2023学年第二学期高一年级四校联考
数学学科试题卷
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，，则（ ）
A B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件
3. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 6 D.
4. 在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（ ）
A. 四边形ABCD是矩形 B. 四边形ABCD是菱形
C. 四边形ABCD是正方形 D. 四边形ABCD是平行四边形
5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6. 已知六边形ABCDEF为正六边形，且，，以下不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A B.
C. D.
8. 已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 函数（）的图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若（）在上有且仅有两个零点，则
11. 在中，，，O为内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A. 若O为的重心，则
B. 若O为的外心，则
C. 若O为的内心，则
D. 若O为的垂心，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量与的夹角为，，，则__________．
13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，，则的面积是__________．
14. 已知函数在上有两个不同的零点，则满足条件的所有m的值组成的集合是_________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）求向量在的投影向量的坐标；
（2）求的面积．
16 已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）当时， 求函数的值域．
17. 如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O．
（1）用，表示；
（2）过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值；
（3）若，求的值．
18. 已知内角，，的对边分别是，，，．
（1）求大小；
（2）若，将射线和射线分别绕点，顺时针旋转，，旋转后相交于点（如图所示），且，求．
19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.
（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式；
（2）在中，，，求面积的最大值.2023学年第二学期高一年级四校联考
数学学科试题卷
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交集和并集概念及运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，.
又因为，，，
所以，，，.
故
故选：C.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【详解】若，则，即，故，充分性成立，
不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
3. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可求解.
【详解】根据题意，，
又，所以，
即，解得.
故选：A
4. 在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（ ）
A. 四边形ABCD是矩形 B. 四边形ABCD是菱形
C. 四边形ABCD是正方形 D. 四边形ABCD是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可.
【详解】因为，则，即，
可知两边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，
但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确.
故选：D.
5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D.
【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；
对于B，根据正弦定理得，，
又，，B有两解，故B符合题意；
对于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合题意.
对于D，根据正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合题意.
故选：B
6. 已知六边形ABCDEF为正六边形，且，，以下不正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正六边形的特征求出,，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解.
【详解】如图，设
因为六边形ABCDEF为正六边形，
所以，且.
又是等腰三角形，所以，
从而可有，
则，
所以,同理有.
所以，所以选项A不符合题意；
，所以选项B不符合题意；
，所以选项C符合题意；
，所以选项D不符合题意.
故选：C
7. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度.
【详解】在中，则,
因为，
且，
则，
在中，则.
故选：B.
8. 已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，，可知，结合三角函数的性质可求最小值.
【详解】表示与共线单位向量，表示与共线的单位向量，
的分向与的平分线一致，
，
所以点在的平分线上，即为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知当时，取得最小值，即
故选：C
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答.
【详解】由于，所以，不共线，可以作为基底，A正确；
由于，所以，共线，不可以作为基底，B错误；
由于零向量与任意非零向量都共线，所以，共线，不可以作为基底，C错误；
，所以，不共线，可以作为基底，D正确.
故选：AD
10. 函数（）的图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若（）在上有且仅有两个零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可.
【详解】依题意，，
由，得，解得，而，
解得，，的最小正周期为，A正确；
是偶函数，B错误；
，令，
则，
的图象关于直线对称，C正确；
，，当时，，
依题意，，解得，D正确.
故选：ACD
11. 在中，，，O为内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A. 若O为的重心，则
B. 若O为的外心，则
C. 若O为的内心，则
D. 若O为的垂心，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，由重心可知，根据，，整理可得，即可判断；对B，由等腰三角形的性质可得，由外心可知，结合余弦定理可得，进而判断；对C，由内心可知，结合，即可求解判断；对D，由垂线可知，则，整理可得，而，代入求解，即可判断.
【详解】对于A选项，重心中线交点，则，即，
因为，
则，
所以，，
所以，故A正确；
对于B选项，外心为垂直平分线交点，即的外接圆圆心，
因为，设为边的中点，
所以，，
所以，
因为，所以，
在中，，
则，
，
所以，易知，所以，
所以，故B正确；
对于C选项，内心为角平分线交点，
分别为方向上的单位向量，
平分,
)，令
（)
化简得
则，
即，所以，
由A选项，则，，则，
所以，故C错误；
对于D选项，垂心为高线交点，设，垂足为边上点，则，，共线，
根据等腰三角形的性质，已知，，
所以，
因为，则，即，
因为，所以，
即，
因为，所以，
所以，
所以，解得，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】知识点点睛：的“四心”，可知：
（1）重心为中线交点，则；
（2）内心为角平分线交点，内切圆圆心，则；
（3）外心为垂直平分线交点，外接圆圆心，则；
（4）垂心为高线交点，则.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量与的夹角为，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据求得结果.
【详解】∵，
∴.
故答案为：.
13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，，则的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用三角函数恒等变形化简，得，可得，从而可得，又，正弦定理可求，再由三角形面积公式得解.
【详解】由题意得，，
即，
，由得，，又，
得，即，所以；
由，，得，
由，得，从而，，
故，
所以的面积为．
故答案为：
14. 已知函数在上有两个不同的零点，则满足条件的所有m的值组成的集合是_________．
【答案】
【解析】
【分析】将原函数转化为同角三角函数，再利用对勾函数的性质数形结合，分类讨论处理即可.
【详解】解：，
令，
则，
则
当时，显然无解；当时可化为.
利用对勾函数的性质与图象可知（如下图所示）：
①当时，即，此时或，符合题意；
②当时，即或，此时或，符合题意；
③当时，即，由可得，
易知当时，只有一个解满足，不符合题意；
④当时，即，
方程有两根，不妨记为，其中，只有一个根，
有两个根，故方程有3个解，也不符合题意.
∴满足条件的所有m的值组成的集合是：.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）求向量在的投影向量的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由投影向量的定义求解即可；
（2）由数量积的定义和模长公式求出，再由同角三角函数的基本公式求出，最后由三角形的面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，，
所以在上的投影向量为：．
【小问2详解】
，，
，
，
，，
．
16. 已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）当时， 求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；
（2）设，可得，该函数可转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求值域.
小问1详解】
设，，，
所以，即，
解得，
所以，解得，
即；
【小问2详解】
由（1）得，当，，
所以函数可转化为，，
当时，取最小值为，
当或时，取最大值为，
即当时，取最小值为，
当或时，取最大值，
即函数的值域为.
17. 如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O．
（1）用，表示；
（2）过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由E，O，C三点共线，得，又，从两个角度用，表示，从而得的值得解；
（2）因为H，O，G三点共线，所以，转化为用，表示，可得的值；
（3）用，表示，从而进行数量积运算.
【小问1详解】
因为A，O，D三点共线，所以，，且E，O，C三点共线，
所以存在实数，使，其中D是BC中点，且，
所以
即
解得，，
所以．
【小问2详解】
因为H，O，G三点共线，所以存在实数，使，
其中，，所以，
根据平面向量基本定理可得：即，
所以．
【小问3详解】
，
整理可得：，所以．
18. 已知内角，，的对边分别是，，，．
（1）求的大小；
（2）若，将射线和射线分别绕点，顺时针旋转，，旋转后相交于点（如图所示），且，求．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用两角和（差）的余弦公式展开得到，再利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；
（2）在中，由正弦定理求出，再在中，由正弦定理求出，最后在中利用余弦定理计算可得.
【小问1详解】
，，
，
，
，
由正弦定理可得，
又在中，，
所以，
又因为，所以．
【小问2详解】
依题意，，所以，
所以，
又，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
于是，在中，由余弦定理得
．
19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.
（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式；
（2）在中，，，求面积的最大值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合余弦定理分析证明；
（2）利用三角恒等变换结合正弦定理分析可得，再运用题中公式结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
因为，即，
可得
，
且，则，所以.
【小问2详解】
因为，
由题意可得，即，
整理得，
由正弦定理可得，即，
的面积
，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，
所以面积的最大值为.
