开滦二中 2023-2024 学年第二学期高一年级 4 月月考
数学试卷 命题人：高丽洁 审核人：武立鹏
说明：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（2）页，第Ⅱ卷第（3）
页至第（4）页。
2、本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共 80 分）
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的准考证号、科目填涂在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。
3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡和机读卡一并收回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 z满足 3 4i z 5i，则 z的共轭复数 z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量 a 2,1 ,b 1,3 ，则 a 3b a b （ ）
A． 24 B． 23 C． 22 D． 21
3．在 ABC中， AB 7, AC 2,C 120 ，则 sinA （ ）
A 7 B 21． ． C 5 7 D 3 21． ．
14 14 14 14
a 1 b 2 4．向量 a,b 满足 ， ， (a b) (2a b) ，则向量 a与b 的夹角为（ ）
A． 45 B．60 C．90 D．120
5、桂林日月塔又称金塔银塔 情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，
所以也有金银塔之称.如图 1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为
测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的 A,B两点处进行测量，如图 2.
已知在A处测得塔顶 P的仰角为 60°，在 B处测得塔顶 P的仰角为 45°，
AB 25米， AOB 30 ，则该塔的高度OP （ ）
A． 25 2米 B． 25 3米 C．50米 D．25 6米
6．在 ABC中，若 acosA bcosB，则 ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
试卷第 1页，共 4页
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7．已知 ABC 外接圆圆心为O，半径为 1，2AO AB AC，且 3 OA AB ，则向量 AB在向量 BC上的投影向
量为（ ）
3 1 1 3 A． BC B． BC C． BC D． BC4 4 4 4
8．设O为 ABC的外心，若OA OB OC OM ，则点M 是 ABC的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列命题中错误的是（ ）
A．已知 a,b为平面内两个不共线的向量，则 a b, a 3b 可作为平面的一组基底
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．若 a / /b ，则存在唯一实数 使得 a b
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数 2 i在复平面内对应的点在第二象限
B．若 i为虚数单位， n为正整数，则 i4n 3 i
C．若复数 z a bi(a,b R)为纯虚数，则 a 0，b 0
D．复数 2 i的虚部为 1
11．有下列说法其中正确的说法为（ ）
A a b b
．若 ， ∥c，则 a∥c
AB AC
B．设点M 在 ABC所在平面内，若 AM
AB AC ，且
AM AB 1 AC 0 1 ，则 BM MC
C．两个非零向量a，b ，若 a b a b ，则 a与b 共线且反向
D．若 2OA OB 3OC 0， S AOC， S AOB分别表示 AOC， AOB的面积，则 S△AOC :S△AOB 1:3
12．在 ABC中，角 A,B,C的边分别为 a,b,c，知 B 60 ，b 4，则下列判断中正确的是（ ）
π 9
A 4 6．若 A ，则 a B．若 a ，该三角形只有一解4 3 2
C． ABC周长的最小值为 12 D． ABC面积的最大值 4 3
试卷第 2页，共 4页
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第Ⅱ卷（解答题，共 70 分）
三、填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
2 1 1
13．化简： 4a 3b b 6a 7b .3 3 4
14．已知关于 x的方程 x2 2x c 0的一个虚根为1 2i（其中 i为虚数单位），则实数 c .
15．在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c π，有 A ， a2 b2 c2 ab， c 3，则a .4
16．在梯形 ABCD中， AB / /CD, AB BC 2,CD 1, BCD 120 ,P、Q分别为线段BC和线段CD上的动点，且
1 BP BC ,DQ DC ，则DP AQ的取值范围为 ．
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设复数 z1 1 ai a R , z2 3 4i．
(1)若 z1 z2 是实数，求 z1 z2 ；
z
(2) 1若 z 是纯虚数，求
z1．
2
18．（12分）已知非零向量 e1 ， e2 不共线．
(1)如果 AB e1 e2 ， BC 2e1 8e2 ，CD 3 e1 e2 ，求证：A， B，D三点共线；
(2)欲使 ke1 e2 和 e1 +k e2 共线，试确定实数 k的值．
19．（12分） ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 2 cosC (a cos B+b cos A) c.
(1)求C；
(2)若 c 5， ABC的面积为 2 3，求 ABC的周长.
1
20．（12分）如图，在 ABC中，已知 AB 2，AC 4， BAC 60 ，M ，N分别为 AC，BC上的两点 AN AC，
2
BM 1 BC， AM ， BN 相交于点 P．
3
(1)求 AM 的值；
(2)求证： AM PN．
1
21.（12 2分）如图，四边形 ABCD为梯形， AB//CD， AB 2CD 6 2， tan A ，cos ADB ．
2 3
试卷第 3页，共 4页
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(1)求 cos BDC的值；
(2)求BC的长．
π
22 π．（12分）如图，在四边形 ABCD中， DAB ， B ，且 ABC的外接圆半径为 4.
2 6
(1)若 BC 4 2， AD 2 2，求 ACD的面积；
2π
(2)若D ，求 BC AD的最大值.
3
试卷第 4页，共 4页
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答案第 1页，共 1页
{#{QQABJQKAogiAAJAAABhCEQVACAGQkAGCCAoGxBAMMAIByRNABAA=}#}参考答案：
一、单选题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
1．D
2．B
3．B
4．C
5、B
6、D
7．D
8、C
二、多选题本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分．
9．BCD
10．CD
11．CD
12．AD
三填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
5
13． a
11
b
3 18
14．5
15． 6
16 ． 2 3
7 , 1
2 2
四、解答题
17．(1)19 8i；
1 3(2) i .
4
（1）由 z1 1 ai, z2 3 4i，得 z1 z2 4 4 a i ，而 z1 z2 是实数，
于是 4 a 0，解得 a 4，......................................3分
所以 z1 z2 1 4i 3 4i 19 8i ......................................5分
答案第 1页，共 5页
{#{QQABJQKAogiAAJAAABhCEQVACAGQkAGCCAoGxBAMMAIByRNABAA=}#}
z1 1 ai 1 ai 3 4i 3 4a 4 3a i
（2）依题意， z2 3 4i 3 4i 3 4i 25
是纯虚数，..........7分
3 4a 0 3
因此 ，解得 a ，...........................9分
4 3a 0 4
所以 z
3
1 1 i．.....................10分4
18．(1)证明见解析
(2) k 1 .
【详解】（1）证明：因为 AB e1 e2 ，
BD BC CD 2e1 8e 2 3 e1 e 2 5 e1 e 2 5AB ，----------------------------4 分
所以 AB，BD共线，-------------------------------------------------------------------------5 分
且有公共点 B，所以A， B，D三点共线.-------------------------------------------6 分
ur ur
（2）因为 ke1 e2 与 e1 ke2 共线，所以存在实数 ，使 ke1 e2 e1 ke2 ，----8 分
k 0
则 k e1 k 1 e2 ，又由于向量 e1 ， e2 不共线，只能有 ，------10分
k 1 0
解得： k 1-----------------------12分
π
19、（1）C
3
(2)12
【详解】（1）由已知及正弦定理得： 2cosC sin A cosB sin B cos A sinC ,
即2cosC sin A B sinC，---------------------------------------3 分
由sin A B sinC 0，故 2cosC·sinC sinC，----------------------5 分
cosC 1 ,因为C 0, π π，所以C .----------------------6分
2 3
（2）由已知得， S
1
ABC ab sinC 2 3，2
C π又 ， sinC 3 ，所以ab 8 ----------------------8分
3 2
由余弦定理得： a2 b2 2ab cosC c2 25，
2
所以 a2 b2 33，从而 a b 49，
即a b 7 ,----------------------11分
答案第 2页，共 5页
{#{QQABJQKAogiAAJAAABhCEQVACAGQkAGCCAoGxBAMMAIByRNABAA=}#}
∴ ABC周长为 a b c 12．----------------------12分
20．(1) 4 3
3
(2)证明见解析
1
【详解】（1）因为 BM BC，
3
所以 AM AB BM AB
1
BC 1 AB AC AB3 3
2 1
AB AC，--------3分
3 3
2 2 1
2
4 2 4 2AM AB AC AB AB AC 1 AC 4 4 4 2 4 1 1 16所以 16 ，
3 3 9 9 9 9 9 2 9 3
AM 4 3所以 ；------------------------------------------------------------6 分
3
1
（2）因为 AN AC，
2
1
所以 BN BA AN AB AC，-------------------------------------------8 分
2
2 1 1 2 2 1 2 2 1
所以 AM BN AB AC AB AC AB AC 4 16 0
3 3 2 3 6 3 6
，-----11分
所以 AM BN，即 AM BN，所以 AM PN．-------------12分
21 6．(1)
9
(2)BC 33
1 tan A sin A 2 3【详解】（ ）因为 ，且 sin2 A cos2 A 1，解得 sin A ，
cos A 2 3
cos A 6 ．-------2 分
3
而cos ADB
1
，所以
3 sin
2 2
ADB 1 cos 2 ADB ，------3 分
3
所以 cos ABD cos( A ADB) cos( A ADB)
(cos Acos ADB sin Asin ADB)
6 1 3 2 2 6
------5分
3 3 3 3 9
6
因为 AB//CD，所以 BDC ABD，所以 cos BDC cos ABD ------6 分．
9
BD AB
（2）在△ABD中，由正弦定理得 ，
sin A sin ADB
AB sin A
因为 AB 6 2 ，所以 BD 3 3．------9 分sin ADB
在△CBD中，由余弦定理得
答案第 3页，共 5页
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BC 2 BD2 CD2 2BD CD cos BDC
27 18 2 3 3 3 2 6 33 ，
9
所以 BC 33．------12分
22．(1)4；
(2) 8 3 .
3
π AC
【详解】（1）因为 B ， ABC的外接圆半径为 4，所以 8，解得 AC 4 .-----2分
6 sin B
在 ABC BC 4 2中， BC 4 2，则 8 2，解得 sin CAB .
sin CAB sin CAB 2
π
又 CAB
0, π ，所以 CAB ；-----4 分
2 4
π π
在 ACD中， AC 4， DAC CAB ， AD 2 2，
2 4
S 1 2所以 ACD 4 2 2 4 .-----6分2 2
（2）设 DAC ， 0,
π
3 .
又D
2π
，所以 ACD
π
3 3
π π
因为 DAB ，所以 CAB ..-----7分
2 2
AC AD
在△DAC中， AC 4，由正弦定理得 ，
sinD sin ACD
4 AD
AD 8 3π sin π 8 3
3 1
即 3 sin ，解得 cos sin
2 3
3 3 3 2 2
4cos 4 3 sin ..-----8 分
3
AC BC
在 ABC中， AC 4，由正弦定理得 ，
sin B sin CAB
4 BC
1 即 sin π BC 8sin
π
，解得 8cos ，.-----9 分
2 2
2
所以 BC AD 4 cos
3
sin 8 3 π sin
..-----10分
3 3 3
又
0,
π
，所以
π π 2π
,
3 3
，
3 3
π π
π
当且仅当 ，即
π
时， sin
取得最大值 1，.-----11分3 2 6 3
答案第 4页，共 5页
{#{QQABJQKAogiAAJAAABhCEQVACAGQkAGCCAoGxBAMMAIByRNABAA=}#}
所以 BC AD 8 3的最大值为 ..-----12分
3
答案第 5页，共 5页
{#{QQABJQKAogiAAJAAABhCEQVACAGQkAGCCAoGxBAMMAIByRNABAA=}#}
