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2024年北师大版数学九年级下册第一次月考试题
一、单选题(共6题；共12分)
1．（2分）如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）已知Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．tanB=
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）如图，某地修建高速公路，要从 地向 地修一条隧道（点 在同一水平面上）.为了测量 两地之间的距离，一架直升飞机从 地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角 为 ，则 两地之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D.若DE＝3，则BF＝（ ）.
A．4 B．3 C．2 D．
6．（2分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点，处，且经过点B，EF为折痕，当⊥CD时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共6题；共12分)
7．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b，c，a＝3，c＝5，则tanB＝ .
8．（2分）计算： ﹣（π﹣3）0﹣10sin30°﹣（﹣1）2017+ = ．
9．（2分）已知sinA= ，则锐角∠A= .
10．（2分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为 米.
11．（2分）如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1： ，大楼底端B到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝ 米．
12．（2分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC= ．
三、计算题(共2题；共13分)
13．（8分）计算：
（1）（4分） ．
（2）（4分）
14．（5分）计算：
四、解答题(共3题；共18分)
15．（4分）已知 ，且0°＜α＜45°，求sinα的值．
16．（4分）西安市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教学楼的顶部（如图所示），小华想测量宣传牌的高AB，首先，他站在地面上的点D处，测得宣传牌底端B的仰角 的度数，然后沿DM方向走到点F处，此时，测得宣传牌顶端A的仰角 的度数，竟然发现 ，已知A，B，M三点共线， ， ， ， ， ， ，教学楼的高 ，试求宣传牌的高AB.
17．（10分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，如图，对称轴垂直于地面的支杆所在直线，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得点A、D、E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，．
（参考数据：，）
（1）（5分）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；
（2）（5分）下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度．（结果精确到0.1m）．
五、作图题(共1题；共7分)
18．（7分）如图，在4×4的方格纸MNOP中，请在所给网格中按要求画格点四边形（顶点都在格点上，且均不与点M，N，O，P重合）.
（1）（3分）在图1中画格点四边形ABCD，使点A，B，C，D分别落在MN，NO，OP，PM上，且对角线AC＝BD，AC不垂直BD.
（2）（4分）在图2中画格点四边形EFGH，使点E，F，G，H分别落在MN，NO，OP，PM上，设它的两条对角线的夹角为α，且tanα＝2.
六、综合题(共3题；共40分)
19．（10分）如图，在 中， 是BC边上的高， ， ， .
（1）（5分）求线段 的长度：
（2）（5分）求 的值.
20．（10分）如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的．点A、B、C、D均在方格纸的格点(即图中小正方形的顶点)上，线段AB与线段CD相交于点E．设图中每个小正方形的边长均为1．
（1）（5分）求证：AB⊥CD；
（2）（5分）求sin∠BCD的值．
21．（20分）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF。已知AD=3 ，CD=3，设CP的长为x。
（1）（10分）线段PB的最小值 ，当x=1时，∠FBP=
（2）（5分）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度。
（3）（5分）当点P在运动的过程中，试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；若改变，请说明理由。
七、实践探究题(共1题；共8分)
22．（8分）廊坊某初中数学兴趣小组为测量路灯高度，设计了如下方案，请据此求出路灯高度.
主题 测量路灯高度
工具 测角仪、皮尺等
人员 组长：xxx；组员：xxx、xxx、xxx
示意图
方案 在路灯前选一点P，并测出，然后把说明竖直竹竿在的延长线上左右移动到某处，地面，地面处，并测出.
数据 ，，，，
评价
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：cosα= = = ．
故答案为：D．
【分析】根据余弦三角函数的定义及等角的同名三角函数相等进行判断即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：如图：
∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB＝ ，
A、sinA＝ ，故此选项错误；
B、cosA＝ ，故此选项错误；
C、tanA＝ ，故此选项错误；
D、tanB＝ ，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
3．【答案】A
【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，
根据正切的定义知：
tanB=.
故选A.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=800米，
∵tan∠ABC= ，
∴AB (米)，
故答案为：D.
【分析】由题意知∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=800米，由tan∠ABC= ，即可求解.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：连接AF，如图，
∵AB=AC，∠BAC=120°.
∴∠B=∠C=30°，
∵ED垂直平分AC，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠AFD=60°，∠D=30°，
∴∠BAF=90°，
在Rt△AED中，AE= ED= ，
在Rt△AEF中，EF= AE=1，AF=2EF=2，
在Rt△ABF中，BF=2AF=4.
故答案为：A.
【分析】连接AF，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠C的度数，利用垂直平分线的性质可证得FA=FC，可求出∠FAC的度数；由此可求出∠BAF的度数，在Rt△AED中，利用解直角三角形求出AE的长，在Rt△AEF中利用解直角三角形求出EF的长，可得到AF的长；在Rt△ABF中，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可求出BF的长.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：延长DC和，两延长线相交于点G，
∵菱形ABCD，∠A＝60°，
∴∠A＝∠DCB＝60°，AB＝BC＝DC
∴∠BCG＝180°－60°＝120°，
∵将纸片折叠，点A，D分别落在点处，且经过点B，EF为折痕，
∴∠D＝∠F＝120°，DF＝F
∵F⊥DC，
∴∠FG＝90°，
∴∠G＝90°－60°＝30°
∴∠CBG＝180°－∠G－∠BCG＝180°－30°－120°＝30°
∴∠CBG＝∠G
∴BC＝CG，
设CF＝x，DF＝y，则DC＝CG＝x＋y
∴FG＝2x＋y，
在Rt△FG中，
.
故答案为：A.
【分析】延长DC和，两延长线相交于点G，由菱形的性质可得∠A＝∠DCB＝60°，AB＝BC＝DC，利用邻补角的定义可得∠BCG＝120°，由折叠的性质可得∠D＝∠F＝120°，DF＝F，易求∠CBG＝∠G，可得BC＝CG，设CF＝x，DF＝y，则DC＝CG＝x＋y，FG＝2x＋y，在Rt△FG中，由可求出，从而求出的值.
7．【答案】
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴
则tanB＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据勾股定理求出b，根据正切的定义计算，得到答案.
8．【答案】1
【解析】【解答】解： ﹣（π﹣3）0﹣10sin30°﹣（﹣1）2017+
=2﹣1﹣10× ﹣（﹣1）+4
=1﹣5+1+4
=1
故答案为：1．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
9．【答案】30°
【解析】【解答】∵sinA= ，∠A为锐角，
∴∠A=30°，
故答案为：30°.
【分析】利用特殊角的三角形函数值进行解答即可.
10．【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tanα＝ ，
∴AB＝ ＝ （米）.
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，由tanα＝ 即可求出AB的长.
11．【答案】（25﹣5 ）
【解析】【解答】解：过C作CH⊥DE交ED的延长线于H，
在Rt△CDH中，
∵tan∠DCH＝ ＝1： ，
∴∠DCH＝30°，
∵CD＝10米，
∴DH＝ CD＝5（m），CH＝ CD＝5 （m），
∴BH＝BC+DH＝（30+5 ）（m），
过E作EF⊥AB于F，
则EF＝BH＝（30+5 ）m，BF＝EH，
在Rt△AEF中，∠AEF＝45°，
∴AF＝EF＝（30+5 ）m，
∵AB＝60m，
∴BF＝EH＝（30﹣5 ）m，
∴DE＝EH﹣DH＝（25﹣5 ）（m）
故答案为：（25﹣5 ）m．
【分析】过C作CH⊥DE交ED的延长线于H，在Rt△CDH中，根据三角形函数的定义得到∠DCH＝30°，求得DH＝ CD＝5（m），CH＝ CD＝5 （m），得到BH＝BC+DH＝（30+5 ）（m），过E作EF⊥AB于F，根据直角三角形性质和矩形的性质即可得到结论。
12．【答案】
【解析】【解答】解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，AB∥CD，
∴∠1=∠A′．
在△ABE和△A′CE中，
．
∴△ABE≌△A′CE（AAS）．
∴AB=A′C=4．
∵E为边BC的中点，
∴BE=EC= BC=2．
∴AE= ．
∴sin∠1= ．
∴sin∠A′= ．
∵AE⊥MN，
∴∠A′FN=90°．
∴∠A′+∠2=90°．
∴cos∠2=sin∠A′= ．
∵FN=FC，FH⊥CN，
∴NH=CH= CN．
设NH=x，则NC=2x．
∴A′N=A′C+NC=4+2x．
在Rt△FHN中， ，
∴FN= x．
在Rt△A′FN中，cos∠2= ，
∴ ．
∴x= ．
∴FC=FN= x= ．
故答案为： ．
【分析】延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，先证明△ABE≌△A′CE，可得AB=A′C=4，利用勾股定理求出AE的长，进而求出sin∠A′.利用互为余角的三角函数关系，求出cos∠2的值，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cos∠2的值列出方程，即可求出结论.
13．【答案】（1）解： ，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
．
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接计算即可。
14．【答案】解：，
．
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
15．【答案】解：∵ ，
∴（sinα+cosα）2= ，即sin2α+cos2α+2sinα cosα= ，
而sin2α+cos2α=1，
∴2sinα cosα= ，
∴1﹣2sinα cosα= ，即sin2α+cos2α﹣2sinα cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2= ，
∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜cosα，
∴sinα﹣cosα=﹣ ，
而 ，
∴2sinα= ，
∴sinα= ．
【解析】【分析】把已知条件两边平方得到sin2α+cos2α+2sinα cosα= ，再利用sin2α+cos2α=1，则2sinα cosα= ，所以sin2α+cos2α﹣2sinα cosα= ，即（sinα﹣cosα）2= ，当0°＜α＜45°，sinα＜cosα，于是sinα﹣cosα=﹣ ，加上 ，利用加减法即可求得sinα．
16．【答案】解：如图：延长CE交BM于G，
∵ ， ， ，
∴四边形EFMG为矩形
∴EG=FM=13.4m、CG=DM=15.2m、GM=EF=CD=1.6m
∴BG=BM-GM=15m-1.6m=13.4m
∴BG=EG，
∵CG⊥BM
∴∠2+∠EAB=90°
∵
∴∠1=∠EAB
在△CGB和△AGE中
∴△CGB≌△AGE（AAS）
∴AG=CG=15.2m
∴AB=AG-BG=15.2m-13.4m=1.8m.
【解析】【分析】延长CE交BM于G，由题意根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形EFMG为矩形，
由矩形的对边相等可得EG=FM， GM=EF=CD，结合已知用角角边可证△CGB≌△AGE，由全等三角形的对应边相等可得AG=CG，再根据线段的构成AB=AG-BG可求解.
17．【答案】（1）解：由题意得：是轴对称图形，
，，
，，
（m），
，
答：遮阳宽度约为3.6m．
（2）解：如图，设点E下降到点，过点E作于点M，过点作于点N，
则四边形和四边形都是矩形，
，，，，
，即，
当时，，
当时，，则．
18．【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）.
（2）解：如图2中，四边形EFGH即为所求作（答案不唯一）.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，先确定AC的一个长度，再确定等长的BD，后顺次连接即可；（2）先确定EG的一个长度，再根据三角函数的定义，确定另一长度
19．【答案】（1）解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sinB= ，AD=12，
∴AB=15，
∴BD= ，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5
（2）解：由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC= ，
∴cosC=
【解析】【分析】（1）根据sinB= 求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD；
（2）先利用勾股定理算出AC的长，再利用三角函数的定义，求出cos∠C的值即可.
20．【答案】（1）证明：如图，
， ， ，
，
，
又 ，
，
，
；
（2）解：在 中， ， ，
，
同理， ，
，
，
，
解得 ，
．
【解析】【分析】（1）证明 ，可得 ，根据同角的余角相等可得结论；（2）根据勾股定理先计算 和 的长，根据面积法可得 的长，最后由三角函数定义可得结论．
21．【答案】（1）；30°
（2）解： 如图，
∵ 四边形ABCD是矩形， P是AC的中点，∠ACB=30°，
∴AP=BP，∠BAC=90°-∠ACB=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB=∠ABP=60°，BP=AB=3，
在Rt△BAF和Rt△BPF中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△BPF，
∴AF=PF，∠ABF=∠PBF=30°，
∴BF垂直平分AP，
∴∠PGF=90°，
∵H为PF的中点，
∴GH=PF，
在Rt△BPF中，，
∴PF=3×，
∴GH=PF=；
（3）解： 不变，∠FBP=30° ，理由如下：
过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，
则∠BMP=∠PNF=90°，
∵ PF⊥PB，
∴∠BPM+∠FPN=90°，
∵∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠FPN=∠PBM，
∴△PNF∽△BMP，
∴，
设PC=x，
∴PM=PC=x，CM=x，
∴PN=MN-PM=3-x，BM=BC-CM=，
∴，
∴∠FBP=30°.
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC=，
当BP⊥AC时， 线段PB的值最小，
∴，
∴BP=，
∴ 线段PB的最小值时，
如图，过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，
则∠BMP=∠PNF=90°，MN=CD=3，
∵∠ABC=90°，AB=CD=3，BC=AD=3，
∴，
∴∠ACB=30°，
∵PC=1，
∴PM=PC=，CM=，
∴PN=MN-PM=3-=，BM=BC-CM=，
∵ PF⊥PB，
∴∠BPM+∠FPN=90°，
∵∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠FPN=∠PBM，
∴△PNF∽△BMP，
∴
∴，
∴∠FBP=30°；
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据垂线段最短得出当BP⊥AC时， 线段PB的值最小，根据等积法即可求出BP的值；当x=1时，过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，证出△PNF∽△BMP，求出，即可得出∠FBP=30°；
（2）先证出BF垂直平分AP，求得PF=，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出GH=PF，即可得出 线段GH的长度；
（3）过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，证出△PNF∽△BMP，设PC=x，求出PM，CM，PN，BM的长，再根据锐角三角函数的定义得出，即可得出∠FBP=30°.
22．【答案】解：∵，，，
∴.在和中，
，
∴.∵，，
∴，即.
【解析】【分析】根据示意图，结合已知数据，发现一组对应角相等都是直角，一组对应边相等都是3米，且 和互余，根据同角的余角相等定理可以推导出另一组对应角相等，故符合ASA或者AAS定理可判定两三角形全等，根据全等的性质可推导出AB的长。
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试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
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) (
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的
[
条码粘贴处
]
的方框内
3
、
选择题必须使用
2B
铅笔填涂；非选择题必须用
0.5
毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5
、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6
、填涂样例
正确
[
■
]
错误
[
--
][
√
] [
×
]
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
7.答：
8.答：
9.答：
10.答：
11.答：
12.答：
13.1.答：
13.2.答：
14.答：
15.答：
16.答：
17.1.答：
17.2.答：
18.1.答：
18.2.答：
19.1.答：
19.2.答：
20.1.答：
20.2.答：
21.1.答：
21.2.答：
21.3.答：
22.答：
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