第二单元《二次函数》 复习试题 2023--2024学年北师大版九年级数学下册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二单元《二次函数》 复习试题 2023--2024学年北师大版九年级数学下册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 707.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-15 19:05:10 | ||
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文档简介
北师大版数学九年级下第二单元《二次函数》复习试题
一．选择题（共10小题）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法正确的是（ ）
A．c＝﹣3
B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
C．x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）
2．把二次函数y＝（x﹣3）2+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+4 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝（x﹣2）2+8 D．y＝（x﹣4）2+8
3．A（3，1）和B（m，1）是抛物线y＝a（x+1）2+k上的点，则A、B两点之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．已知A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是二次函数y＝﹣x2+3x﹣1+k图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
5．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x的部分取值和对应的函数值y如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3
下列说法中正确的个数有（ ）
①函数图象开口向上；
②函数图象与y＝﹣3的交点坐标是（0，﹣3）、（2，﹣3）；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④顶点坐标是（1，﹣4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列说法正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球的飞行高度可以达到25m
D．小球从飞出到落地要用4s
8．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元
9．在研究函数图象的性质时，若将自变量x变为|x|，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图象变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象，则对于y＝﹣x2+2|x|+3，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．﹣3＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）≤4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．若抛物线y＝x2﹣3x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是 ．
12．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ ．
13．若函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为 ．
14．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1＝﹣+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S＝ ．
15．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BP⊥y轴交抛物线于点C，，则△ACP的面积是 ．
16．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是 ．
17．如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF，则夜景灯带EF的长是 m．
18．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 ．
三．解答题（共10小题）
19．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．
20．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
21．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标；
（2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
22．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）当每盒产品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
23．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由．
24．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，抛物线的顶点为D．
（1）用a的代数式表示C、D的坐标；
（2）当四边形ABDC的面积21时，求该函数解析式；
（3）当△BCD为直角三角形时，求a的值．
25．如图，已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．与y轴交于点C（0，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出当PB+PC最小时点P的坐标；
（3）若抛物线上有一动点Q，Q点在直线AC的下方，当使△ACQ的面积最大时，求Q点坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是抛物线上的点且在第二象限，过M作MN⊥AC于N，求AN+MN的最大值．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使∠DCE等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．B．
2．B．
3．D．
4．A．
5．B．
6．D．
7．D．
8．B．
9．C．
10．D．
二．填空题（共8小题）
11．3．
12．3．
13．﹣1或0．
14．4．
15．12．
16．厘米．
17．．
18．﹣2或．
三．解答题（共10小题）
19．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．
解：（1）由题意知，抛物线经过点，，（0，4），即（﹣3，1），（3，1），（0，4），
设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
则，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）将y＝1.57代入，得，
解得x＝±2.7，
∵小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，
∴x＝﹣2.7，﹣2.7﹣（﹣3）＝0.3（m），
∴小明离甲的水平距离为0.3m．
20．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
解：（1）设y＝kx+b，
当25≤x≤35时，把（25，200），（35，100）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣10x+450；
当35＜x≤50时，把（35，100），（50，40）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣4x+240；
综上所述，y＝；
（2）设销售利润为W元，则：
①当25＜x＜35时，
W＝（x﹣25）（﹣10x+450）＝﹣10（x﹣35）2+1000，
∴x＝35 时，Wmax＝1000元；
②当35＜x＜50时，
W＝（x﹣25）（﹣4x+240）＝﹣4（x﹣42.5）2+1225，
∵x为整数，
∴x＝42或43时，W取最大值，Wmax＝1224元，
∵1224＞1000，
∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元；
（3）由（2）知，当25≤x≤35时，该商品每天的最大销售利润为1000元；
∴只有在35≤x≤50时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
∴﹣4（x﹣42.5）2+1225≥1200，
∴40≤x≤45．
21．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标；
（2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），
代入表达式，得﹣9+2×3+m＝0，
解得m＝3，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
在y＝﹣x2+2x+3中，
当y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（﹣1，0）；
（2）如图，当点D在x轴上方时，连接BD，AD，过点D作DE⊥AB于点E．
∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3）．
当S△ABD＝S△ABC时，OC＝DE＝3，
当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，
解得x＝0或x＝2，
∴点D的坐标为（2，3）．
当点D在x轴下方时，﹣x2+2x+3＝﹣3，
解得或，
∴点D的坐标为或．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（2，3）或或．
22．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）当每盒产品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，
根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当x＝70时，每天的利润最大，最大利润为16000元，
答：当每盒产品的售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是16000元．
23．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由．
解：（1）设抛物线的解析式为 y＝a（x+2）（x﹣4），
又过A（0，4），
则4＝a（0+2）（0﹣4），
则．
即，
即；
（2）如图1，过点P作 PD⊥轴于点D，交BC于点E，作PH⊥BC 于点H，连接 PB、PC，
∵B（4，0）、C（0，4），
则OB＝OC＝4，，
由点B、C的坐标得，直线BC解析式为 y＝﹣x+4，
∴，E（t，﹣t+4），
∴．
∴×4＝﹣t2+4t，
又，
∴．
∴，
则，
∴当 t＝2 时，；
（3）存在，理由：
设点M（x，0）、点N（s，t），
当AC为对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：
，解得：，
即点N的坐标为：（﹣5，4）；
当AM或AN为对角线，由中点坐标公式和AC＝AN或AC＝AM得：
或，
解得：或，
即点N的坐标为：（±2，4）或（0，﹣4）；
综上，N1（0，﹣4）或或或N4（﹣5，4）．
24．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，抛物线的顶点为D．
（1）用a的代数式表示C、D的坐标；
（2）当四边形ABDC的面积21时，求该函数解析式；
（3）当△BCD为直角三角形时，求a的值．
解：（1）令x＝0，则y＝﹣4a，
∴C（0，﹣4a）；
令y＝0，则ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4．
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
∴抛物线的对称轴为：直线x＝，
将x＝代入解析式得：y＝﹣．
∴D（，﹣）；
（2）连接OD，
则S四边形ABDC＝S△AOC+S△COD+S△BOD＝2a+3a+＝21，
解得：a＝，
∴；
（3）①当∠CDB＝90°时，过D作DE∥x轴，交y轴于点E，过B作BF⊥DE，垂足为F．
∵∠EDC+∠FDB＝90°，∠FDB+∠DBF＝90°，
∴∠EDC＝∠DBF，
∵∠CED＝∠DFB＝90°，
∴△CDE∽△DBF，
∴，即，
解得：a＝（负值舍去）；
②当∠DCB＝90°时，如下图，
同理可得：△BOC∽△CED，
∴，即，
解得：a＝（负值舍去）．
综上，a＝或．
25．如图，已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．与y轴交于点C（0，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出当PB+PC最小时点P的坐标；
（3）若抛物线上有一动点Q，Q点在直线AC的下方，当使△ACQ的面积最大时，求Q点坐标．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
即抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点P为抛物线的对称轴上的一动点，点A和点B关于直线x＝﹣1对称，
∴PA＝PB，则PB+PC＝PA+PC
∵两点之间线段最短，
∴连接点A和点C与直线x＝﹣1的交点就是使得PB+PC最小时的点P，如图1，
设过点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3）的直线解析式为y＝kx+m，
得：，
解得：，
即直线AC的函数解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）设Q（t，t2+2t﹣3），过点Q作QD∥y轴，交AC于D，如图2，则D（t，﹣t﹣3），
∴DQ＝（﹣t﹣3）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t，
则S△ACQ＝S△ADQ+S△CDQ＝DQ （xQ﹣xA）+DQ （xC﹣xQ）＝DQ （xC﹣xA），
∴S△ACQ＝×[0﹣（﹣3）]（﹣t2﹣3t）＝﹣（﹣3＜t＜0），
∵，
∴当时，S△ACQ有最大值，此时yQ＝＝，
即：此时点Q的坐标为．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．
解：（1）点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
∴点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），点A的坐标为（1，0），点D的坐标为 （0，1），
将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴这条抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在抛物线对称轴上存在一点N，使得△ANC的周长最小；理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
连接BC，交抛物线对称轴点N，如图1所示，
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴AN＝BN，
∴AN+CN＝BN+CN，
∴当点B，C，N三点共线时，BN+CN取得最小值，即△ANC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点N（﹣1，﹣2）时△ANC的周长最小；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，
∵A（1，0），D（0，1），
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+1，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，得：
，
解得：，，
∴点M的坐标为（﹣4，5），
过点P作PE⊥x轴，交直线AD于点E，如图2所示，
设点P的坐标为（m，m2+2m﹣3）（﹣4＜m＜1），则点E的坐标为（m，﹣m+1），
∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△APM＝S△APE+S△MPE，
＝，
＝，
∴S△APM＝＝，
∵，
∴当时，△AMP的面积取最大值，最大值为，
∴当△AMD面积最大时，点P的坐标为，面积最大值为．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是抛物线上的点且在第二象限，过M作MN⊥AC于N，求AN+MN的最大值．
解：（1）根据题意得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）过M作MT⊥x轴于T，交AC于K，如图：
∵A（﹣2，0）、C（0，2），
∴OA＝2，OC＝2，直线AC解析式为y＝x+2，
∴tan∠OAC＝＝＝，
∴∠OAC＝30°，
∵∠ATK＝90°＝∠MNK，∠AKT＝∠MKN，
∴∠M＝∠OAC＝30°，
∴AK＝2KT，KN＝MK，MN＝MK，
设M（m，﹣m2﹣m+2），则K（m，m+2），
∴KT＝m+2，MK＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）＝﹣m2﹣2m，
∴AK＝2KT＝m+4，KN＝MK＝﹣m2﹣m，MN＝MK＝﹣m2﹣3m，
∴AN+MN
＝AK+KN+MN
＝m+4﹣m2﹣m﹣m2﹣3m
＝﹣2m2﹣m+4
＝﹣2（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，AN+MN的最大值为．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使∠DCE等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx+2，
则﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
则抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）如图所示，过D作DG⊥x轴，垂足为G点，与BC交于K点，
设D（m，n）（其中m＞0，n＞0），则n＝﹣m2+m+2．
∴K（m，2﹣m），
∴DK＝n﹣2+m，
∴S△BCD＝S△CDK+S△BDK＝4×（n﹣2+m）＝2n﹣4+m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4≤4，
当△BCD的面积最大4时，m＝2，
此时，点D（2，3）；
（3）存在，理由：
当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，如下图所示．
∵OC＝OF，OB⊥CF，
∴∠ABC＝∠ABF，
∴∠CBF＝2∠ABC．
∵∠DCB＝2∠ABC，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴CD∥BF．
∵点B（4，0），F（0，﹣2），
∴直线BF的解析式为y＝x﹣2，
∴直线CD的解析式为y＝x+2．
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：x+2＝﹣x2+x+2，
解得：x＝0（舍去）或2，
即点D（2，3）．
一．选择题（共10小题）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法正确的是（ ）
A．c＝﹣3
B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
C．x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）
2．把二次函数y＝（x﹣3）2+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+4 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝（x﹣2）2+8 D．y＝（x﹣4）2+8
3．A（3，1）和B（m，1）是抛物线y＝a（x+1）2+k上的点，则A、B两点之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．已知A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是二次函数y＝﹣x2+3x﹣1+k图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
5．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x的部分取值和对应的函数值y如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3
下列说法中正确的个数有（ ）
①函数图象开口向上；
②函数图象与y＝﹣3的交点坐标是（0，﹣3）、（2，﹣3）；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④顶点坐标是（1，﹣4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列说法正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球的飞行高度可以达到25m
D．小球从飞出到落地要用4s
8．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元
9．在研究函数图象的性质时，若将自变量x变为|x|，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图象变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象，则对于y＝﹣x2+2|x|+3，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．﹣3＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）≤4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．若抛物线y＝x2﹣3x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是 ．
12．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ ．
13．若函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为 ．
14．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1＝﹣+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S＝ ．
15．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BP⊥y轴交抛物线于点C，，则△ACP的面积是 ．
16．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是 ．
17．如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF，则夜景灯带EF的长是 m．
18．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 ．
三．解答题（共10小题）
19．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．
20．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
21．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标；
（2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
22．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）当每盒产品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
23．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由．
24．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，抛物线的顶点为D．
（1）用a的代数式表示C、D的坐标；
（2）当四边形ABDC的面积21时，求该函数解析式；
（3）当△BCD为直角三角形时，求a的值．
25．如图，已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．与y轴交于点C（0，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出当PB+PC最小时点P的坐标；
（3）若抛物线上有一动点Q，Q点在直线AC的下方，当使△ACQ的面积最大时，求Q点坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是抛物线上的点且在第二象限，过M作MN⊥AC于N，求AN+MN的最大值．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使∠DCE等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．B．
2．B．
3．D．
4．A．
5．B．
6．D．
7．D．
8．B．
9．C．
10．D．
二．填空题（共8小题）
11．3．
12．3．
13．﹣1或0．
14．4．
15．12．
16．厘米．
17．．
18．﹣2或．
三．解答题（共10小题）
19．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．
解：（1）由题意知，抛物线经过点，，（0，4），即（﹣3，1），（3，1），（0，4），
设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
则，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）将y＝1.57代入，得，
解得x＝±2.7，
∵小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，
∴x＝﹣2.7，﹣2.7﹣（﹣3）＝0.3（m），
∴小明离甲的水平距离为0.3m．
20．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
解：（1）设y＝kx+b，
当25≤x≤35时，把（25，200），（35，100）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣10x+450；
当35＜x≤50时，把（35，100），（50，40）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣4x+240；
综上所述，y＝；
（2）设销售利润为W元，则：
①当25＜x＜35时，
W＝（x﹣25）（﹣10x+450）＝﹣10（x﹣35）2+1000，
∴x＝35 时，Wmax＝1000元；
②当35＜x＜50时，
W＝（x﹣25）（﹣4x+240）＝﹣4（x﹣42.5）2+1225，
∵x为整数，
∴x＝42或43时，W取最大值，Wmax＝1224元，
∵1224＞1000，
∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元；
（3）由（2）知，当25≤x≤35时，该商品每天的最大销售利润为1000元；
∴只有在35≤x≤50时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
∴﹣4（x﹣42.5）2+1225≥1200，
∴40≤x≤45．
21．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标；
（2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），
代入表达式，得﹣9+2×3+m＝0，
解得m＝3，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
在y＝﹣x2+2x+3中，
当y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（﹣1，0）；
（2）如图，当点D在x轴上方时，连接BD，AD，过点D作DE⊥AB于点E．
∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3）．
当S△ABD＝S△ABC时，OC＝DE＝3，
当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，
解得x＝0或x＝2，
∴点D的坐标为（2，3）．
当点D在x轴下方时，﹣x2+2x+3＝﹣3，
解得或，
∴点D的坐标为或．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（2，3）或或．
22．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）当每盒产品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，
根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当x＝70时，每天的利润最大，最大利润为16000元，
答：当每盒产品的售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是16000元．
23．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由．
解：（1）设抛物线的解析式为 y＝a（x+2）（x﹣4），
又过A（0，4），
则4＝a（0+2）（0﹣4），
则．
即，
即；
（2）如图1，过点P作 PD⊥轴于点D，交BC于点E，作PH⊥BC 于点H，连接 PB、PC，
∵B（4，0）、C（0，4），
则OB＝OC＝4，，
由点B、C的坐标得，直线BC解析式为 y＝﹣x+4，
∴，E（t，﹣t+4），
∴．
∴×4＝﹣t2+4t，
又，
∴．
∴，
则，
∴当 t＝2 时，；
（3）存在，理由：
设点M（x，0）、点N（s，t），
当AC为对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：
，解得：，
即点N的坐标为：（﹣5，4）；
当AM或AN为对角线，由中点坐标公式和AC＝AN或AC＝AM得：
或，
解得：或，
即点N的坐标为：（±2，4）或（0，﹣4）；
综上，N1（0，﹣4）或或或N4（﹣5，4）．
24．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，抛物线的顶点为D．
（1）用a的代数式表示C、D的坐标；
（2）当四边形ABDC的面积21时，求该函数解析式；
（3）当△BCD为直角三角形时，求a的值．
解：（1）令x＝0，则y＝﹣4a，
∴C（0，﹣4a）；
令y＝0，则ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4．
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
∴抛物线的对称轴为：直线x＝，
将x＝代入解析式得：y＝﹣．
∴D（，﹣）；
（2）连接OD，
则S四边形ABDC＝S△AOC+S△COD+S△BOD＝2a+3a+＝21，
解得：a＝，
∴；
（3）①当∠CDB＝90°时，过D作DE∥x轴，交y轴于点E，过B作BF⊥DE，垂足为F．
∵∠EDC+∠FDB＝90°，∠FDB+∠DBF＝90°，
∴∠EDC＝∠DBF，
∵∠CED＝∠DFB＝90°，
∴△CDE∽△DBF，
∴，即，
解得：a＝（负值舍去）；
②当∠DCB＝90°时，如下图，
同理可得：△BOC∽△CED，
∴，即，
解得：a＝（负值舍去）．
综上，a＝或．
25．如图，已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．与y轴交于点C（0，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出当PB+PC最小时点P的坐标；
（3）若抛物线上有一动点Q，Q点在直线AC的下方，当使△ACQ的面积最大时，求Q点坐标．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
即抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点P为抛物线的对称轴上的一动点，点A和点B关于直线x＝﹣1对称，
∴PA＝PB，则PB+PC＝PA+PC
∵两点之间线段最短，
∴连接点A和点C与直线x＝﹣1的交点就是使得PB+PC最小时的点P，如图1，
设过点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3）的直线解析式为y＝kx+m，
得：，
解得：，
即直线AC的函数解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）设Q（t，t2+2t﹣3），过点Q作QD∥y轴，交AC于D，如图2，则D（t，﹣t﹣3），
∴DQ＝（﹣t﹣3）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t，
则S△ACQ＝S△ADQ+S△CDQ＝DQ （xQ﹣xA）+DQ （xC﹣xQ）＝DQ （xC﹣xA），
∴S△ACQ＝×[0﹣（﹣3）]（﹣t2﹣3t）＝﹣（﹣3＜t＜0），
∵，
∴当时，S△ACQ有最大值，此时yQ＝＝，
即：此时点Q的坐标为．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．
解：（1）点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
∴点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），点A的坐标为（1，0），点D的坐标为 （0，1），
将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴这条抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在抛物线对称轴上存在一点N，使得△ANC的周长最小；理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
连接BC，交抛物线对称轴点N，如图1所示，
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴AN＝BN，
∴AN+CN＝BN+CN，
∴当点B，C，N三点共线时，BN+CN取得最小值，即△ANC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点N（﹣1，﹣2）时△ANC的周长最小；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，
∵A（1，0），D（0，1），
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+1，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，得：
，
解得：，，
∴点M的坐标为（﹣4，5），
过点P作PE⊥x轴，交直线AD于点E，如图2所示，
设点P的坐标为（m，m2+2m﹣3）（﹣4＜m＜1），则点E的坐标为（m，﹣m+1），
∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△APM＝S△APE+S△MPE，
＝，
＝，
∴S△APM＝＝，
∵，
∴当时，△AMP的面积取最大值，最大值为，
∴当△AMD面积最大时，点P的坐标为，面积最大值为．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是抛物线上的点且在第二象限，过M作MN⊥AC于N，求AN+MN的最大值．
解：（1）根据题意得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）过M作MT⊥x轴于T，交AC于K，如图：
∵A（﹣2，0）、C（0，2），
∴OA＝2，OC＝2，直线AC解析式为y＝x+2，
∴tan∠OAC＝＝＝，
∴∠OAC＝30°，
∵∠ATK＝90°＝∠MNK，∠AKT＝∠MKN，
∴∠M＝∠OAC＝30°，
∴AK＝2KT，KN＝MK，MN＝MK，
设M（m，﹣m2﹣m+2），则K（m，m+2），
∴KT＝m+2，MK＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）＝﹣m2﹣2m，
∴AK＝2KT＝m+4，KN＝MK＝﹣m2﹣m，MN＝MK＝﹣m2﹣3m，
∴AN+MN
＝AK+KN+MN
＝m+4﹣m2﹣m﹣m2﹣3m
＝﹣2m2﹣m+4
＝﹣2（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，AN+MN的最大值为．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使∠DCE等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx+2，
则﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
则抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）如图所示，过D作DG⊥x轴，垂足为G点，与BC交于K点，
设D（m，n）（其中m＞0，n＞0），则n＝﹣m2+m+2．
∴K（m，2﹣m），
∴DK＝n﹣2+m，
∴S△BCD＝S△CDK+S△BDK＝4×（n﹣2+m）＝2n﹣4+m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4≤4，
当△BCD的面积最大4时，m＝2，
此时，点D（2，3）；
（3）存在，理由：
当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，如下图所示．
∵OC＝OF，OB⊥CF，
∴∠ABC＝∠ABF，
∴∠CBF＝2∠ABC．
∵∠DCB＝2∠ABC，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴CD∥BF．
∵点B（4，0），F（0，﹣2），
∴直线BF的解析式为y＝x﹣2，
∴直线CD的解析式为y＝x+2．
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：x+2＝﹣x2+x+2，
解得：x＝0（舍去）或2，
即点D（2，3）．