2023-2024学年重庆十八中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年重庆十八中高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.设，是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于( )
A. B. C. D.
4.在中，若，且，那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
5.在中，在上，且，在上，且，若，则( )
A. B. C. D.
6.一海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，分仲后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
7.已知向量，集合，其中，，则( )
A. B.
C. 若，则为钝角 D. 若，则
8.已知点为三角形的重心，且，当取最大值时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. B. 向量在向量上的投影向量为
C. 与的夹角的余弦值为 D. 若，则
10.下列说法中正确的有( )
A.
B. 已知在上的投影向量为且，则
C. 若非零向量满足，则与的夹角是
D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是
11.中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是( )
A.
B. 若，则有两解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为边上的中点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，若，则 ______．
13.如图，在中，若，为边上一点，，，，则 ______．
14.设的面积为，，已知，，则函数的值域为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
化简函数；
若，求．
16.本小题分
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
若，且，求；
若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为．
求，的值；
求函数的单调增区间；
若方程在有两个根，求的取值范围．
18.本小题分
设的内角、、的对边分别为、、，已知．
证明：．
求的取值范围．
19.本小题分
十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点在费马问题中所求的点称为费马点已知，，分别是三个内角，，的对边，且，点为的费马点．
求角；
若，求的值；
若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则，，
．
故选：．
利用向量的坐标运算分别求出，，再利用数量积的坐标运算求解即可．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
则．
故选：．
由已知结合诱导公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，且，
，
，
，且，
．
故选：．
可知，然后对两边平方，进行数量积的运算即可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：已知，
则，
则，
即，
又，
则，
即，
即，
又，
即，
即，
即一定是等边三角形，
故选：．
由两角和的正弦公式，结合正弦定理求解即可．
本题考查了两角和的正弦公式，重点考查了正弦定理，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则
，
又，
所以，
则，
又，所以，，
则．
故选：．
根据平面向量的线性运算进行代换即可求得结论．
本题考查平面向量基本定理，考查向量的线性运算，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，
由已知可得，，
从而，
在中，由正弦定理，
可得海里．
故选：．
根据题意画出草图，确定、的值，进而可得到的值，根据正弦定理可得到的值．
本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由向量，
可得，
令，可得，
解得，
此时，所以，故A、B错误；
又由，可得，
所以为锐角，故C错误；
由向量，
可得，故D正确．
故选：．
根据题意，令，求得，得到，可判定、B错误；由，得到为锐角，可判定C错误；求得，可判定D正确．
本题考查平面向量基本定理，考查向量的数量积运算及集合的运算，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，
所以，
即，
所以，
所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，
所以当取最大值时，．
故选：．
由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解．
此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的坐标运算，向量的夹角，向量平行、垂直和向量的投影，属于基础题．
A.根据条件得到，再根据向量平行的性质判断与是否平行即可；
B.由数量积公式求得向量在向量上的投影数量，即可判断；
C.设与的夹角为，再用夹角公式求出夹角的的余弦值，即可判断；
D.由向量数量积的坐标运算，判断是否成立，即可判断．
【解答】
解：，
，因此不与平行，故A错误；
又，
向量在向量上的投影数量为
，所以投影向量为，故B正确；
，设与的夹角为，
则，故C错误；
若，则，
即，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，故A正确；
对于，因为在上的投影向量为，所以，
又，所以，则，故B正确；
对于，因为非零向量满足，
则，即有，
所以，又，
所以与的夹角的余弦值为，
又，可得与的夹角为，故C正确；
对于，因为，
所以，
当与平行时，，解得，
此时与的夹角不为锐角，故D错误．
故选：．
利用向量数量积的定义可判断；利用向量投影向量的定义可判断；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断；判断与平行时的取值可判断．
本题考查平面向量数量积的性质与运算，属中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，不等式的应用，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．
根据即可得出，从而求出，然后即可得出；可得出，从而得出有两解，判断出B正确；根据为锐角即可得出，然后根据正弦定理可得出，从而可求出的范围，从而可判断的正误；根据条件得出，进而可得出，由余弦定理可得出，然后可得出，从而可得出，从而可求出的最大值．
【解答】
解：对于，因为，所以，，又，所以，A错误；
对于，若，且，则，三角形有两解，B正确；
对于，若为锐角三角形，则，，所以，，，，C正确；
对于，若为边上的中点，则，，
又，，
，，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：平面向量，，
则，即，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：中，由正弦定理得，
解得，又，则，
设，则，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得
，
又因为，
则有，
解得，故BC．
故答案为：．
利用正弦定理解出，再利用，结合余弦定理即可求出结果．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，即，，
所以，
所以，
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，最小值为，
当，即时，取得最大值，最大值为．
故函数的值域为
故答案为：
由向量数量积公式和三角形面积公式得到，求出，三角恒等变换化简得到，结合的范围，结合正弦函数图象求出值域．
本题考查求含型函数的值域和最值，三角恒等变换的化简问题，三角形面积公式及其应用，用定义求向量的数量积，属于中档题．
15.【答案】解：；
因为，则，
所以．
【解析】利用诱导公式化简即可；
由题意求得，化齐次式为求解
本题主要考查了诱导公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或．
由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号．
所以．
设与夹角为，则此时．
【解析】先设，根据坐标求模公式，即可求解．
根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：图象上相邻的最高点与最低点的距离为且，
，即，，
又图象关于对称，
，，，，
又，．
，
由解得，
的单调增区间为．
当时，，
作出时的图象如下图：
若方程在有两个根，则．
即的取值范围为
【解析】根据相邻的最高点与最低点的距离为求得，根据图象关于对称求得．
由解得的单调增区间；
作出时的图象，观察图象得的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，正弦型定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明如下：
由，
则有，所以，
因为，所以，则为锐角．
所以，所以或，
则或，
由题意知，所以，所以．
由知，且，
由正弦定理，有，
即，
令，记，
在上单调递增．
即．
故的取值范围为．
【解析】利用二倍角公式及正弦的和角公式化简变形条件结合角的范围证明即可；
利用结论及正弦定理、三角恒等变换化简得，换元利用导数判定单调性求值域即可．
本题考查正弦定理，余弦定理，函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解，
，
，
，
又，，
，是三角形内角，，
，，
，又，，
设，
，三角形的三个角均小于，
根据题意可得，
又，
，
，
．
由，
，
，
由余弦定理可得，
同理可得，，
相加得，
又，，所以，
，，，，
所以，又，
故∽，所以，
故，即，
，
，当且仅当时等号成立，
又，所以，
，
令，则，所以，
由于函数均为上的单调递增函数．
为上的单调递增函数，
，进而．
即的取值范围是．
【解析】根据三角恒等变换及同角三角函数的关系求解；
根据余弦定理以及等面积法可得，即可根据数量积的定义求解，
根据余弦定理，结合的结论可得，进而根据三角形相似可得，由基本不等式以及三角形边角关系可得，即可由函数的单调性求解．
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了向量的数量积运算，考查了转化思想及函数思想，属于中档题．
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