2023-2024学年甘肃省兰州市贺阳高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年甘肃省兰州市贺阳高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，平面向量的坐标是( )
A. B. C. D.
2.等于( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形是菱形，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知是的边上的中线，若、，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6.判断下列各命题的真假：向量与平行，则与的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；零向量是没有方向的；向量就是有向线段其中假命题的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，不能作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.下列结论中，错误的是( )
A. 表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同
B. 若，则，不是共线向量
C. 若，则四边形是平行四边形
D. 有向线段就是向量，向量就是有向线段
11.下列关于向量的描述中，不正确的有( )
A. 有向线段就是向量
B. 若向量与向量共线，则，，，四点共线
C. 零向量没有方向
D. 若，则
12.下列结果为零向量的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，若，则______．
14.已知，，若，则 ______．
15.已知向量，则在方向上的投影向量为______．
16.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，求：
；
；
．
18.本小题分
化简下列各式：
；
；
．
19.本小题分
设为一组标准正交基，已知，，若，求在基下的坐标．
20.本小题分
如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示向量，，．
21.本小题分
已知非零向量，不共线．
如果，，，求证：，，三点共线；
欲使和共线，试确定实数的值．
22.本小题分
已知向量和，则，，求：
的值；
的值；
与的夹角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，根据，两点的坐标即可求出向量的坐标．
【解答】
解：由已知．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：根据向量的运算法则，可得．
故选：．
根据向量的运算法则，准确运算，即可求解．
本题考查了平面向量的线性运算问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：菱形中，由向量加法的平行四边形法则知，，
，所以选项C正确，选项D错误；
因为向量方向不同，所以，，选项A、B错误．
故选：．
根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可．
本题考查了向量相等的概念及向量的加法运算问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为是的边上的中线，
又

：
故选：．
先利用因为是的边上的中线得到，再结合向量的三角形法则，即可求出结论．
本题主要考查向量的三角形法则的应用．在平时的学习中，应把本题作为结论来记．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，则，
所以与向量同向的单位向量为．
故选：．
由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标．
本题考查向量的坐标计算，涉及单位向量的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，为假命题，共有个．
故选：．
根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可．
本题考查向量的基本概念，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：向量，，
则，，
，故与不平行，故A错误；
，故与不平行，故B错误；
，故C错误；
，
则，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：在中，因为，
所以，
所以，
又因为，，三点共线，
所以，
即，
所以，
又，
又，，，
所以
，
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，，由零向量与任意向量共线，可知两向量不能作为基底；
对于，，，，两向量不共线，可以作为基底；
对于，，，，可知两向量共线，不能作为基底；
对于，，，，可知两向量共线，不能作为基底．
故选：．
分别判断四个选项中的两个向量是否共线得答案．
本题考查向量共线的坐标运算，考查平面内两向量构成基底的条件，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由向量相等的定义，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确；
对于，若，、可以方向相反，B错误；
对于，若，但与可能不共线，四边形不一定是平行四边形，C错误；
对于，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故D错误．
故选：．
根据题意，由向量相等的定义分析、，由向量相等的定义分析，由向量的定义分析，综合可得答案．
本题考查向量的定义，涉及向量的表示方法，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，根据向量的定义，可知能用有向线段表示向量，但是有向线段不能平移，
故有向线段不是向量，所以项不正确；
对于，当、、、是平行四边形的四个顶点时，向量与向量共线，
此时、、、不共线，所以项不正确；
对于，零向量的方向是任意的，但是不代表零向量没有方向，故C项不正确；
对于，若，则向量、大小相等，方向相同，故，项正确．
故选：．
根据题意利用向量的基本概念，对各项中的结论依次加以判别，即可得到本题的答案．
本题主要考查向量的基本概念与向量的模等知识，考查了定义的理解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，，故选项A错误，
对于选项B，，故选项B正确，
对于选项C，，故选项C正确，
对于选项D，，故选项D正确，
故选：．
利用向量的线性运算法则逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：；
；
．
故答案为：．
根据即可得出，解出即可．
考查平行向量的坐标关系，向量坐标的概念．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，
，
，解得．
故答案为：．
利用向量垂直的坐标运算，求的值．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
在方向上的投影向量为．
故答案为：．
根据投影向量的计算公式即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题．
设，，结合已知及向量的基本定理可得，结合已知，可求，的值即可．
【解答】
解：设，，
由题意及图知，，
又，
，
，
又，
，解得，．
故答案为：．
17.【答案】解：已知，
；
；

【解析】直接利用向量的坐标运算法则求解即可．
本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．
18.【答案】解：；
；
．
【解析】根据三角形加法法则逐项化简即可．
本题考查向量的三角形法则，属于基础题．
19.【答案】解：因为，
又，所以．
因此在基下的坐标为．
【解析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：因为四边形是平行四边形，
所以，
，
．
【解析】由平行四边形的性质以及向量的线性运算即可求解．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
21.【答案】证明：，，，
，
，且有公共点，
故A，，三点共线；
解：和共线，
存在实数，使得，
且，可得．
【解析】根据已知得到，进而求解结论，
根据向量共线得到，进而求解结论．
本题运用平面向量基本定理考查向量共线，垂直的概念，属于综合性概念考查题．
22.【答案】解：，，，
；
，
；
，
．
【解析】根据平面向量的数量积的定义即可求解；
根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
根据平面向量的夹角公式即可求解．
本题考查平面向量的数量积的定义及性质，属基础题．
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