江苏省南京市部分中学2023-2024学年高一下学期3月学情调研测试数学试题（含解析）

南京市部分中学2023-2024学年高一下学期3月学情调研测试
数试卷
一、单项选择题，本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知点，，则与向量方向相同的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
2．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算（ ）
A．1 B．2 C． D．－3
4．P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 B．等边三角形
5．已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，BC，AB边上的两条中线AD，CE于点P，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，，，若点是线段AB上的动点，设，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得3分，不选或有选错得0分．
9．下列说法中，错误的有（ ）
A．单位向量都相等 B．模相等的两个平行向量相等
C．若且，同向，则 D．，若，则，
10．已知函数，则（ ）
A．图象的对称中心为
B．图象的对称轴方程为
C．的增区间为
D．的最大值是1，最小值是－3
11．定义平面向量的一种运算，其中，是与的夹角，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，2，，2，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．已知，，且α，β为锐角，则的值为______．
13．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围是______．
14．如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（9分）在平面直角坐标系中，已知，．
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数t的值．
16．（9分）已知，，α，β均为锐角．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（9分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量．
18．（13分）如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶C部的视角为45°（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为75m，塔底A，B在同一水平面上，且，．
（1）求两座高塔底部A，B之间的距离；
（2）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果
19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，在中，，，求的值；（3）记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域．
20．（分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．
（1）设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
（2）若，且集合，具有性质P，求x的值；
（3）若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．
南京市部分中学2023-2024学年高一下学期3月学情调研测试
数试卷
一、单项选择题，本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
【答案】A
【解析】由题可得：，设与向量方向相同的单位向量为，其中，则，解得：或（舍去），所以与向量方向相同的单位向量为，故选A．
2．【答案】D
【解析】由已知可得：．
对于选项A，因为，所以本选项不符合题意；
对于选项B，因为，所以本选项不符合题意：
对于选项C，因为，所以本选项不符合题意；
对于选项D，因为，所以本选项符合题意．故选D．
3．【答案】A
【解析】因为
，故选：A．
4．【答案】B
【解析】由，可得，
即，，等式两边平方，化简得，∴，因此，是直角三角形，故选B．
5．【答案】A
【解析】因为，
所以，所以．
因为，所以，所以．
则，故选：A．
6．【答案】A
【解析】
，
当时，，
∵在有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知，
∴，解得：，故选A．
7．【答案】D
【解析】因为，所以为直角三角形，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则有，，，又D，E分别为BC，AB中点，
所以，，故，，
所以，故选D．
8．【答案】D
【详解】∵，且，∴，
∵为线段AB上的动点，则，
∵，，
则．
所以，
其中，，故选D．
二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得3分，不选或有选错得0分．
9．【答案】ABC
【解析】对于选项A，单位向量的方向不能确定，根据两个向量相等的概念，两向量不一定相等，故A错误：对于选项B，相反向量模相等，且为平行向量，但不是相等向量，故B错误；对于选项C，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；对于选项D，因为，所以若，，则，故D正确．故选ABC．
10．【答案】ACD
【解析】；
对于选项A，令，解得：，此时，∴的对称中心为，A正确；
对于选项B，令，解得：，∴的对称轴为，错误B；
对于选项C，令，解得：，∴的增区间为，C正确；
对于选项D，∵，∴，∴最大值是1，最小值是－3，D正确．故选ACD．
【答案】AC
【解析】，其中，是a与b的夹角，
对于选项A，若，则，，
则，故正确；
对于选项B，若，则，，，夹角为90°，
则，故错误；
对于选项C，若，则，故正确；
对于选项D，若，，则，，
，，，，
则，，故错误．故选AC．
三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．【答案】
【解析】∵α，β为锐角，，，∴，
，
∴，
∵α，β为锐角，∴，∴，故答案为．
13．【答案】
【解析】连接AB，OM，如图所示：
．
由图可知，当点M位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时，当点M位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时，故，即的取值范围是．故答案为．
14．【答案】
【解析】∵，，∴，，∵，
∴
，
解得，∵，∴．
设，，
∴
，
∴当时，有最小值，为学，当时，有最大值，为16．
故答案为；．
四、解答题：本大题共6小题，共74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（1）解∵，，∴，
，
∵，∴，解得；
（2），
∵，
∴，
解得．
16．（1）解∵，且α为锐角，
∴，
即；
（2）∵，且α，β均为锐角，
∴，
即，
则，
．
17．解：（1）设，则，解得或，
所以或，
（2）∵与垂直，
∴，
∴，
∴在方向上的投影向量为
．
18．解：（1）由题知，，，，，
如图，作，垂足为E，则四边形ABED为矩形，所以，，
设，，，则，，
，
，，（舍），∴，
两座高塔底部A，B之间的距离为90m；
（2）设，则，
当时，所以，，
所以
，
当时，，符合上式；
当时，，符合上式．
设，则，
所以
，当且仅当即时，等号成立．
又因为在锐角范围内，越大，越大，
所以当时，取得最大值，此时，
在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果：
综上，两座高塔底部A，B之间的距离为；在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．
19．解：（1），
所以．
（2）由题意，得．
因为，又C为的内角，所以．
因为，所以，所以．
所以．
（3）由题意，得，
∵，∴，
①当时，为上的增函数，上的减函数，
所以，，
此时，；
∵，∴，∴，
即可得函数的取值范围为；
②当时，为的减函数，，
最小值为，
此时；
∵，∴，∴，
即可得函数的取值范围为．
综上可得函数的值域为．
20．解：（1），
具有性质P．
（2）对任意a，，都存在c，，使得，
即对于，都存在，使得，其中a，b，c，，
因为集合具有性质P，
选取，，则有，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，满足，
故；
经检验，集合具有性质P．
（3）证明：取，设且满足，
由得，从而s，t异号，
∵－1是x中唯一的负数，
∴s，t中一个为－1，另一个为1，故．
因为，所以，
X具有性质P，取，，
设，因为，且c，d中的正数大于等于1，
所以只能，
所以，．
又X中只有个大于1的正数，
即，
且，这个大于1的正整数都属于集合X，
所以只能，，…，
即，
即．