湖南省长沙市实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（pdf版，无答案）

长沙市实验中学 2024 年上学期高一年级第一次月考
数学试卷
本试卷共 4 页 满分：150 分 时量：120 分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
1 1．设集合 = = lg 1 , = 2 > 4 ，则 ∩ =（ ）
A． 1, + ∞ B． 1, + ∞ C． 2,1 D． 2,1
2．若复数 z 满足 (2 + i) = 1 i，则复数 z的虚部为（ ）
3 1 1 3A． B． C． D．
5 5 5 5
3 1．如图，在△ 中， = 2 ， 是△ 的中线，若 = ， = ，
则 =（ ）
1 1 1 2
A． B．
6 3 6 3
1 1 1 5
C． D． 3 3 6 6
4．已知幂函数 = 2 2 2 m 1 ∈ 是偶函数，且 在 0, + ∞ 上是减函数，则 =（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．3
5 = 4cos2x．函数 x4+2 的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
a2+b2 c2
6．△ 的内角 A，B，C的对边是 a，b，c，若△ 的面积为 ，则 C的大小（ ）
4
π π 3π π
A． B． C． D．
4 3 4 6
数学试卷 第 1页（共 4 页）
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7 1

．设 是定义在 上的偶函数，对任意 ∈ ，都有 = + 4 ，且当 ∈ 2,0 时， = 2 1，
若在区间 2,6 内关于 的方程 log + 2 = 0( > 1)恰有 3 个不同的实数根，则 的取值范围是
（ ）
A 1, 3． 2 B． 1,2 C 3． 2, 3 4 D 3． 4, 2
2π
8．如图，扇形 所在圆的圆心角大小为 , 是扇形内部（包括边界）任意
3
一点，若 = + ，那么 2 + 的最大值是（ ）
3 3 2 21
A． B． 7 C．3 D．
2 3
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9．若平面向量 = , 2 ， = 1, 1 ，其中 ， ∈ R，则下列说法正确的是（ ）
A．若 2 + = 2,6 ，则 //
B．若 = 2 2 2，则与 同向的单位向量为 ,
2 2
C = 1 1．若 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为 , + ∞
2
D．若 ⊥ ，则 = 2 + 4 的最小值为 4
10 π π．已知函数 = sin( + ) > 0, > 0, < < 的部分图象如图所示，则（ ）
2 2
A． 的最小正周期为π
B．当 ∈ π , π 时， 3 3的值域为 ,
4 4 2 2
C．将函数 π的图象向右平移 个单位长度可得函数 ( ) = sin2
12
的图象
D 5π．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 , 0
6
对称
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形
四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知 是△ 内一点，△ , △ , △
→ → → →
的面积分别为 , , ，且 + + = 0.以下命题正确的有（ ）
A．若 : : = 1: 1: 1，则 为△ 的重心
B．若 为△ 的内心，则 + + = 0
C．若∠ = 45°, ∠ = 60°， 为△ 的外心，则 : : = 3:2: 1
D．若 为△ 的垂心，3 + 4 + 5 = 0，则 cos∠ = 6
6
数学试卷 第 2页（共 4 页）
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三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．如果复数 满足| i| = 1，则| |的最大值是 .
13．圣 索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于 1907 年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有 114
年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客
从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑
物 ，高为 15 3 15 m，在它们之间的地面上的点 （ , , 三点共线）处测得楼顶 ，教堂顶 的仰
角分别是15 和60 ，在楼顶 处测得塔顶 的仰角为30 ，则小明估算索菲亚教堂的高度为 米.
14．我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距
离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点 1, 1 ， 2, 2 ，O为坐标原点，余弦相似度
为向量 ， 夹角的余弦值，记作 cos , ，余弦距离为 1 cos , ．已知 cos , sin ， cos , sin ，
cos , sin ，若 P，Q 1 1 π的余弦距离为 ，Q，R的余弦距离为 ，且 0 < < < ，则 cos2 = .
3 2 2
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）设 ∈ ，复数 = 2 + i 2 3 i + 1 2 1 i ．
(1)当 满足什么条件时，复数 是纯虚数？
(2)当 满足什么条件时，复数 在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？
16．（本小题满分 15 分）已知向量 = (1, 1)，| | = 2，且(2 + ) = 4．
（1）求向量 与 的夹角； （2）求|2 + |的值．
数学试卷 第 3页（共 4 页）
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17．（本小题满分 15 分）如图所示，公园有一块边长为 4 的等边三角形草坪，图中 DE把草坪分成面积相
等的两部分，点 D在 AB上，点 E在 AC上．
(1)设 = ≥ 0 ， = ，求 y关于 x的函数关系式；
(2)如果 DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？
如果 DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？
18．（本小题满分 17 分）已知 = 3sin ,cos , = cos , cos ( > 0, ∈ )， = 12，
π
且 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ．
2
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若锐角△ 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 = 3， = 0，求△ 面积的取值范围．
19．（本小题满分 17 分）在△ 中，∠ , ∠ , ∠ 对应的边分别为 , , ，2sin sin sin = 3 sin2 + sin2
sin2
(1)求 ；
(2)奥古斯丁.路易斯.柯西（1789 年-1857 年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学
的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有
关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若 = 2, 是△ 内一点，过 作 , , 垂线，垂
x2 x2 x2 x +x +x 2 x1
足分别为 , , ，借助于三维分式型柯西不等式： , , ∈ +, 1+ 2+ 3 ≥ 1 2 31 2 3 y y y y +y +y 当且仅当 =1 2 3 1 2 3 y1
x2 x= 3 AB时等号成立.求 = PD +
4 BC
PE +
AC
PF的最小值.y2 y3
数学试卷 第 4页（共 4 页）
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