厦门大学附属科枝中学
2024-2025学年3月阶段性测试
高一数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人准考证号、姓名是否一致.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在平行四边形中，为一条对角线．若，，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 6 D. -6
4. 已知向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
5. 据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. D.
6. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A. B. 3 C. D. 2
7. 已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
8. 在中，，，且有，则线段长的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若，则或
D. 已知为单位向量，若，则在上的投影向量为
10. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）
A. 若为锐角三角形，则
B. 若，则为等腰三角形
C 若，则
D. 若，，，则符合条件的有两个
11. 对于，其外心为O，内心为P，垂心为H，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C 向量与共线 D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是纯虚数，是实数，那么_________.
13. 已知向量与的夹角为，，，则_______．
14. 正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，，，且.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值.
16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
在中，内角，，的对边分别为，，，且______．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
18. 如图，有一位于处的雷达观测站发现其北偏东，与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站北偏东(其中，)且与观测站相距海里的处.
（1）求该船的行驶速度(海里/小时)；
（2）在离观测站的正南方20海里的处有一暗礁(不考虑暗礁的面积)，如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由.
19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）求证：；
（2）设，，，，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.厦门大学附属科枝中学
2024-2025学年3月阶段性测试
高一数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人准考证号、姓名是否一致.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用已知化简复数，可得在复平面内对应的点以及所在的象限．
【详解】，
则在复平面内对应的点位于第二象限
故选：B
【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题．
2. 在平行四边形中，一条对角线．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用加法求.
【详解】在平行四边形中， ，，
所以，
所以.
故选：B
3. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 6 D. -6
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算，求得，结合向量垂直的条件和数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，，可得，
因为，则，解得.
故选：C
4. 已知向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的模长公式直接计算即可.
【详解】由已知得，
故，
所以，
故选：C.
5. 据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】复数，进而得出共轭复数为z.
【详解】因为复数，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查了欧拉公式，共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先借助正弦定理求出，再借助余弦定理求出b即可.
【详解】由正弦定理得，得.由余弦定理，得
，即.
故选：A.
7. 已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量线性运算可得，知，根据投影向量为，结合长度和角度关系可求得结果.
详解】，，，
又，，，，为等边三角形，；
在上的投影向量为.
故选：C.
8. 在中，，，且有，则线段长的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，设角、、的对边分别为、、，利用正弦定理得出，，利用平面向量数量积的运算性质得出，利用三角恒等变换思想化简得出，利用正弦型函数的有界性可得出线段长的最大值.
【详解】在中，设角、、的对边分别为、、，
由正弦定理可得，则，，
，即，
所以，
，
所以，，
，则，当时，即当时，取最大值，
即.
故选：C.
【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若，则或
D. 已知为单位向量，若，则在上的投影向量为
【答案】CD
【解析】
【分析】选项A，利用向量相等或相反的定义，即可判断出选项A的正误；选项B，利用与任何向量共线及向量共线的定义，即可判断出选项B的正误； 选项C，根据条件，利用数乘向量的定义，即可判断出选项C的正误；选项D，根据条件，利用投影向量的定义，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，因为，但与不一定同向或同向，所以选项A错误，
对于选项B，当，有，但与不一定同向或同向，所以选项B错误，
对于选项C，因为，由数乘向量的定义可知，或，所以选项C正确，
对于选项D，因为为单位向量，若，
所以在上的投影向量为，所以选项D正确，
故选：CD.
10. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）
A. 若为锐角三角形，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若，，，则符合条件的有两个
【答案】AC
【解析】
【分析】根据余弦函数的单调性、正弦定理、余弦定理、三角形的形状等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若为锐角三角形，则，
，
在上单调递减，所以，A选项正确.
B选项，若，
则可能，此时三角形是直角三角形，所以B选项错误.
C选项，若，则，由正弦定理得，所以C选项正确.
D选项，若，，，
由余弦定理得，
所以符合条件的只有个，D选项错误.
故选：AC
11. 对于，其外心为O，内心为P，垂心为H，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与共线 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由为外心，则，仅当时，可判定A错误；根据向量的数量积的运算公式，可得判定B正确；由，得到与垂直，再由，可判定C正确；连接，设分别是的中点，连接，分别证得和，，得到P是的垂心，可判定D错误.
故选：BC.
【详解】对于A中，因为为外心，则，
仅当时，才有，所以A错误；
对于B中，由，又由，
所以，所以B正确；
对于C中，由
，
即与垂直，
又由，所以与共线，所以C正确；
对于D中，如图所示，为的外接圆，
连接，设分别是的中点，
连接，则，
又由，所以，即，
所以与共线，因为为的外接圆的圆心，所以，
所以，同理得，所以P是的垂心，所以D错误.
故选：BC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是纯虚数，是实数，那么_________.
【答案】2
【解析】
【分析】设且，根据条件，利用复数的运算法则，即可得出，从而求出结果.
【详解】设且，则，
由题得，解得，所以，
故答案为：.
13. 已知向量与的夹角为，，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律和定义可直接构造方程求得结果.
【详解】，.
故答案为：.
14. 正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】建立坐标系，根据求出点的坐标，设出的坐标分别为，，将，转化为关于的函数，即可得其最小值.
【详解】
以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴，建立坐标系，则，，
所以，
所以，即点坐标为，
设，则，，
所以，，
所以，
当且时，有最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴建立坐标系，则，，利用求出点的坐标，设出的坐标分别为，，，利用二次函数的性质可求最小值.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，，，且.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知得到向量，利用向量平行求；
（2）求出，的坐标，由向量垂直，数量积为0 求．
【详解】解：因为，，，
所以，
（1）因为.所以，即，解得；
（2）因为，，
又，
所以，
即，解得.
16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算以及向量共线定理求解；
（2）利用向量的坐标运算求解；
（3）利用共线向量的坐标运算求解.
【小问1详解】
．
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，．
【小问2详解】
．
【小问3详解】
因为四边形是平行四边形，所以,
设，则，
因为，
所以，解得，
即点的坐标为．
17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
在中，内角，，的对边分别为，，，且______．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）选择①②③，都有；（2）56.
【解析】
【分析】（1）选择①②③后都是应用正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求得角；
（2）由正弦定理求得，再由诱导公式和两角和的正弦公式求得，最后由三角形面积公式计算．
【详解】解：（1）方案一：选条件①．
因为，所以．
因为，所以，所以，
所以，即．
因为，所以，所以．
方案二：选条件②．
因为，
所以，
则，
因为，所以，
因为，，所以，．
方案三：选条件③．
因为，所以，
所以，
因为，所以，，又，所以．
（2）因为，所以，由，得，
所以，
则的面积．
【点睛】思路点睛：高考对解三角形的考查以正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式为主，同时两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系、诱导公式等是必备工具，考生要熟记相关公式，解题时根据条件选用恰当的公式是解题关键．
18. 如图，有一位于处的雷达观测站发现其北偏东，与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站北偏东(其中，)且与观测站相距海里的处.
（1）求该船的行驶速度(海里/小时)；
（2）在离观测站的正南方20海里的处有一暗礁(不考虑暗礁的面积)，如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由.
【答案】（1）(海里/小时)；（2）货船不改变航向继续前行会有触礁的危险，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理，即可求得结论；
（2）由（1）知，在中，.设延长交于，在中，由正弦定理可得结论.
【详解】（1）由题意，，，，
∵，，∴，由余弦定理，
，即.
∵以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，
∴该船的行驶速度(海里/小时).
（2）由（1）知，在中，，.
设延长交于，则，，
在中，由正弦定理，即，
又∵，，，，
∴(海里).
∴与重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁危险.
【点睛】关键点睛：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定三角形，运用适用的正弦定理和余弦定理得以解决．
19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）求证：；
（2）设，，，，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.
【答案】（1）见详解 （2）3
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用和表示， 结合，，三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.
【小问1详解】
证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.
【小问2详解】
因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.
【小问3详解】
设，，，，由（1）（2）可知，，即.
因，，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，
所以，
令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.
因此，
又因，所以，所以.
