03-024字年度弟二字期3月份质量监测
高一数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并
交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.
sin21°cos39°+cos21°sin39°=
A-9
B.9
C.
D克
2.
若向量a=(反，)，b=(-1,2),则a(a-b)=
A.3
B.2
C.-3
D.-2
3.
已知cosa=-号，ae受，则cos肾-a)=
A.将
B.3
5
c.-5
5
D.将
4.
已知A(-1,-2),B(3,8),若B=24AC,则点C的坐标为
A.(-1,3)
B.(-1,2)
C.(0,2)
D.(1,3)
5.在平行四边形ABCD中，BD=
A.2AB-AC
B.248+C
C.-24B+AC
D.-2AB-AC
6.sin20°cos20°-cos225°=
A.1
B.
C.-1
D.
数学试卷第(1)页共4页
著巴金枉
7.已知非零向量a,b满足bl=2a=la-l,则a与b的夹角的余弦值为
A.
d
B.
C.-2
4
D.4
8.设R(xy),乃(x2,2)为直线1上的两个不同的点，则B=(:-x片-)，我们把
与向量PE垂直的非零向量称为直线1的法向蛩.如果直线1经过点P(1,2),且它的一
个法向量是(3，-1)，则点A(3,2)到直线1的距离为
A.2
B.3w10
C.2/10
D.o
5
5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题中，正确的是
A.若H=l,则a=b
B.若a=b,则a∥b
C.若a⊥b,则a+b=a-
D.若ac=bc,则a=b
10.下列等式中，成立的是
A.√1-sin40°=cos20°-sin20°
B.V1-cos40°=2cos20°
c.}片s=5
D.sin45°cos20°-sin65o
cos450c0s20-c0s650=-l
11.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d=1km.一艘游船从南岸码头A点出发航
行到北岸.已知游船在静水中的航行速度1的大小为=20kh,水流速度2的大
小为2=4kmh.设1和2的夹角为0(0°<0<180°).
A.当船的航行时间最短时，8=90°
B.当船的航行距离最短时，c0s0=-月
C.当0=30°时，船的航行时间为12分钟
D.当0=120时，船的航行距离为五km
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个与向量a=(2,1)垂直的单位向量
13.己知向贷e,e,是平面内的-组基底，丽=3g+2e,AC=g-e2,AD=5,-4e2:
若B,C,D三点共线，则1=
数学试卷第(2）)页共4页
用扫指全王2023-2024 学年度第二学期 3 月份质量监测
高一数学参考答案与评分建议
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1． sin 21°cos 39° cos 21°sin 39°
A 3． B 3． C． 1 D． 1
2 2 2 2
【答案】B
2． 若向量 a 2 ，1 ， b 1， 2 ，则 a a b
A．3 B． 2 C． 3 D． 2
【答案】A
3． 已知 cos 3 ， ( ， )，则 cos( )
5 2 4
A． 2 B． 3 C． 3 D． 2
10 5 5 10
【答案】A
4． 已知 A 1， 2 ， B 3，8 ，若 AB 2AC ，则点C 的坐标为
A． 1，3 B． 1，2 C． 0，2 D． 1，3
【答案】D
5． 在平行四边形 ABCD 中， BD
A． 2AB AC B． 2AB AC C． 2AB AC D． 2AB AC
【答案】C
6． sin 20°cos 20° cos2 25°
1 1
A．1 B． 2 C． 1 D．
2
【答案】D
7． 已知非零向量 a， b满足 b 2 a a b ，则 a与 b的夹角的余弦值为
A 2
1 1
． B． 4 C
2
． D．
4 4 4
【答案】B
数学参考答案与讲评建议 第（1）页 共 7 页
{#{QQABbQCUgggoAJJAARgCEQFCCkIQkAEACKoOBAAAsAAAiRNABAA=}#}
8． 设 P x ，y l PP x x ，y y 1 1 1 ，P2 x2 ，y2 为直线 上的两个不同的点，则 1 2 2 1 2 1 ，我们把
与向量 P1P2 垂直的非零向量称为直线 l 的法向量．如果直线 l 经过点 P 1，2 ，且它的
一个法向量是 3， 1 ，则点 A 3，2 到直线 l 的距离为
A． 2 B． 3 10 C． 2 10 D． 10
5 5 5
【答案】B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9． 下列命题中，正确的是
A．若 a b ，则a b B．若a b，则a∥b
C．若a b，则 a+ b a b D．若a c b c，则a = b
【答案】BC
10．下列等式中，成立的是
A． 1 sin 40 cos 20 sin 20 B． 1 cos 40 2cos 20
C．1 tan15 3 D． sin 45 cos 20 sin 65 1
1 tan15 cos 45 cos 20 cos65
【答案】ACD
11．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度 d 1 km．一艘游船从南岸码头 A 点出发航
行到北岸．已知游船在静水中的航行速度 v1 的大小为|v1|＝20 km/h，水流速度 v2的大
小为|v2|＝4 km/h．设 v1和 v2 的夹角为 θ ( 0° < θ < 180° )．
A．当船的航行时间最短时， 90
B．当船的航行距离最短时， cos 1
5
C．当 30 时，船的航行时间为 12 分钟 v1
θ
D．当 120 时，船的航行距离为 7 km
2 A v2
【答案】AB
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．写出一个与向量 a = 2，1 垂直的单位向量 ．
数学参考答案与讲评建议 第（2）页 共 7 页
{#{QQABbQCUgggoAJJAARgCEQFCCkIQkAEACKoOBAAAsAAAiRNABAA=}#}
【答案】 5 ，2 5 或 5 ， 2 5 （写出一个即可） 5 5 5 5
13．已知向量 e1 ，e2 是平面内的一组基底， AB 3e1 2e2 ， AC e1 e2 ， AD 5e1 4e2 ．
若 B，C，D三点共线，则 ．
【答案】4
14．设 A，B，C，D为平面内四点，已知 AB 2， AC 1，AB，AC 的夹角为60 ，M 为 AB
的中点， | MD | 1，则 AC AD 的最大值为 ，此时 AD ．
（第一空 2 分，第二空 3 分）
【答案】 3 ， 3
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知平面内的三个向量 a 3，2 ， b 1，2 ， c 4，1 ．
（1）若 a kc ∥ b c ，求实数 k 的值；
（2）若 a kc b c ，求实数 k 的值．
【解析】（1）a kc (3，2) k (4，1) (4k 3，k 2) ， …… 2 分
b c ( 1，2) (4，1) (3，3) ， …… 4 分
因为 a kc ∥ b c ，所以3(4k 3) 3(k 2) 0 ，
解得， k 1 ． …… 7 分
3
（2） b c ( 1，2) (4，1) ( 5，1)， …… 9 分
因为 a kc b c ，所以 5(4k 3) (k 2) 0 ，
解得， k 13 ． ……13 分
19
16．（15 分）
已知 a 2 ， b 7 ， a b 2a b 2．
（1）求 a b ；
（2）求向量 a与 a b的夹角．
数学参考答案与讲评建议 第（3）页 共 7 页
{#{QQABbQCUgggoAJJAARgCEQFCCkIQkAEACKoOBAAAsAAAiRNABAA=}#}
【解析】（1）因为 a 2 ， b 7 ，
所以 a b 2a b 2a 2 a b b2 8 a b 7 1 a b = 2 ，
解得， a b = 1． …… 4 分
所以 a 2b (a b)2 a2 2a b + b2 4 2 ( 1) 7 9 ，
所以 a b 3． …… 8 分
（2）a (a b) a2 a b = 4 1 3． ……10 分
设向量 a与 a b的夹角为 0 ≤ ≤180 ，则
a a + b 3
cos 1 ． ……132 3 2 分 a a + b
因为0 ≤ ≤180 ，所以 60 ． ……15 分
17．（15 分）
已知 tan 2， tan 3， ， (0， )．
（1）求 cos 2 ；
（2）求 2 ．
【解析】（1）方法 1：
2 2
cos2 cos2 sin2 cos sin
cos2 sin2
1 tan2 1 4 3 ． …… 6 分
1 tan2 1 4 5
方法 2：
tan 2 2 tan 2 2 4 ． …… 2 分
1 tan2 1 4 3
sin
2 2 cos2 2 1， sin
2 2 cos2 2 1，
由 sin 2 得 tan 2 sin 2 4
， cos 2 cos 2 3
2
消去 sin 2 ，得 4 cos2 cos2 2 1， 3
2
解得， cos 2 9 ． …… 4 分
25
因为 tan 2， (0， ) ，
数学参考答案与讲评建议 第（4）页 共 7 页
{#{QQABbQCUgggoAJJAARgCEQFCCkIQkAEACKoOBAAAsAAAiRNABAA=}#}
所以 (π ， ) ，所以 2 (π ，π) ，
4 2 2
所以 cos2 0．
所以 cos2 3 ． …… 6 分
5
2 tan tan( )（ ） tan(2 )= tan ( ) 2 3 1．…… 9 分
1 tan tan( ) 1 2 3
因为 tan = tan tan tan( )( ) 2 3 1 ，
1+ tan tan( ) 1 2 3 7
又 (0， )，所以 π ， ． ……11 分 2
由（1）方法 2，可知 2 (π ，π) ，
2
所以 2 π ， ． ……13 分 2 2
因为 tan(2 ) 1，所以 2 π ． ……15 分
4
说明：如果第（1）问用方法 1 求解，第（2）问需确定 2 (π ，π) ，
2
否则扣 2 分．
18．（17 分）
如图，在△ABC 中，已知 AB 2 ， AC 6， BAC 45 ， BM 2MC ，点 N 为 AC
边的中点， AM ，BN 相交于点 P ．
（1）求 BN ； B
（2）求 AB AM ； P M
（3）求 cos MPN ． A N C
【解析】（1）因为 N 为 AC 的中点，所以 BN AN AB 1 AC AB ． …… 2 分
2
因为 AC AB 2 6 2 6，且 AB 2 ， AC 6，
2
2 2 2
所以 BN 1 AC AB = 1 AC AC AB AB = 9 2 6 5 ．…… 5 分 2 4
（2）由 BM 2MC 得， AM AB BM AB
2 BC
3
2 AB AC AB 1 AB 2 AC ． …… 7 分 3 3 3
1 2 1 2 所以 AB AM AB AB AC AB 2 AB AC 1 2 2 6 14 ． 3 3 3 3 3 3 3
……10 分
数学参考答案与讲评建议 第（5）页 共 7 页
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（3） AM BN 1 2 2 2AB AC 3 3 1 AC AB 1 AB 1 AB AC 1 AC 2 3 2 3
1 6 1 2 1 36 25 ． ……12 分
2 3 3 3
2 2
又 AM 1 AB 2 AC = 1 AB 2AC = 1 1702 4 6 4 36 ， 3 3 3 3 3
且 BN 5 ，
25
cos MPN = A M B N所以 = 3 =
5 34
AM BN 170 34
，
5
3
即 cos MPN 5 34 . ……15 分
34
19．（17 分）
在等腰梯形 ABCD 中， AB∥DC ， DAB 60 ，CD 1， AD 2 ， AB 3，动点 E，F
分别在线段 BC 和 DC 上（不包含端点）， AE 和 BD 交于点M ，且BE BC ， DF 1 DC．
（1）用向量 AB ，AD 表示向量 AE，AF ；
（2）求 AE 2AF 的取值范围；
（3）是否存在点 E ，使得 AM DM 8 BM EM ．若存在，求 ；若不存在，说明
理由．
【解析】（1）因为 BE BC 1 BA AD DC AB AD AB 2 AB AD 3 3 ，
2
所以 AE AB BE 1 AB AD． …… 2 分 3
又 AF AD DF AD 1 DC 1 AB AD． …… 4 分
3
（2） AE 2AF 5 4 AB 2 AD， 3 3
因为 AB 3， AD 2 ， AB AD 3 2 cos 60 3 ，
2 5 4 2 5 4
所以 AE 2AF 9 6 3 3 3 3
2
2 4 2
2
12 2 30 5 169 61 12 ． …… 8 分 4 4
因为动点 E，F 分别在线段 BC 和 DC 上且不包含端点，所以0 1，
2
所以 43 AE 2AF 61， 43 AE 2AF 61，
数学参考答案与讲评建议 第（6）页 共 7 页
{#{QQABbQCUgggoAJJAARgCEQFCCkIQkAEACKoOBAAAsAAAiRNABAA=}#}
所以 AE 2AF 的取值范围是 43， 61 ． ……10 分
（3）设 AM tME，BM sMD ，其中 s，t 0，则
s s 1 s
AM AB BM AB BD AB AD AB
AB AD ， 1 s 1 s 1 s 1 s
t
因为 AM AE t 1 2 AB AD1 t 1 t 3 ，
1 t 1 2 ，1 s 1 t 3
由平面向量基本定理，得
s t .
1 s 1 t
3
s ，3 2
解得， ……14 分
t 3 .
由 AM DM 8 BM EM ，得 t 8 s ，
3
所以 8 3 3 2 ，
解得， 1 或 3 ．
2 4
因为0 1 1，所以 ． ……17 分
2
数学参考答案与讲评建议 第（7）页 共 7 页
{#{QQABbQCUgggoAJJAARgCEQFCCkIQkAEACKoOBAAAsAAAiRNABAA=}#}
