2024 年初三年级质量检测
数学(4月)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷为 1-10 题，共 30 分，第 II 卷
为 11-22 题，共 70 分。全卷共计 100 分。考试时间共 90 分钟。
注意事项:
1、答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答
题卡指定位置。
2、选择题答案，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动请用 2B 橡皮
擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。非选择题，答题不能超出题目指定区域。
3、考试结束，监考人员将答题卡收回。
第 I 卷(本卷共计 30 分)
一，选择题:(每小题只有一个选项符合题意，15 小题，每小题 2 分，共计 30 分)
1.下列四个数中,属于无理数的是（***）
A.0 B.1.33 C. D.
2.下列运算正确的是（***）
A.3x-x=3 B. 2a+4a=6a2 C. 4xy - 3xy=xy D. 2a+3b=5ab
3.如图所示,已知直线 a∥b,∠1=110°,∠2=62° ，则∠3 的度数为（***）
A.48° B.49° C.50° D.52°
4.下列变形,正确的是（***）
A．由 3x+6=23- 2x，移项,得 3x -2x=23+6
B.由 2x-（x+10）=5x，去括号，得 2x-x+10=5x
C.由 4x-7x+2x=3，合并同类项，得-x=3
D 3x=3 - 、由 ，去分母得 9x=3 -(2x-1)
5. 春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为 3 亿元，第二、三天单日票房持续增
长，三天累计票房 9.63 亿元,若第二、三天单日票房增长率相同,设平均每天票房的增长率为
x,则根据题意，下列方程正确的是（***）
A.3 (1+x) =9.63 B.3(1+x)2=9.63
C.3(1+x) +3(1+x) 2=9.63 D.3+3(1+x) +3(1+x) 2=9.63
6.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时，电流 I(单位:A）与电阻 R(单位:)是反比例函数关
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系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（***）
A.函数解析式为 I= B.蓄电池的电压是 18V
C.当 R=6Ω时,I=4A D.当 I≤10A 时,R≥3.6Ω
7.某校八年级学生参加体质健康测试，有一组 9 个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据
所示,则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（***）
A.众数是 58，中位数是 48 B.众数是 58，中位数是 52
C.众数是 50，中位数是 48 D.众数是 50，中位数是 52
8.如图,在△ABC 中，AB=AC,∠BAC=36°，以点 B 为圆心，以 BC 为半径作弧交 AB 于点 D,
再分别以 C,D , 为圆心 以大于 CD 长为半径作弧，两弧相交于点 E作射线 BE 交 AC 于点 F
连接 DF．以下结论不正确的是（***）
A. AD=CF B. BC=AF C.∠ABE=36° D.∠CFD=108°
9.西周数学家商高总结了用“矩”(如图 1)测量物高的方法:把矩的两边放置成如图 2 的位置，
从矩的一端 A(人眼)望点 E，使视线通过点 C，记人站立的位置为点 B,量出 BG 长，即可算得
物高 EG.令 BG=x(m)，EG=y(m)，若 a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则 y 关于 x 的函数表达式
为(***)
10.平面直角坐标系中,点 A 在 x轴上,以 OA 为边向 x 轴下方作 RT△OAB,∠0AB=30°,
∠OBA=90°,将抛物线 y = x2-4x-2 向上平移 m(m>0)个单位，使平移后得到的抛物线顶点落
在△0AB 内部(不包括△OAB 边界)，点 A 的坐标为(6,0),则 m 的取值范围是(***)
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第 II 卷(本卷共计 70 分)
二.填空题:(每小题 3 分，共计 15 分)
11.分解因式:x2-4x+4=___________
12.关于 x 的不等式 4x-3>x 的解是___________
13.两个边长为 2 的正六边形按如图方式放置，则 A 点的坐标是___________
14.如图所示，扇形 AOB 的圆心角是直角，半径为 3 ，C 为 0A 边上一点，将△BOC 沿 BC
边折叠，圆心 O 恰好落在弧 AB 上的点 D 处，则阴影部分的面积为___________
15.在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3 ，BC=4,点 D 在边 AC 上，CD= ，连接 BD，过点 A 作
AE⊥BD 于点 E，且 AE 的延长线交 BC 边于点 F,则 BF=________
三，解答题: (共 7 题，共计 55 分)
16. (5 分)解方程组:
2x y = 4
(x + 2 = 2(y 1)
17.(7 分)深圳外环高速公路一期工程正式建成通车，从宝安横跨光明龙华、穿越东莞凤岗、
直达龙岗，全程最快只要 40 分钟。周末李叔叔驾车出去游玩，途经芙蓉收费站和玉律收费
站，芙蓉收费站有人工通道 A、混合通道 B 和 ETC 通道 C 三条通道;玉律收费站有人工通道
D、混合通道 E、混合通道 F 和 ETC 通道 G 四条通道.(不考虑其他因素).
(1)途经芙蓉收费站时，李叔叔所选通道是“ETC 通道 C”的概率为
(2)用列表或画树状图的方法，求李叔叔途经芙蓉收费站和玉律收费站都选 ETC 通道的概率.
18. (8 分)电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电
的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标，高速路况状态下，电动车
的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续
航里程与速度的关系，进行了如下的探究:
下面是他们的探究过程，请补充完整:
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(1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据:
则设__▲_为 y,__▲_为 xy 是 x 的函数;
(2)建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函
数的图象;
(3)结合画出的函数图象，下列说法正确的有_________
①y 随 x 的增大而减小;
②当汽车的速度在 60 千米/小时左右时，汽车的续航里程最大;
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小.
(4)若想要该车辆的续航里程保持在 460 千米以上，该车的车速大约控制在_______至______
千米/小时范围内。
19. (8 分)某店有 A、B 两种熊猫玩偶，已知每个 A 款熊猫玩偶的售价是每个 B 款熊猫玩偶售
价的 倍，顾客用 150 元购买 A 款熊猫玩偶的数量比用 150 元购买 B 款熊猫玩偶的数量少 1
个.
(1)求每个 B 款熊猫玩偶的售价为多少元
(2)经统计，该店每月卖出 A 款熊猫玩偶 100 个，每个 A 款熊猫玩偶的利润为 16 元.为了
尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施.调查发现，每个 A 款熊猫玩偶的售价每降低
2 元，那么平均每月可多售出 20 个.该店想每月销售 A 款熊猫玩偶的利润达到 1200 元，每
个 A 款熊猫玩偶应降价多少元
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20. (8 分) 如图，在等腰△ABC 中，AB= BC, BO 平分∠ABC,过点 A 作 AD// BC 交 BO 的延长
线于 D,连接 CD,过点 D 作 DE⊥BD 交 BC 的延长线于 E。
(1)判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由;
(2)若 DE=10，sin ∠DA0 = ，求四边形 ABCD 的面积。
21.(9 分)【项目式学习】
项目主题:设计落地窗的遮阳篷
项目背景:小明家的窗户朝南，窗户的高度 AB=2m，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬
的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务。
方案 1:直角形遮阳篷
如图 1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷 BCD，点 C 在 AB 的延长线上 CD⊥AC
(1) 若 BC=0.5m，CD=1m，则支撑杆 BD= m.
(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图 2，他观察到此地一年中的正午时刻,
太阳光与地平面的最小夹角为 a,最大夹角为β。小明查阅资料,计算出 tana= ，tanβ= ，
为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与 BD 平行)，又能最大限
度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与 AD 平行).请求出图 2 中 BC,CD 的长度.
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方案 2:抛物线形遮阳篷
(3)如图 3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将 CD 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷(F
为抛物线的顶点，DF 段可伸缩)，且∠CFD=90°，BC，CD 的长保持不变.若以 C 为原点，
CD 方向为 x 轴，BC 方向为 y 轴。①求该二次函数的表达式.②若某时刻太阳光与水平地面
夹角θ的正切值 tanθ= 使阳光最大限度地摄入室内，求遮阳蓬点 D 上升的高度最小值(即
点 D’到 CD 的距离)
22.(10 分)在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变
化规律和性质.
【操作探究】
(1)如图 1，已知△ABC，∠C=9O，将△ABC 绕着直角边 AC 中点 G 旋转，得到△DEF，当△
DEF 的顶点 D恰好落在△ABC 的斜边 AB 上时，斜边 DE 与 AC 交于点 H。
①猜想:∠ADC= _________
②证明:△DGH≌△ADH.
【问题解决】
(2)在(1)的条件下，已知 AC=4，BC=3,求 CH 的长.
【拓展提升】
(2) 如图 2，在菱形 ABCD 中，AC=8, BD=6, 将菱形 ABCD 绕着 AB 中点 M 顺时针旋转，得
到菱形 EFGH，当菱形 EFGH 的顶点 E分别恰好落在菱形 ABCD 的 AD 边和对角线 BD上时,
菱形 EFGH 的边与 BC 边相交于点 N, 请直接写出 BN 的长
初三数学 第 6 页 共 6 页2024年（4 月）初三年级质量检测 数学
参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C D D D D B B
二、填空题
题号 11 12 13 14 15
2 1
答案 (x 2)2 x > 1 (2 3,4) 9 3
三、解答题
2 耀 ……………①
16. 解：
2 耀 2( 1)……………②
2 耀 ……………①
解：化简得， ………………1分
2 耀 ……………②
将②×2，得 2 -4 =-8,……………③
将③-①，得 3 =-12，y=4. ………………3分
耀
原方程组的解为： 耀 ………………5分1
17．（1）____3_____；…………………………………………………………………………3分
（2）解法一：
………………………………6分
共有 12种可能的结果，其中都选 ETC 通道的有 1种，
1
途径芙蓉收费站和玉率收费站都选 ETC 通道的概率为 .……………………………8分
12
解法二：
A B C
D (A,D) (B,D) (C,D)
E (A,E) (B,E) (C,E)
F (A,F) (B,F) (C,F)
G (A,G) (B,G) (C,G) …………6分
共有 12种可能的结果，其中都选 ETC 通道的有 1种，
1
途径芙蓉收费站和玉率收费站都选 ETC 通道的概率为 .……………………………8分
12
（备注：①解法一中，12种等可能结果没有列举出来不扣分，即“树状图”正确 3 分，最
后结论 2分；②解法二中，表格中没有结果表示，只作标记如只打√，扣 2 分）
18（1）解：（1） ∵y是 x的函数，
∴速度为 x，续航里程为 y.………………………2分（每空 1 分）
（2）该函数的图象如图所示：
………………4分
（3）②③．………………………6分（答案不完整不给分）
（4）根据图象可知：30，110．………………………8分(每空 1 分）
（备注：（2）问图像不平滑扣 1 分，（4）问第 2 空答案小于 120，大于 110 均可给分）
19.（1）解：设每个 B x A 款熊猫玩偶的售价 元，则每个 款熊猫玩偶的售价为 x元，
1 耀 由题意得 1 - 1，……………………………2分
解得：x＝25 ……………………………3分
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，……………………………4分
答：每台 B款电器的售价为 25元.
（2）每个 A款熊猫玩偶应降价 m元，
由题意得（16﹣m）（100+ ×20）＝1200，……………………………5分
整理得：m2﹣6m+40＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣4，……………………………7分
∵为了尽快减少库存，
∴m＝10.
答：每个 A款熊猫玩偶应降价 10元．……………………………8分
（备注：第（2）中解正确但没有舍根的情况，只扣 1 分；设未知数的表述、未作答或答的
表述不规范的情况，扣 1 分）
20.证明：（1）四边形 ABCD是菱形.
∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴AC⊥BD，AO=CO.
∵AD∥BE,
∴∠ADO＝∠CBO
∴△ADO ≌ △CBO(AAS) ……………………………………………………2分
∴AD＝BC,
∴四边形 ABCD是平行四边形. …………………………3分
∵AB＝BC，
∴四边形 ABCD是菱形. ……………4分
解：（2）∵OC∥DE,O是 BD的中点，
1 1
∴OC= DE耀 × 10=5. ……………………………5分
2 2
∵AD∥BE,
∴∠DAO＝∠BCO
∴sin∠ 耀 sin BCO 耀 ∠ ……………………………6分
设 BO=X,则 BC= X.
由 RT△BOC得,X2 2=( X)2
X= , ∴ 即 BO= ……………………………7分
2 2
∵四边形 ABCD是菱形
∴BD＝2BO＝5,AC＝2CO＝10
∴S 1ABCD＝ 耀
1×5×10＝25.………………………………………………8分
2 2
（备注：第（1）按步骤给分即可；第（2）问方法较多，按照步骤给分。）
声明：试题解析 721.解：（1 ）BD= m ……………………2分
2
解：（2）由题意得：CD ∥ AM,BD∥ AE, C= CAM=900，
∵CD ∥ AM，
∴ CDA= DAM=β，
∵BD ∥ AE，
∴ BDA= EAD，
E
∴ CDA- BDA= DAM- EAD，
∴ CDB= EAM=α，
在 RT△CBD 中， C=900，
∴tan 耀 tanα 耀 BC 耀 1，
CD 3
∴设 BC=x,CD=3x.
在 RT△ACD 中， C=900，
∴tan 耀 tanβ 耀 AC 耀 ，………………3分
CD 3
x 2
∴ = , ………………4分
3x 3
x耀 2解得 .
3
2
∴BC= m, CD= 2m. ………………5分
3
（备注：最后一步写错一个答案扣 1 分。）
解：（3）①由 F为抛物线顶点，可知 FC=FD,
∵∠CFD=900，
∴△FCD为等腰直角三角形.
由二次函数对称性可知，F(1,1)
设二次函数为 y 耀 ax(x 2)，代入 F(1,1)得
1=a(-1), 解得 a=-1
∴y关于 x的关系式为：y 耀 x(x 2) 耀 x2+2x ……………………………6分
②BD′光线与水平方向的夹角为θ，过 D′作 x轴的垂线交 x轴于点 E，
过 B作 y 2 轴的垂线，两条垂线交于点 H.即 tanθ= = .
3
设 D′H=2m,BH=3m，则点 D′(3m 2，2m- )，……………………………7分
3
y 耀 x(x 2) 2m 2代入 得 = 3m(3m-2)，化简得 2 m2-12m-2=0
3
解得，m1=
2 m, 1 2 =2 1 (答案不合理，舍去）……………………………8分
∴D′E=2 - 1 - -2
2 1 2
∴遮阳蓬点 D 上升的高度最小值为( - - - )m……………………………9分
22．（1） ① 900 ；……………………………1分
证明：②由旋转的性质可知，∠HDG＝∠HAD
∵∠AHD＝∠DHG，
∴△HDG∽△HAD ……………………………3分
解：（2）∵AC＝4，BC＝3，
由勾股定理得，AC＝ 32 2 耀5，
∵△DEF 的锐角顶点 D 恰好落在△ABC 的斜边 AB 上，
∴AG＝DG=GC，A、D、C在以 G 为圆心 AG 为半径的圆上.
∴∠ADC＝90°
∵cosA＝ ＝
∴ ＝
1
∴AD＝ ，……………………………4 分
∵△HDG∽△HAD
∴ ＝ ＝ ＝
设 GH＝5x，则 DH＝8x，AH＝5x+2
x
∴ ＝
x 2
1 1
解得 x＝ , 经检验，x＝ 是方程的解……………………………5分
3 3
12
∴AH＝5x+2＝
3
12 2
∴CH＝AC-AH=4- = . ……………………………6 分
3 3
3 1 11（ ） 和 .……………10分（备注：对 1个答案给 2 分。）
1
