2，此时A＝{2}．
②当k≠0时，由Δ＝(－8)2－64k＝0，
得k＝1，此时A＝{x|x2－8x＋16＝0}＝{4}．
综上可知，k＝0，A＝{2}或k＝1，A＝{4}．
20．(本小题满分12分)(2014～2015学年度河北正定中学高一上学期月考)已知全集U＝R，集合M＝{x|－1≤x≤4m－2}，P＝{x|x>2或x≤1}．
(1)若m＝2，求M∩P；
(2)若M∩P＝R，求实数m的取值范围．
[解析] (1)m＝2时，M＝{x|－1≤x≤6}，
∴M∩P＝{x|－1≤x≤1或2(2)若M∪P＝R，则有4m－2≥2，∴m≥1.
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|x≤2a或x≥a＋1}，若(?RB)?A，求实数a的取值范围．
[解析] ∵B＝{x|x≤2a或x≥a＋1}，
∴?RB＝{x|2a当2a≥a＋1，即a≥1时，?RB＝??A，
当2a要使?RB?A，应满足a＋1≤－1或2a≥1，
即a≤－2或≤a<1.
综上可知，实数a的取值范围为a≤－2或a≥.
22．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求a的取值范围．
[解析] ∵A∩B≠?，∴A≠?，即方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根，∴Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0，即(a＋1)(2a－3)≥0，
∴，或，解得a≥或a≤－1.①
又B＝{x|x<0}，∴方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负实数根．若方程x2－4ax＋2a＋6＝0没有负实数根，则需有，解得a≥.所以方程至少有一负实数根时有a<.②
由①②取得公共部分得a≤－1.即当A∩B≠?时，a的取值范围为a≤－1.
第二章综合测试(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝a，则f(x2)＝( )
A．a2 B．a
C．x2 D．x
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝a，∴函数f(x)为常数函数，
∴f(x2)＝a，故选B．
2．(2014～2015学年度广东珠海四中高一上学期月考)已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝( )
A．{x|x≥－2} B．{x|x<2}
C．{x|－2[答案] D
[解析] 由题意得M＝{x|2－x>0}＝{x|x<2}，N＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，∴M∩N＝{x|－2≤x<2}．
3．在下列由M到N的对应中构成映射的是( )
[答案] C
[解析] 选项A中，集合M中的数3在集合N中没有数与之对应，不满足映射的定义；选项B中，集合M中的数3在集合N中有两个数a、b与之对应，选项D中，集合M中的数a在集合N中有两个数1、3与之对应不满足映射的定义，故选C．
4．(2014～2015学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)已知f(＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x2－2x＋2 D．f(x)＝x2－2x
[答案] C
[解析] 令＋1＝t≥1，∴x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2
∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)．
5．(2014～2015学年度山东烟台高一上学期期中测试)若f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a>4 B．a<4
C．a≥4 D．a≤4
[答案] D
[解析] 函数f(x)的对称轴为x＝a－1，由题意得a－1≥3，∴a≥4.
6．已知一次函数y＝kx＋b为减函数，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图象是( )
[答案] A
[解析] 选项A图象为减函数，k<0，且在y轴上的截距为正，故b>0，满足条件．
7．对于“二分法”求得的近似解，精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关
[答案] B
[解析] ε越小，零点的精确度越高；重复计算次数与ε有关．
8．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)＝( )
A．－3x＋2 B．－6x－1
C．2x＋1 D．－6x＋5
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝－3x＋2，
∴f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－1.
9．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
[答案] B
[解析] 观察图象，根据图象的特点，发现取水深h＝时，注水量V1>，即水深为水瓶高的一半时，实际注水量大于水瓶总容量的一半，A中V1<，C，D中V1＝，故选B．
10．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈(－∞，0](x1≠x2)，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则( )
A．f(－2)C．f(3)[答案] C
[解析] 由题意知，函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．又f(－2)＝f(2)，
∴f(3)11．定义两种运算：a⊕b＝ab，a?b＝a2＋b2，则f(x)＝为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
[答案] A
[解析] ∵a⊕b＝ab，a?b＝a2＋b2，
∴f(x)＝＝＝，
∴在定义域R上，有
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故选A．
12．(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则使<0的x的取值范围为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
[答案] D
[解析] 由f(x)为奇函数，
可知＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
则奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，
所以0二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)函数y＝＋的定义域是______________．
[答案] [1，＋∞)
[解析] 由题意得，
∴x≥1，故函数y＝＋的定义域为[1，＋∞)．
14．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似根时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定根所在的区间为________．
[答案] [1.5,2]
[解析] 令f(x)＝x3－2x－1，f(1.5)＝1.53－2×1.5－1<0，f(2)＝23－2×2－1＝3>0，∴f(1.5)·f(2)<0，故可以断定根所在的区间为[1.5,2]．
15．函数f(x)＝x2－mx＋m－3的一个零点是0，则另一个零点是________．
[答案] 3
[解析] ∵0是函数f(x)＝x2－mx＋m－3的一个零点，∴m－3＝0，∴m＝3.
∴f(x)＝x2－3x.
令x3－3x＝0，
得x＝0或3.故函数f(x)的另一个零点是3.
16．(2014～2015学年度江苏南通中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，且f(－a)＝6，则f(a)＝________.
[答案] －4
[解析] f(－a)＝a(－a)3＋b(－a)＋1＝－(a4＋ab)＋1＝6，
∴a4＋ab＝－5.
∴f(a)＝a4＋ab＋1＝－5＋1＝－4.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)设定义域为R的函数f(x)＝.
(1)在如图所示的平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调区间(不需证明)；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．
[解析] (1)画出函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]，[1，＋∞)；单调递减区间为[0,1]．
(2)f(x)＝，
当－≤x≤0时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝，
当0∴函数f(x)在区间上的最大值为1，最小值为0.
18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)用函数单调性定义证明f(x)＝x＋在x∈(0，)上是减函数．
[解析] 设任意x1∈(0，)，x2∈(0，)，且x1f(x2)－f(x1)＝x2＋－x1－
＝(x2－x1)＋
＝(x2－x1)(1－)，
∵00,0∴1－<0，
∴(x2－x1)(1－)<0，
∴f(x2)即函数f(x)在(0，)上是减函数．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a>0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2，求a、b的值．
[解析] 依题意， f(x)的对称轴为x＝1，函数f(x)在[1,3]上随着x的增大而增大，
故当x＝3时，该函数取得最大值，即f(x)max＝f(3)＝5,3a－b＋3＝5，
当x＝1时，该函数取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝2，即－a－b＋3＝2，
∴联立方程得，
解得a＝，b＝.
20．(本小题满分12分)(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[－，2]上的最值；
(2)若函数f(x)在[－，2]上的最大值为1，求实数a的值．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝x2＋x－3＝(x＋)2－，
∴当x＝－时，f(x)min＝－，
当x＝2时，f(x)max＝3.
(2)函数f(x)的对称轴为x＝－a，当－a≤，即a≥时，
f(x)max＝f(2)＝4a－1＝1，∴a＝.
当－a>，即a<时，
f(x)max＝f(－)＝－3a＝1，∴a＝－.
∴实数a的值为－或.
21．(本小题满分12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？
(2)当销售商一次订购x个零件时，该厂获得的利润为P元，写出P＝f(x)的表达式．
[解析] (1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x0个，则60－0.02(x0－100)＝51，解得x0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．
(2)设一次订量为x个时，零件的实际出厂单价为W，工厂获得利润为P，由题意P＝(W－40)·x，
当0当100当x≥550时，W＝51.
当0∴当100当x≥550时，y＝(51－40)x＝11x.
故y＝.
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是x1和x2，求T＝x＋x的取值范围．
[解析] (1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根，
则，
解得k＝－2，经检验满足Δ≥0.
(2)若函数的两个零点为x1和x2，则x1和x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，
∴，
则T＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－k2－10k－6
＝－(k＋5)2＋19(－4≤k≤－)
∴T在区间上的最大值是18，最小值为，
即T的取值范围为.
第二章综合测试(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组函数表示同一函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
[答案] C
[解析] A中的两函数的定义域不同，B、D中两函数的对应法则不同，C中两函数的定义域和对应法则都相同，故选C．
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝x－ D．y＝x2，x∈[0,1]
[答案] B
[解析] 选项B中，函数y＝2x2－3的定义域为R，令f(x)＝2x2－3，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，
∴函数y＝2x2－3为偶函数．
3．(2014～2015学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)下列函数在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝x D．y＝x－
[答案] D
[解析] 函数y＝x－＝在(0，＋∞)上单调递减．
4．(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)已知函数f(x)的定义域为[－2,1]，函数g(x)＝，则g(x)的定义域为( )
A． B．(－1，＋∞)
C．∪(0,2) D．
[答案] A
[解析] ∵函数f(x)的定义域为[－2,1]，
∴f(x－1)中，－2≤x－1≤1，
∴－1≤x≤2，
∴f(x－1)的定义域为[－1,2]．
又2x＋1>0，∴x>－，
∴g(x)的定义域为.
5．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)已知f(x)＝，则f(8)的值为( )
A．－312 B．－174
C．174 D．－76
[答案] D
[解析] f(8)＝f(8－2)＝f(6)＝f(6－2)＝f(4)＝4－5×42＝－76.
6．已知函数f(x)＝|x|－a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a>0 B．a<0
C．a≥0 D．a≤0
[答案] B
[解析] 当a<0时， f(x)＝|x|－a>0恒成立，∴函数f(x)无零点；
当a＝0时， f(x)＝|x|的零点为0，故选B．
7．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的单调递增区间分别是( )
A．(－∞，0]和(－∞，1] B．(－∞，0]和[1，＋∞)
C．[0，＋∞)和(－∞，1] D．[0，＋∞)和[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 本题主要考查函数单调区间的判断．函数f(x)＝|x|的单调递增区间为[0，＋∞)，函数g(x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1的单调递增区间为(－∞，1]．故选C．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] B
[解析] 由题意，得f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)，
∵函数f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴f(6)＝0.
9．直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截该梯形所得位于l左边图形的面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为( )
[答案] C
[解析] 由题意，当0≤t<1时， f(t)＝t2；
当1≤t≤2时， f(t)＝1＋2(t－1)＝2t－1.
即S＝f(t)＝，
函数图象前一段为抛物线，后一段为线段，故选C．
10．已知二次函数f(x)图象的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝6x2－6x＋4 B．f(x)＝6x2－12x－2
C．f(x)＝6x2－12x＋4 D．f(x)＝6x2－6x－2
[答案] C
[解析] ∵f(x)图象的顶点坐标为(1，－2)，
∴设f(x)＝a(x－1)2－2(a≠0)．
又该图象过点(2,4)，∴a－2＝4，∴a＝6，
∴f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
11．已知一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则它们在同一坐标系中的大致图象是图中的( )
[答案] D
[解析] 选项A中，一次函数中b<0，二次函数中b＝0，故排除A；选项B、C中一次函数中b>0；二次函数中b＝0，故排除B、C，故选D．
12．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列3个命题：
①c＝0时，f(x)是奇函数；
②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；
③方程f(x)＝0至多有两个实数根．
其中正确的命题是( )
A．① B．①③
C．①② D．①②③
[答案] C
[解析] c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，f(－x)＝－x|－x|－bx＝－(x|x|＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，①正确；b＝0，c>0时，
函数f(x)＝x|x|＋c＝，
∴方程f(x)＝0只有一个实数根，②正确；
当b＝－1，c＝0时，方程f(x)＝0，即
x|x|－x＝0，∴x(|x|－1)＝0，
∴x＝0或|x|－1＝0，
即x＝0或x＝±1，此时方程f(x)＝0，
有三个实数根，③错误，故选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2014～2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)函数y＝的定义域为________________．
[答案] [－2,1)∪(1,2]
[解析] 由题意得，
∴－2≤x<1或114．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知f(x)为一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，则函数f(x)的解析式为____________．
[答案] f(x)＝x＋3
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
∴，解得.
∴f(x)＝x＋3.
15．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)[答案] (1，＋∞)
[解析] 由题意得2x>x＋1，∴x>1.
16．已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．
[答案] 1
[解析] 本题可转化为函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象的交点个数问题．作出函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示．由图象知，只有当a＝1时，两函数图象才有三个交点．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)已知一次函数f(x)满足2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1.
(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－x2，求函数g(x)的零点．
[解析] (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由题意得，解得.
∴f(x)＝3x－2.
(2)g(x)＝f(x)－x2＝3x－2－x2，
令g(x)＝0，得3x－2－x2＝0，∴x＝1或x＝2.
∴函数g(x)的零点是1和2.
18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度湖北部分重点中学高一上学期期中测试)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的增区间．
[解析] (1)设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－x＋1.
又∵f(x)在x＝0处有意义，∴f(0)＝0.
∴f(x)＝.
(2)函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)的增区间为，
.
19．(本小题满分12分)若函数f(x)＝x2＋4x＋a的定义域和值域均为[－2，b](b>－2)，求实数a、b的值．
[解析] ∵函数f(x)的对称轴方程为x＝－2，
∴函数f(x)在定义域[－2，b](b>－2)上单调递增，
∴函数f(x)的最小值为f(－2)＝a－4＝－2，
∴a＝2.
函数f(x)的最大值为f(b)＝b2＋4b＋2＝b.
∴b2＋3b＋2＝0，∴b＝－1或b＝－2(舍去)，
∴b＝－1.
20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数)满足条件：①图象过原点；②f(1＋x)＝f(1－x)；③方程f(x)＝x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在x∈[－1,2]上的值域．
[解析] (1)∵函数f(x)图象过原点，∴c＝0，
又∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数图象的对称轴为x＝1，
∴－＝1，即b＝－2a.∴f(x)＝ax2－2ax.
又∵方程f(x)＝x有等根，
∴方程ax2－(2a＋1)x＝0有等根，
即Δ＝[－(2a＋1)]2＝0，∴a＝－.
∴f(x)＝－x2＋x.
(2)由(1)知，f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，
∴当x＝1时，f(x)取最大值，
当x＝－1时，f(x)取最小值－，
∴函数f(x)在x∈[－1,2]上的值域为[－，]．
21．(本小题满分12分)关于x的二次方程为x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
[解析] 设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，
∵f(－1)＝2，f(0)＝2m＋1，
f(1)＝4m＋2，f(2)＝6m＋5.
由题意知抛物线
f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得满足的条件为
，即，解得，
∴－22．(本小题满分14分)为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完)；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．
(1)若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？
(2)若a＝60，在只开1个窗口的情况下，试求第n(n∈N*且n≤118)个购票者的等待时间tn关于n的函数．
[解析] (1)设至少需要同时开x个窗口，则根据题意有，
，
由①②得，c＝2b，a＝75b，代入③得，
75b＋10b≤20bx，∴x≥，
即至少同时开5个窗口才能满足要求．
(2)由a＝60得，b＝，c＝，设第n个人的等待时间为tn，则由题意得，
当n≤60(n∈N*)时，tn＝＝；
当60∴tn＝＝，
综上，tn关于n的函数为
tn＝.
第三章综合测试(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014～2015学年度北京丰台二中高一上学期期中测试)下列函数中，与函数＝有相同定义域的是( )
A．f(x)＝lnx B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ax(a>1)
[答案] A
[解析] 函数y＝的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)＝lnx的定义域为(0，＋∞)，故选A．
2．化简的结果是( )
A．a B．
C．a2 D．
[答案] B
[解析] ＝＝＝(a)＝a＝.
3．(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)下列不等式中正确的是( )
A．lg0.1>lg0.2 B．0.20.1<0.20.2
C．0.20.1>lg0.1 D．0.10.2>lg0.2
[答案] C
[解析] lg0.1<0,0.20.1>0，∴0.20.1>lg0.1，故选C．
4．已知x，y为正实数，则( )
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
[答案] D
[解析] 选项A,2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，故错误；选项B,2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)≠2lg(x＋y)，故错误；选项C,2lgx·lgy＝(2lgx)lgy，故错误；选项D,2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，正确．
5．若集合A＝{y|y＝x，－1≤x≤1}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．? D．{1}
[答案] B
[解析] ∵y＝x，－1≤x≤1，∴－1≤y≤1，
∴A＝{y|－1≤y≤1}，又B＝{x|y＝}＝{x|x≤1}，
∴A∩B＝{x|－1≤x≤1}，故选B．
6. 的值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] C
[解析] 原式＝[(53) ＋(2－4)－＋(72) ]
＝(52＋22＋7) ＝36＝6.
7．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一期中测试)设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
[答案] B
[解析] ∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴f(1.5)·f(1.25)<0，故选B．
8．(2015·重庆文，3)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，
∴x>1或x<－3，故选D．
9．f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，则a等于( )
A． B．－1
C．－ D．0
[答案] C
[解析] 解法一： f(－x)＝lg(10－x＋1)－ax＝f(x)
＝lg(10x＋1)＋ax，
∴2ax＝lg(10－x＋1)－lg(10x＋1)＝lg
＝lg10－x＝－x，
∴(2a＋1)x＝0，又∵x∈R，∴2a＋1＝0，∴a＝－.
解法二：特值法：由题已知f(－1)＝f(1)，
即lg－a＝lg11＋a，∴2a＝lg－lg11＝lg＝－1，
∴a＝－.
10．函数y＝()的值域是( )
A．(－∞，0) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
[答案] B
[解析] ∵≥0，∴()≤1，
又∵()＞0，∴函数y＝()的值域为(0,1]．
11．(2015·山东文，10)设函数f(x)＝，若f[f()]＝4，则b＝( )
A．1 B．
C． D．
[答案] D
[解析] ∵＜1，∴f＝3×－b＝－b.
若－b≥1即b≤.则f＝2－b＝4，
∴－b＝2，∴b＝适合b≤，
若－b＜1即b＞，
则f＝3×－b＝4，∴b＝，
不符合b＞.故舍去，∴选D．
12．(2014～2015学年度山东临朐一中高一上学期月考)已知镭经过100年的剩余量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年的剩余量为y，则x、y的关系为( )
A．y＝(0.957 6) B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝()x D．y＝1－0.424 6100x
[答案] A
[解析] 本题考查指数函数的应用．设质量为1的镭经过1年的剩余量为上一年的r，则经过x年的剩余量为原来的rx.当x＝100时，r100＝0.957 6，
∴r＝(0.957 6)，
∴x、y的关系式为y＝(0.957 6) ，故选A．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2,16)，则函数f(x)的解析式是______________．
[答案] f(x)＝x4
[解析] 设f(x)＝xα，则16＝2α，∴α＝4，∴f(x)＝x4.
14．计算(lg－lg25)÷100－＝________.
[答案] －20
[解析] (lg－lg25)÷100－＝(lg)÷10－1＝－2×10＝－20.
15．(2013～2014学年度徐州市高一期中测试)已知a＝()，b＝()，c＝log2，则a，b，c从小到大的排列为____________．
[答案] c[解析] ∵函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，
∴()<()，又()>0，
c＝log216．已知函数f(x)满足①对任意x1[答案] f(x)＝2x(不惟一)
[解析] 由x1又f(x1＋x2)＝f(x1)·(x2)可知是指数函数具有的性质．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)如果(m＋4)－<(3－2m) －，求m的取值范围．
[解析] ∵幂函数f(x)＝x－的定义域是(0，＋∞)，且在定义域上是减函数．
∴0<3－2m∴－18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)计算下列各式的值：
(1)8－＋2log23＋0；
(2)(lg5)2＋lg2·lg50.
[解析] (1)原式＝(23) －(－1)＋3＋1
＝4－＋1＋3＋1＝9－.
(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)
＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝1.
19．(本小题满分12分)已知a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，求(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值．
[解析] (a＋1)－2＋(b＋1)－2
＝－2＋－2
＝－2＋－2＝2＋2
＝2＋2
＝×4＝.
20．(本小题满分12分)若－3≤x≤－，求f(x)＝·的最大值和最小值．
[解析] f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2＝2－.
又∵－3≤x≤－，∴≤log2x≤3.
∴当log2x＝时，f(x)min＝－；
当log2x＝3时， f(x)max＝2.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x2－1)＝logm(m>0，且m≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性．
[解析] (1)令x2－1＝t，则x2＝t＋1.
∵f(t)＝logm＝logm，
由>0，解得0∴－1∴f(x)＝logm(－1(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝logm＝logm()－1
＝－logm＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
22．(本小题满分14分)家用电器(如冰箱)使用的氟化物释放到大气中会破坏臭氧层．经测试，臭氧的含量Q随时间t(年)的变化呈指数函数型，满足关系式Q＝Q0·e－0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量．
(1)随时间t(年)的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失(参考数据：ln2≈0.693)?
[解析] (1)∵Q＝Q0·e－0.002 5t＝Q0·()0.002 5t，
又0<<1且Q0>0，
所以函数Q＝Q0·()0.002 5t在(0，＋∞)上是减函数．
故随时间t(年)的增加，臭氧的含量是减少的．
(2)由Q＝Q0·e－0.002 5t≤Q0，得
e－0.002 5t≤，即－0.002 5t≤ln，
所以t≥≈277，即277年以后将会有一半的臭氧消失．
第三章综合测试(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q等于( )
A．{3,0} B．{3,0,1}
C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}
[答案] B
[解析] ∵P∩Q＝{0}，∴0∈P,0∈Q，
∴log2a＝0，∴a＝1，∴b＝0.∴P∪Q＝{3,0,1}．
2．若3x＝2，则x等于( )
A．lg2－lg3 B．lg3－lg2
C． D．
[答案] D
[解析] ∵3x＝2，∴x＝log32＝ .
3．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b3 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18
[答案] C
[解析] 对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误，对于D，易知正确，故选C．
4．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>2}，B＝{y|y＝()x，x>0}，则A∩B＝( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(1，＋∞) D．?
[答案] D
[解析] ∵x>2，∴y＝log2x>log22＝1，
∴A＝{y|y>1}．
又∵x>0，∴y＝()x<1，
∴B＝{y|05．(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)根据表格中的数据，可以断定方程ex－x－2＝0的一个根所在区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝ex－x－2，
∴f(2)＝7.39－2－2>0，f(1)＝2.72－1－2<0，故选C．
6．(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知a＝0.70.8，b＝log20.8，c＝1.10.8，则a、b、c的大小关系是( )
A．aC．a[答案] B
[解析] 0.70.8<0.70＝1，又0.70.8>0，∴0<0.70.8<1.
log20.81.10＝1，∴b7．已知函数f(x)＝，则f[f()]＝( )
A．－ B．
C．－8 D．8
[答案] D
[解析] f()＝log3＝log33－3＝－3，
f[f()]＝f(－3)＝()－3＝8，故选D．
8．小王今年花费5 200元买了一台笔记本电脑．由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一，则三年后小王这台笔记本的价值为( )
A．5 200×()3元 B．5 200×()3元
C．5 200×()2元 D．5 200×()2元
[答案] B
[解析] 本题考查指数函数的应用．因为小王买笔记本电脑时的价格为5 200元，一年后还值5 200×元，再过一年还值5 200××元，三年后还值5 200×××＝5 200×()3元，故选B．
9．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为( )
A．{x|－11} B．{x|x<－1或0C．{x|x<－1或x>1} D．{x|－1[答案] D
[解析] ∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，从而函数f(x)的大致图象如图所示，则不等式x·[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－110．已知函数f1(x)＝ax，f2(x)＝xa，f3(x)＝logax(其中a>0，a≠1)，在同一直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是( )
[答案] B
[解析] A项，由幂函数的图象知a<0，与已知a>0不符；B项，由幂函数的图象知a>1，与对数函数的图象相符，正确；C项，由指数函数的图象知a>1，由对数函数的图象知01，矛盾．故选B．
11．给定函数①y＝x；②y＝ (x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] B
[解析] y＝x在定义域上是增函数，y＝ (x＋1)在定义域上是减函数，y＝|x－1|＝，
所以其在区间(－∞，1)上单调递减，y＝2x＋1在定义域上是增函数，故在区间(0,1)上单调递减的函数是y＝log(x＋1)，y＝|x－1|，故选B．
12．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1,1)、N(1,2)、P(2,1)、Q(2,2)、G(2，)中，可以是“好点”的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 设指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1)，对数函数g(x)＝logbx(b>0，b≠1)．
由指数函数的图象可知，f(x)的图象不过点M、P，
g(x)的图象不过点N，
∴点M、N、P一定不是“好点”．
若点Q是“好点”，则a2＝2，且logb2＝2，
∴a＝，b＝，故点Q是“好点”；
若点G是“好点”，则a2＝，logb2＝，
∴a＝，b＝4，故点G是“好点”．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2014～2015学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)函数f(x)＝＋log3(x＋1)的定义域是______________．
[答案] (－1,1)∪(1,4]
[解析] 由题意得，
∴－114．计算：＝________.
[答案] －1
[解析] 原式＝＝＝＝－1.
15．已知f(x)＝(a>0)，若f－1(x)的定义域是
，则f(x)的定义域是________．
[答案] [4,7]
[解析] f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，
∴≤≤.
又a>0，∴4≤x≤7.
∴f(x)的定义域为[4,7]．
16．下列说法中，正确的是____________．
①任取a>0，均有3a>2a，
②当a>0，且a≠1，有a3>a2，
③y＝()－x是增函数，
④在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．
[答案] ①④
[解析] ∵幂函数y＝xa，当a>0时，
在(0，＋∞)上是增函数，
∵3>2，∴3a>2a，故①正确；
当a＝0.1时，0.13<0.12，故②错；
函数y＝()－x＝()x是减函数，故③错；
在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x＝()x的图象关于y轴对轴，故④正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)计算下列各式的值．
(1)－2＋(1－)0＋；
(2).
[解析] (1)－2＋(1－)0＋＝＋1＋＝.
(2)
＝＝＝1.
18．(本小题满分12分)设f(x)＝，其中a是常数，且a>－1.判断函数f(x)的奇偶性．
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f(－x)＝＝＝.
若f(－x)＝f(x)，则＝，
∴2xa－1＝a－2x，解得a＝－1，而已知a>－1，
∴f(－x)＝f(x)不可能成立．
若f(－x)＝－f(x)，即＝－＝，
∴2xa－1＝2x－a，解得a＝1，符合题意，
则函数f(x)是奇函数．
综上可知，若a>－1，且a≠1，函数f(x)既不是奇函数也不偶函数，若a＝1时，函数f(x)为奇函数．
19．(本小题满分12分)(2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝log2|x|.
(1)求函数f(x)的定义域及f(－)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明．
[解析] (1)由|x|>0，得x≠0，
∴函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f(－)＝log2|－|＝log2＝.
(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(3)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明：设任意x1、x2∈(0，＋∞)，
且x1＝log2x2－log2x1
＝log2，
∵x1>0，x2>0，x1∴>1，∴log2>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
20．(本小题满分12分)要使函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上恒大于零，求a的取值范围．
[解析] 由题意，得1＋2x＋4xa>0在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a>－在x∈(－∞，1]上恒成立．
∵－＝－()2x－()x
＝－2＋，
又∵x∈(－∞，1]，∴()x∈[，＋∞)．
令t＝()x，
则f(t)＝－(t＋)2＋，t∈[，＋∞)．
∵f(t)在[，＋∞)上为减函数，
∴f(t)≤f()＝－(＋)2＋＝－，
即f(t)∈(－∞，－]．
∵a>f(t)，∴a>－.
故a的取值范围是(－，＋∞)．
21．(本小题满分12分)(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)已知定义在R上的奇函数f(x)＝.
(1)求实数m、n的值；
(2)判断f(x)的单调性，并证明．
[解析] (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴＝0，∴n＝1.
由f(－x)＝－f(x)，得＝，
∴＝，∴2＋m·2x＝m＋2x＋1，
即m＝2.
(2)函数f(x)在R上是减函数．
证明：由(1)知f(x)＝＝
＝－＋.
设任意x1∈R，x2∈R，且x1则Δx＝x2－x1>0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝.
∵x1∴0<2x1<2x2，2 x2＋1>0,2 x1＋1>0,2 x1－2 x2<0，
∴Δy<0，∴f(x)在R上是减函数．
22．(本小题满分14分)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份之间的函数关系式分别符合下列函数模型： f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2，(a1、a2、b1、b2∈R)．
(1)求f(x)、g(x)的表达式；
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)和g(x)在区间[1,5]上的草图，并根据草图比较今年1－5月份甲、乙两个工厂利润的大小情况．
[解析] (1)依题意：由，有，
解得：a1＝4，b1＝－4，
∴f(x)＝4x2－4x＋6；
由，有，解得：a2＝，b2＝5.
∴g(x)＝·3x＋5＝3x－1＋5.
∴f(x)＝4x2－4x＋6，g(x)＝3x－1＋5.
(2)作函数f(x)与g(x)(1≤x≤5)的草图如图：
从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1g(x)．
