(共18张PPT)
第2招
巧用构造法求几种特殊角的三角函数值
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
求tan 15°的值．
【解题秘方】
对于与特殊角存在倍数关系的角的三角函数值的计算，可用构造法构造相关图形，再求其三角函数值．
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD.
∵BD＝AB，∴∠D ＝∠BAD.
技巧 1 巧用15°角与30°角的关系构图计算15°角的三角
函数值
分 类 训 练
1 求sin 15°，cos 15°的值．
2 将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过
点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点
F处，再还原后，连接AE，AF.求67.5°
角的正切值．
技巧 2 巧用折叠法求67.5°角的三角函数值
3 求sin 18°，cos 72°的值．
【解】如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，
AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
过点A作AE⊥BC于点E，则∠BAE＝18°，
∠ABE＝72°.
技巧 3 巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°
角，72°角的三角函数值
4 求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．
【解法一】利用第1题的图形求解．易知∠CBD＝75°，
技巧 4 巧用75°角与30°角的关系构图求75°角的三角
函数值
【解法二】如图，作△ABD，使∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，延长BD到点C，使DC＝DA，连接AC，过点B作BE⊥AC于点E，则∠ACD＝∠DAC＝45°，∴∠BAE＝75°.(共25张PPT)
第5招
解直角三角形常见应用类型
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
【解题秘方】
求解是否触礁或是否受台风或噪声影响等问题的方法：一般都是求出暗礁中心到航线的距离，或城市中心(目标中心)到台风中心或噪声源的距离，将这些距离与暗礁半径或台风影响半径或噪声影响半径比较大小，距离小于或等于半径有危险或受影响，距离大于半径没有危险或不受影响．
(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC的长；(结果保留根号)
类型 1 一角一线型(构造一个直角三角形)
分 类 训 练
1 如图①是一种可折叠的台灯，图②是台灯的结构图，AC是可以绕点A旋转的支架，AB是可以绕点B旋转的支架，C为灯泡的位置，量得AB＝10 cm，AC＝20 cm，当AB⊥BF，∠CAB＝127°时，
求点C到BF的距离．(参考数
据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈
0.8，tan 37°≈0.75)
【解】如图，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则∠D＝90°，
∴∠DCA＝∠BAC－∠D＝127°－90°＝37°.
在Rt△ACD中，
AD＝AC×sin∠DCA≈20×0.6＝12(cm)，
∴点C到BF的距离为
DA＋AB＝12＋10＝22(cm)．
2 [2023·岳阳]2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20 m，且距地面高度AB为1.5 m，则气球顶部离地面的高度EC是________m(结果精确到0.1 m，sin 21.8°≈0.371 4，cos 21.8°≈0.928 5，
tan 21.8°≈0. 400 0)．
9.5
类型 2 一角两线型(构造一个直角三角形和一个矩形)
【点拨】
易知四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得到AB＝CD＝1.5 m，AD＝BC＝20 m，在Rt△AED中，DE＝AD·tan 21.8°≈20×0.400 0＝8(m)．∴EC＝ DE＋CD≈9.5 m.
3 黑匣子记录有船舶航行过程中的各种信息参数，船舶发生事故后，黑匣子能帮助技术人员分析船舶出现故障或失事的原因，打捞黑匣子是海难搜救中一项重要工作．
类型 3 两角一线型
【解】如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，交海面于点F.
根据题意得AB＝4 000 m，EF＝500 m，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，
∴∠ACB＝∠EBC－∠EAC＝30°＝∠EAC，
∴BA＝BC＝4 000 m.
4 2022年我国建成5G基站超60万个，5G建设跑出“中国速度”，某地有一个5G信号塔BE，小敏想用所学的数学知识测量信号塔BE的高度，如图，
类型 4 两角两线型
为了测量信号塔BE的高度，在地平面上点C处测得信号塔顶端E的仰角为55°，从点C向点A方向前进2 m到点D，从点D测得信号塔底端B的仰角为37°，已知楼房的高度AB为21 m．求信号塔BE的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 55°≈ 0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
类型 5 三角一线型
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
【解】由题意得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，
∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°.
∵∠ABC＝45°，
∴∠BCA＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°，
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°.
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．
【点拨】(共25张PPT)
第6招
二次函数的图象与系数的七种关系
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，有下列 结论：
①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；
③abc>0；④b＝2a.
其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题秘方】
根据二次函数的图象特征与字母系数之间的关系判断．
【解】
【答案】B
关系 1 a与图象的关系
分 类 训 练
1 在“探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中(如图)的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3)．
【点拨】
【答案】A
由题意知，只有经过点A，B，C和点A，B，D的二次函数图象开口向上，即a>0，故只需比较这两个函数中a的值即可．利用待定系数法建立方程组，解方程组即可．
2 [2023·厦门一中月考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，图象最高点落在y轴上，下列对b的取值正确的是( )
A．b＞0 B．b＜0
C．b＝0 D．b＝1
C
关系 2 b与图象的关系
3 当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＜”“＝”或“＞”)
＝
＜
＞
A
关系 3 c与图象的关系
5 若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位长度后得到的抛物线如图所示，则c＝______．
1
6 [2023·石家庄外国语学校期末]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表，下列结论错误的是( )
关系 4 a，b与图象的关系
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 …
A．a＜0
B．2a＋b＝0
C．当x＞1时，y的值随x的增大而增大
D．表中 盖住的数是0
【点拨】
【答案】C
关系 5 a，c与图象的关系
8 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．b＞0，c＞0
B．b＞0，c＜0
C．b＜0，c＜0
D．b＜0，c＞0
关系 6 b，c与图象的关系
B
9 [2023·东营]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.
关系 7 a，b，c与图象的关系
若点A的坐标为(－4，0)，则下列结论正确的是( )
A．2a＋b＝0
B．－4a－2b＋c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
D．点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上．当x1＞x2＞－1时， y1＜y2＜0
【点拨】
【答案】C
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，∴当x＞－1时，y随x的增大而增大．∴当x1＞x2＞－1时，y1＞y2，故D错误．故选C.
10 [2023·新疆]如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx＋n与抛物线y2＝ax2＋bx－3相交于点A，B.结合图象，判断下列结论：①当－2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的一个解；③若(－1，t1)，(4，t2)是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝
ax2＋bx－3，当－2＜x＜3时，y2的取值范
围是0＜y2＜5.其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】
由图象可知当－2＜x＜3时，直线y1＝mx＋n在抛物线y2＝ax2＋bx－3的上方，∴当－2＜x＜3时，y1＞y2，故①正确．由图象可知抛物线y2＝ax2＋bx－3与x轴交于点(3，0)，∴x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的一个解，故②正确．
【答案】B(共43张PPT)
第7招
求二次函数表达式的九种方法
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)，且过点P(2，0)，求这个二次函数的表达式．
【解题秘方】
结合已知条件设出顶点式，再将点P的坐标代入求解即可．
解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)，
∴可设这个二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3.
又∵函数图象过点P(2，0)，
∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.
∴这个二次函数的表达式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.
方法 1 利用一般式求二次函数表达式
分 类 训 练
1 [2023·牡丹江]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线对应的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)求△BCP的面积．
2 已知抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n，直线l：y2＝kx＋b，抛物线C的对称轴与直线l交于点A(－1，5)，点A与抛物线C的顶点B的距离是4.
(1)求抛物线C的表达式；
方法 2 利用顶点式求二次函数表达式
【解】∵抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n的对称轴与直线l： y2＝kx＋b交于点A(－1，5)，点A与抛物线C的顶点B的距离是4，
∴B(－1，1)或(－1，9)．
∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9，
即抛物线C的表达式为y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.
(2)若y2随着x的增大而增大，且抛物线C与直线l都经过x轴上的同一点，求直线l的表达式．
3 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，连接OE，D是抛物线的顶点．
方法 3 利用交点式求二次函数表达式
(1)求此抛物线的表达式；
(2)直接写出点C和点D的坐标；
【解】由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)和点B(3，0)，可知抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)，即y＝ －x2＋2x＋3.
C(0，3)，D(1，4)．
(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点的坐标．
【点技巧】
当遇到抛物线与x轴交于某两个点求抛物线表达式的问题时，设交点式可简便运算．
4 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3的图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．
方法 4 利用平移法求二次函数表达式
(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
【解】把点B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝ a＋4－3，解得a＝－1，
∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1. ∴A(2，1)．
易知抛物线的对称轴为直线x＝2，B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)．
根据图象可知，当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【解】易知点D的坐标为(0，－3)，∴要使点D恰好落在点A的位置上，则抛物线就要先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝－(x－4)2＋5.
5 [2023·南京外国语学校月考]已知一次函数y＝－2x＋c与二次函数y＝ax2＋bx－4的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴为直线x＝－1.
(1)请求出一次函数和二次函数的表达式；
【解】∵一次函数y＝－2x＋c的图象经过点A(1，－1)，
∴将点A(1，－1)的坐标代入一次函数y＝－2x＋c，
方法 5 利用对称轴求二次函数表达式
(2)直接写出二次函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围______________．
x＜－5或x＞1
6 [2022·南充]如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面.
安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水
柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水
柱落点距O点3 m，那么喷头高________
m时，水柱落点距O点4 m.
8
方法 6 利用图象中的信息求二次函数表达式
【点拨】
7 “兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
方法 7 利用表格信息求二次函数表达式
(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
通过对某只野兔一次跳跃中水平距离
x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)进
行的测量，得到以下数据：
水平距离x/m 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8
竖直高度y/m 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0
根据上述数据，回答下列问题：
①野兔本次跳跃的最远水平距离为________m，最大竖直高度为________m；
2.8
0.98
②求满足条件的抛物线的表达式；
【解】由①可知抛物线顶点坐标为(1.4，0.98)，
∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－1.4)2＋0.98，
将x＝0，y＝0代入y＝a(x－1.4)2＋0.98，得a(0－1.4)2＋0.98＝0，解得a＝－0.5，
∴抛物线的表达式为y＝－0.5(x－1.4)2＋0.98(0≤x≤2.8)
(2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为 3 m，最大竖直高度为1 m．若在野兔起跳点前方2 m处有高为0.8 m的篱笆，则野兔此次跳跃________(填“能”或“不能”)跃过篱笆．
能
8 [2023·徐州]如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y.
方法 8 利用几何建模求二次函数表达式
(1)求y关于x的函数表达式；
【解】∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，AE的长为x，∴AD＝4，AE＝DH＝x，∠A＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∴AH＝4－x，四边形EFGH为菱形．∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16.
(2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10
【解】当y＝10时，即2x2－8x＋16＝10，
解得x＝1或x＝3.
∴当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10.
(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解】存在．
∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，2＞0，
∴y有最小值，最小值为8，
即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8.
9 2023·深圳蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
方法 9 利用建立实际问题模型求二次函数表达式
如图①，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3 m，BC＝4 m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：
(1)如图②，抛物线AED的顶点E(0，4)，求抛物线的表达式；
(2)如图③，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长；
(3)如图④，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．(共27张PPT)
第8招
二次函数的七种解题技巧
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时两点均停止运动)，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为( )
A．19 cm2 B．16 cm2
C．15 cm2 D．12 cm2
【解题秘方】
用二次函数的性质解几何图形面积的最值问题的方法：通常先根据图形的特点，结合相关联的几何性质，运用“面积法”和“勾股法”建立有关等式，进而转化为函数关系式，再运用求函数最值的方法求解．
【解】
【答案】C
技巧 1 巧用二次函数的定义求字母的值
分 类 训 练
1 已知函数y＝(n2－1)x2＋(n2－2n－3)x－n－1.
(1)当n为何值时，y是x的一次函数？
(2)当n为何值时，y是x的二次函数？
【解】由题意得n2－1≠0，即n≠±1.
∴当n≠±1时，y是x的二次函数．
2 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标：
技巧 2 巧配方求抛物线的对称轴与顶点坐标
(2)y＝－4(x＋1)(x＋3)．
【解】y＝－4(x＋1)(x＋3)＝－4(x2＋4x＋3)＝－4(x2＋4x＋4－1)＝－4(x＋2)2＋4，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，4)．
3 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y(m)与它距离喷头的水平距离x(m)之间满足函数
关系式y＝－2x2＋4x＋1，则喷出水珠的
最大高度是________m.
3
技巧 3 巧用顶点式求二次函数的最值
4 已知抛物线y＝x2＋kx－k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是( )
A．－5或2 B．－5
C．2 D．－2
技巧 4 巧用二次函数图象的平移求字母的值
【点拨】
【答案】B
5 已知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，最高点到x轴的距离为6，且经过点(2，－8)，求此二次函数的表达式．
【解】设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k.由题意知二次函数的图象的顶点坐标为(1，6)或(1，－6)．
当顶点为(1，6)，即h＝1，k＝6时，将点(2，－8)的坐标代入y＝a(x－1)2＋6，得－8＝a(2－1)2＋6.
解得a＝－14，∴y＝－14(x－1)2＋6.
技巧 5 巧用待定系数法求二次函数的表达式
当顶点为(1，－6)，即h＝1，k＝－6时，将点(2，－8)的坐标代入y＝a(x－1)2－6，得－8＝a(2－1)2－6，解得a＝－2，
∴y＝－2(x－1)2－6.
∴此二次函数的表达式为y＝－14(x－1)2＋6或y＝－2(x－1)2－6.
技巧 6 巧用顶点坐标处理抛物线移动问题
【点拨】
易知抛物线y＝(x－m)2－m的顶点(m，－m)在直线 y＝－x上，随着m值的增大，抛物线沿直线y＝－x从左向右平移．当抛物线对称轴右侧部分经过点A时，m取最小值，将点A的坐标代入抛物线解得m1＝－1，m2＝2(舍去).
【答案】D
技巧 7 巧用二次函数解决最值问题
【点拨】
【答案】B
8 某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF∶BF＝3∶4，点G，H，F分别是边AB，AC，BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框
的材料总长为16米(图中所有黑线
的长度和)，设BF＝x米，
BE＝y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)？并计算窗户的最大面积．(共33张PPT)
第9招
根的判别式的八种应用
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋ (3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．
【解题秘方】
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：
1．不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判断根的情况；
2．根据方程根的情况，结合根的判别式来确定方程中待定字母的值或取值范围，若二次项系数中含有字母，则应注意检验二次项系数是否为零；
3．应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两个不等的实根、有两个相等的实根)．
证明：∵关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0是一元二次方程，
∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1>0.
∴方程总有两个不等的实数根．
(1)求证：方程总有两个不等的实数根；
解：∵x＝0是此方程的一个根，
∴把x＝0代入方程得到m(m＋1)＝0.
∴m＝0或m＝－1.
(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5
＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5
＝3m2＋3m＋5.
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．
把m＝0代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝5；
把m＝－1代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝3×1－3＋5＝5.
综上，原代数式的值为5.
应用 1 利用根的判别式判断不含字母系数的方程的根的
情况
分 类 训 练
1 判断下列方程的根的情况：
【解】Δ＝0，方程有两个相等的实数根；
(2)x2＋4x－1＝0；
(3)x2＋x＋2＝0.
【解】Δ＝20＞0，方程有两个不相等的实数根；
Δ＝－7＜0，方程无实数根．
2 已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
【解】∵x2－2x－m＝0没有实数根，
∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.
对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，
Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，
∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．
应用 2 利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况
【点方法】
由x2－2x－m＝0无实数根得出m<－1，从而得到方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的判别式的值－4m>4，故该方程有两个不相等的实数根．
3 若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
D
应用 3 利用根的判别式求方程的字母系数的值
应用 4 利用根的判别式求代数式的值
【点方法】
本题利用根的判别式求得m的值，再将m的值代入代数式求值即可．注意求得的m的值有两个，不要漏解．
5 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
应用 5 利用根的判别式确定三角形的形状
【解】△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.
∴a＋c－2b＋a－c＝0.
∴a－b＝0，即a＝b. ∴△ABC是等腰三角形．
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
【解】△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0. ∴4b2－4a2＋4c2＝0.
∴a2＝b2＋c2. ∴△ABC是直角三角形．
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
【解】如果△ABC是等边三角形，那么a＝b＝c.
当a＝b＝c时，原方程可整理为2ax2＋2ax＝0.
∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
(1)m为何值时， ABCD是菱形？并求出菱形的边长．
应用 6 利用根的判别式探求菱形的条件
(2)若AB的长为2，求 ABCD的周长．
7 [2022·无锡]把二次函数y＝x2＋4x＋m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：__________.
m>3
应用 7 利用根的判别式解二次函数图象与x轴的交点问题
8 在直角坐标系中，设函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a≠0)．
(1)若该函数的图象经过(1，0)和(2，1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)写出一组a，b的值，使函数y＝ax2＋bx＋1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；
【解】(答案不唯一)例如a＝1，b＝3，
此时y＝x2＋3x＋1.
理由：∵对于一元二次方程x2＋3x＋1＝0，
Δ＝32－4＝5＞0，
∴函数y＝x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点．
(3)已知a＝b＝1，当x＝p，q(p，q是实数，p≠q)时，该函数对应的函数值分别为P，Q，若p＋q＝2，求证：P＋Q＞6.
【证明】由题意得P＝p2＋p＋1，Q＝q2＋q＋1，
又∵p＋q＝2，∴P＋Q＝p2＋p＋1＋q2＋q＋1＝p2＋q2＋4＝(2－q)2＋q2＋4＝2(q－1)2＋6.
由条件p＋q＝2，p≠q知q≠1，∴P＋Q＞6.
(1)求m的值；
应用 8 利用根的判别式解二次函数图象与一次函数图象
的交点问题
【解】由(1)可知y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.
如图所示．
变化后图象的表达式为y＝－(x＋2)2＋
2＝－x2－4x－2.
(3)在(2)的条件下，当直线y＝2x＋n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2－4n的最大值和最小值．
令y′＝n2－4n＝(n－2)2－4，
∴当n＝2时，y′的值最小，最小值为－4；
当n＝7时，y′的值最大，最大值为21.
∴n2－4n的最大值为21，最小值为－4.
【点方法】
(1)由题意知Δ≥0，列出不等式求解即可；
(2)画出关于x轴对称、平移后的图象，根据顶点坐标即可写出表达式；
(3)首先确定n的取值范围，再利用二次函数的性质解决问题．(共29张PPT)
第10招
根与系数的关系的十一种应用
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
已知关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0.
(1)若方程有实数根，求a的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1＋x2＋x1x2＝3？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【解题秘方】
1. 对于二次项系数含有字母的方程，当方程未指明是一元二次方程或有两个根时，必须将方程按二次项系数为0和不为0两种情况进行分类讨论；
2. 解答与一元二次方程有关的存在性问题，一般先假设存在，根据根与系数的关系列出关于字母系数的方程，求出字母系数的值，再看它是否满足根的判别式大于或等于零，最后确定字母值的存在性．
解：当a＝5时，方程为－4x－1＝0，方程有实数根；
当a≠5时，方程为一元二次方程，
Δ＝16＋4(a－5)＝4a－4≥0，解得a≥1.
∴a的取值范围为a≥1.
(1)若方程有实数根，求a的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1＋ x2＋x1x2＝3？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
应用 1 已知方程一根，求另一根及待定系数
分 类 训 练
1 已知关于x的方程x2＋kx－6＝0的一根为2，求方程的另一根及k的值．
2 若x1，x2是方程x2－4x－2 023＝0的两个实数根，求代数 式x12－2x1＋2x2的值．
【解】∵x1，x2是方程x2－4x－2 023＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝4，x12－4x1－2 023＝0，即x12－4x1＝2 023.
则原式＝x12－4x1＋2x1＋2x2＝x12－4x1＋2(x1＋x2)＝ 2 023＋2×4＝2 023＋8＝2 031.
应用 2 已知方程，求有关两根的代数式的值
应用 3 已知两方程，求含两未知数的代数式的值
4 已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0的两根的平方和小于5，求k的取值范围．
应用 4 已知方程，求字母系数的取值范围
【点易错】
本题容易忽略Δ≥0这个条件，做题时要注意一元二次方程有根的条件．
5 [2023·天津一中月考]关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
【解】∵关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2－m)＝4m≥0，
∴m≥0.
应用 5 已知方程，求字母系数的值
6 不解方程，判断方程2x2＋3x－7＝0两个根的符号．
应用 6 已知方程，判断根的符号
【点思路】
7 已知－1和3是某个关于x的一元二次方程的两个根，且方程中二次项系数为1，请写出这个方程．
【解】设这个方程为x2＋ax＋b＝0.
由已知得－1＋3＝－a，－1×3＝b，
∴a＝－2，b＝－3.
∴这个方程为x2－2x－3＝0.
应用 7 已知两根，求一元二次方程
8 已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9.求证：x＝y.
【证明】由题意知x＋y＝6，xy＝z2＋9，
∴x，y是关于t的一元二次方程t2－6t＋z2＋9＝0①的两个实根，
∴Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，∴z＝0，∴Δ＝0.
故方程①有两个相等的实数根，∴x＝y.
应用 8 结合根的判别式证明等式
【点方法】
本题关键是构造以x，y为两个实根的一元二次方程，利用判别式即可证得x＝y.
应用 9 结合根的判别式证明不等式
【证明】由题知bc＝a2－a＋1，
b＋c＝2a2－2bc＋2＝2a.
∴b，c是关于t的一元二次方程t2－2at＋a2－a＋1＝0的两个实根．
∴Δ＝4a2－4(a2－a＋1)≥0，解得a≥1.
10 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
【解】∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，
解得m≤4.
应用 10 结合一元二次方程求抛物线与x轴两交点间的距离
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x轴的两个交点间的距离．
【解】∵方程的两实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝4.
又∵5x1＋2x2＝2，∴x1＝－2，x2＝6.
∴二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x轴的两个交点间的距离为|x1－x2|＝|－2－6|＝8.
11 已知关于x的二次函数y＝x2－(2k－1)x＋k2＋1的图象与x轴有两个交点．
(1)求k的取值范围；
应用 11 结合抛物线求字母的值
【点方法】
本题利用数形结合思想将抛物线与一元二次方程结合，利用根的判别式和根与系数的关系求解．(共22张PPT)
第11招
巧用圆的基本性质解圆的五种关系
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
【解题秘方】
利用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系证明即可．
(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
关系 1 弦、弧之间的关系
分 类 训 练
【点方法】
在同圆或等圆中，等弦对等弧，等弧对等弦(劣弧等劣弧，优弧等优弧)．
2 [2023·广西]如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝40°.则∠AOB的度数是( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
D
关系 2 圆周角、圆心角之间的关系
3 如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA.求证：∠COB＝∠COA.
4 [2023·枣庄]如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( )
A．32°
B．42°
C．48°
D．52°
关系 3 弧、圆周角之间的关系
【点拨】
【答案】A
5 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.
(1)求证：AD＝AN；
6 如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，EC之间的数量关系，并说明理由．
关系 4 弦、圆心角之间的关系
【解】BD＝DE＝EC.理由如下：
如图，连接OD，OE.
∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°，
∴△BOD与△COE都是等边三角形．
∴∠BOD＝∠COE＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.
∴∠BOD＝∠DOE＝∠COE. ∴BD＝DE＝EC.
【点方法】
本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD，OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．
7 空投物资用的某种降落伞(如图①)的轴截面如图②，△ABG是等边三角形，C，D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG，DG分别交AB
于点E，F.试判断点E，F分别位于
线段AB的什么位置，并证明你的
结论．
关系 5 弦、弧、圆心角之间的关系
【解】点E，F分别位于线段AB的三等分点处．
证明：如图，连接OC，设半圆O的半径是r，则AB＝2r.(共22张PPT)
第13招
巧用勾股定理解决圆的计算问题
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O的半径．
【解题秘方1】
连半径，利用圆周角与圆心角之间的关系说明半径与弦构成直角三角形，再结合勾股定理求解．
【解题秘方2】
作直径，利用直径所对的圆周角是直角说明直径与弦构成直角三角形，再结合勾股定理求解．
技巧 1 直接运用勾股定理计算
分 类 训 练
1 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E.若OC＝5，OE＝3，求CD的长．
2 如图，半径OC⊥弦AB于点D.若CD＝3，BC＝5，求⊙O的半径．
技巧 2 运用“单勾股”列方程
技巧 3 运用“双勾股”列方程
4 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AB⊥CD， AE＝2，BE＝6，CE＝4.求⊙O的半径．
技巧 4 作垂直于弦的直径构造直角三角形
【解】如图，过点O作OH⊥BC于点H，则BC＝2BH.
∵DE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°.
∵BC∥OD，
∴∠DOE＝∠OBH.
6 如图，直线l经过圆心O，交⊙O于A，B两点，弦CD所在直线交直线l于点P，PA＝2，PB＝14，∠DPB＝30°.求CD的长．
【解】如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，
则CD＝2DE.
∵PA＝2，PB＝14，
∴AB＝12.
∴OA＝OB＝OD＝6.
∴OP＝8.(共26张PPT)
第14招
与圆的切线有关的计算与证明的常见类型
北师版 九年级下
例
典 例 剖 析
如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.
【解题秘方】
看到切线，就想作过切点的半径；看到直径，就想直径所对的圆周角是直角；看到判定切线，就想：
1．若已知直线与圆有公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接这点与圆心，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：连半径，证垂直；
2．若未知直线与圆有公共点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：作垂直，证半径．
解：连接CD，如图所示．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.
∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10.
(1)若AD＝DB，OC＝5，求AC的长．
(2)求证：DE是⊙O的切线．
类型 1 求角的大小
分 类 训 练
1 [2023·眉山]如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为( )
A．25° B．35°
C．40° D．45°
【点拨】
【答案】C
连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°－∠O＝40°.
2 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之”．意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正
方形一角的两边均相切)”，
如图所示．
类型 2 求古代算术中的线段长
问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为__________丈．
【点拨】
3 [2022·岳阳]如图，在⊙O中，AB为直径，AB＝8，BD为弦，过点A的切线与BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点(不与点B重合)，且OE＝DE.
类型 3 求线段长度(比值)
【点拨】
4 [2023·孝感]如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F.
类型 4 证明线段相等
(1)求证：AB＝AC；
【证明】如图，连接OD.
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE.
∵DE⊥AC，∴OD∥AC.
∴∠C＝∠ODB.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
(2)若AE＝3，DE＝6，求AF的长．
【解】如图，连接DF，DA，
∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠F＝∠C.∴DF＝DC.
∵DE⊥CF，∴FE＝EC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝90°.
∵DE⊥AC，∴∠C＋∠CDE＝90°，∠AED＝90°.
∴∠C＝∠ADE，∠AED＝∠CDA＝90°.
∴△DAE∽△CDE.
∴DE∶CE＝AE∶DE.
∵AE＝3，DE＝6，∴6∶CE＝3∶6.
∴CE＝12.∴EF＝EC＝12.∴AF＝EF－AE＝12－3＝9.
5 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E.
类型 5 证明线段垂直
(1)求证：∠ABC＝∠CAD.
【证明】∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC.
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD.
(2)求证：BE⊥CE.
【证明】如图，连接OC.
∵CE与⊙O相切于C，∴∠OCE＝90°.
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD＋∠DBC＝180°.
∵∠DBC＋∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE.
∵∠ABC＝∠CAD，∴∠CBE＝∠ABC.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.
∴∠OCB＝∠CBE.∴OC∥BE.
∴∠E＝180°－∠OCE＝90°.∴BE⊥CE.
(3)若AC＝4，BC＝3，求DB的长．
