2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳实验高级中学高一（下）第一次调研数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳实验高级中学高一（下）第一次调研数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，( )
A. B. C. D.
2.已知，，平面向量的坐标是( )
A. B. C. D.
3.计算( )
A. B. C. D.
4.在矩形中，，，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
7.已知角，满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知为所在平面上一点，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为非零向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则共线且方向相反
C. 若，则
D. ，则
10.下列化简结果正确的是( )
A. B.
C. D.
11.点为所在平面内一点，则( )
A. 若，则点为的重心
B. 若，则点为的垂心
C. 若则点为的垂心
D. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简 ______．
13.已知向量满足，，则 ______．
14.已知点，，均位于同一单位圆上，且，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
求满足的实数，的值；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知非零向量，不共线．
如果，，，求证：，，三点共线；
欲使和共线，试确定实数的值．
17.本小题分
如图，在梯形中，为的中点，，，，．
求；
求与夹角的余弦值．
18.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
设函数，试求的伴随向量；
记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
已知将中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求的取值范围．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．
若，，求；
若，，，求在上的投影向量斜坐标；
若，，，，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在中，
．
故选：．
根据平面向量的加减法运算计算即可．
本题考查平面向量的加减法运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，根据，两点的坐标即可求出向量的坐标．
【解答】
解：由已知．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用诱导公式，两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在矩形中，由，可得，
又因为，
故，
故．
故选：．
根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长．
本题考查了向量的线性运算、向量的模，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：向量，，
则，，
故在上的投影向量为：．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，三点共线，
所以，
则，，
所以；
；
故选：．
由三点共线求出；再代入其数量积即可．
本题考查共线向量与平面向量的数量积，考查运算求解能力．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以为的外心，
又因为，所以为的重心，
所以为等边三角形，
所以
．
故选：．
由题意，可得既是三角形外心又是重心，从而得三角形为正三角形，再由数量积定义即可求得结论．
本题考查三角形外心、重心性质，考查平面向量数量积运算，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：选项中，因为为非零向量，所以由平行的传递性可得，所以A正确；
选项中，若，则共线且方向相反，所以B正确；
选项中，由，可得，则当与垂直时原式成立，
但不一定成立，所以C错误；
选项中，由得，，
化简可得，所以，所以D正确．
故选：．
根据平行向量的传递性判断；由向量模的性质判断；由数量积性质判断、．
本题考查平面向量数量积性质，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：，故A正确，
B.，故B错误，
C.，则，故C正确，
，故D正确，
故选：．
根据两角和差的三角公式以及倍角公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数值的求解，利用三角函数的倍角公式以及两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A由于，其中为的中点，
可知为边上中线的三等分点靠近线段，
由三角形重心的定义可得：为的重心，
选项A正确．
对于选项B向量，分别表示，同向的单位向量，
在边和上取单位向量和，
它们的差是向量，
当，
即时，
则点在的平分线上，
同理由知点在的平分线上，
由三角形内心的定义可得：
为的内心，
选项B错误．
对于选项C．，
即，
即，
同理有，
由三角形外心的定义可得：为的外心，
选项C错误．
对于选项D，设是的中点，
又，
则，
所以，
所以动点在线段的中垂线上，
由三角形外心的定义可得：动点的轨迹必通过的外心，
选项D正确．
故选：．
根据三角形四心的定义，结合向量数量积的几何意义，对题目中的四个选项逐一进行运算判断，判断出点在中的特殊位置，即可得到答案．
本题考查了三角形四心的定义，重点考查了向量数量积的几何意义，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由．
故答案为：．
根据题意，利用两角差的正弦公式，准确化简，即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
有，
则．
故答案为：．
由已知条件结合向量数量积，解得，由，代入已知数据求值即可．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，
得，
，即为直径，
，
设，则，设
由，
得，
得，
，
，
可设，，
，
，
，
故答案为：．
利用第一个条件可得为直径，结合第二个条件可得点轨迹方程，然后利用参数方程把向量和的模的平方转化为三角函数最值问题，得解．
此题考查了向量数量积，向量的模，三角换元等，综合性较强，难度较大．
15.【答案】解：由，得，则有，解得，
所以，．
依题意，，，
由，得，解得，
所以．
【解析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等求解即得．
利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求解即得．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
16.【答案】证明：，，，
，
，且有公共点，
故A，，三点共线；
解：和共线，
存在实数，使得，
且，可得．
【解析】根据已知得到，进而求解结论，
根据向量共线得到，进而求解结论．
本题运用平面向量基本定理考查向量共线，垂直的概念，属于综合性概念考查题．
17.【答案】解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，
设，
又在梯形中，为的中点，，，，，
则，，，，，
则；
由可得，，
则，，，
则与夹角的余弦值为．
【解析】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的夹角的求法，属中档题．
先结合题意建立平面直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可；
由平面向量数量积的坐标运算，结合与夹角的余弦值为求解即可．
18.【答案】解，
由伴随向量的定义可知，函数的；
依题意，
当时，，
又，
所以，
所以；
由题意，可得，
若，则，
所以
令，则可化为，
即，
因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以时，函数单调递减；时，函数单调递增，
所以，
又当，时，；当时，，
所以；
因为存在，使成立，
所以存在，使成立，
因此只需．
【解析】化简函数，再根据定义即可求得伴随向量；
根据已知条件可知，再利用正弦的差角公式即可得解；
易知，令，则原问题可化为，即，然后研究二次函数的性质即可得到答案．
本题以新定义为载体，考查了三角恒等变换，三角函数的图象及性质以及三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：，
，
，即；
，
，
，
，
，
在上的投影向量为，
即在上的投影向量斜坐标为；
又，
，
．
令，则，
又，在上单调递增，
，即的最小值为．
【解析】由题可得，利用向量共线的条件即得；
由题可知，进而可得，然后利用投影向量为的摡念即得；
由题可得，然后利用向量夹角公式可得，再结合条件及函数的单调性即得．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的综合能力，属于难题．
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