2023-2024学年广东省惠州一中高一（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省惠州一中高一（下）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则实数等于( )
A. B. C. D.
2.复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设，则对任意实数、，“”是“”的条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
5.已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.在中，、、的对边分别是、、，若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若函数恰有两个零点，则实数的取值不可能为( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的函数，且关于直线对称当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
10.已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是( )
A.
B. 直线必过边的中点
C. ：：
D. 若，且，则
11.已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )
A.
B. 若，则函数的最小正周期为
C. 关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解
D. 若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合，，则集合的真子集个数为______．
13.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标如图，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新如图，为了测量科技馆最高点与其附近一建筑物楼顶之间的距离，无人机在点测得点和点的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行米到点，此时测得点和点的俯角分别为和在同一铅垂面内，则，两点之间的距离为______米
14.某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求向量；
若，且与垂直，求向量与向量的夹角的余弦值．
16.本小题分
中，已知点在边上，且，．
Ⅰ求的长；
Ⅱ求．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，．
若，，为边的中点，求中线的长度；
若为边上一点，且，：：，求的最小值．
18.本小题分
已知函数，，记
若，求实数的值
若存在，，使得，求实数的取值范围
若，对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由．
19.本小题分
对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由于，
所以．
故选：．
根据向量垂直列方程，化简求得的值．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故，
故．
故选：．
根据复数的四则运算，先对化简，再结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
直接利用辅助角公式把化积得答案．
本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
为奇函数，
时，，递增，
为增函数，
，，
，
，
，
反之也成立，
“”是“”的充要条件，
故选：．
已知函数，根据可知它是奇函数，然后由题意看命题“”与命题”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
此题主要考查利用函数的导数判断函数的单调性，还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．
5.【答案】
【解析】解：向量在向量上的投影向量为，
则，即，
，是夹角为的两个单位向量，
则，即，解得．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，，代入余弦定理可得：
，
当且仅当时取等号，所以．
故选：．
利用余弦定理，结合基本不等式即可得解．
本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：当时，，此时函数没有零点，选项A不合题意；
当时，，此时函数有两个零点为和，选项B满足题意；
当时，，此时函数有两个零点为和，选项C满足题意；
当时，，此时函数的零点为和，选项D满足题意．
故选：．
验证选项中的值，判断对应的函数是否恰有两个零点即可．
本题考查了分段函数零点的个数判断问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式恒成立问题，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，以及利用奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
根据对称性，先判断函数是偶函数，结合分段函数的表达式判断函数在上是减函数，结合函数的奇偶性和对称性的性质将不等式进行转化求解即可．
【解答】
解：关于直线对称，向右平移一个单位得到关于直线对称，即是偶函数，
当时，为减函数，且，
当时，由复合函数的单调性知为减函数，且，
即当时，为减函数，
对任意的，不等式恒成立，
等价为恒成立，
即恒成立，平方得，
得，
设，
任意的，，
，得，
得，得，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，取，则，，，故A错误；
对于，设，，则，
，
，，故B正确；
对于，结合复数模的性质可知，，故C正确；
对于，取，则，，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数模公式，特殊值法，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的加减与数乘混合运算、 利用向量的数量积求向量的模、向量的数量积的概念及其运算、向量的数量积与向量的垂直关系、平面向量共线定理与三点共线问题，属于较难题．
根据题意利用向量的加减与数乘混合运算，即可判断选项．设边的中点为，连接，并延长交于点，设与交于点，利用向量的加减与数乘混合运算，结合选项的结论判断与是否共线，即可判断选项．由∽推导，进而可得和的值，根据和求出的值，即可判断选项．由题意得，由且求出，即可判断选项．
【解答】
解：因为，所以，
所以，所以，故A正确．
如图所示，设边的中点为，连接，并延长交于点，设与交于点，
则，
因为，所以，
所以，所以与不共线，故B错误．
因为，所以∽，所以，
所以，，所以，
所以，故，故C正确．
因为，所以，
所以，所以，
因为，且，所以，
所以，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，，在上单调，
又，，故A正确；
，区间右端点关于的对称点为，
在上单调，根据正弦函数图像特征可知在上单调，
为的最小正周期，即，
又，若，
则的图象关于直线对称，结合，
得
即，故，，，故B正确．
，由，得，在区间上最多有个完整的周期，
而在个完整周期内只有个解，故关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解，故C错误．
，由知，是函数在区间上的第个零点，
而在区间上佮有个零点，则，
结合，得，又，
的取值范围为，故D正确．
故选：．
：在上单调，，故；
：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出周期的范围，从而求出的范围．再根据知是的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出，从而求出其周期；
：根据的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
：由知，是函数在区间上的第个零点，而在区间上恰有个零点，则，据此即可求的范围．
本题考查三角函数的综合，考查学生的综合能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：集合，
，
，．
集合中的元素个数为个，故真子集的个数为．
故答案为：．
集合，，，由此能求出集合中的元素个数，进而可求真子集个数．
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，，所以，
所以在中，，
又，，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，，
由余弦定理，
所以．
故答案为：．
根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：，即，
令，，
函数在有零点，设为，
则，则，则，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
而，，故，
故，
，，故，
故的取值范围是，
故答案为：．
根据函数在有零点，设为，得到，，根据函数的单调性求出的范围，根据，得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．
15.【答案】解：设，，
．
，
或；
与垂直，
，
，
，
，
向量与向量的夹角的余弦值为．
【解析】设，则，求出，即可求向量；
利用与垂直，根据数量积公式，即可求向量与向量的夹角的余弦值．
本题考查向量数量积公式，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．
16.【答案】解：Ⅰ由得到：，
所以，
所以．
在中，由余弦定理可知，
即，
解之得或，
由于，
所以．
Ⅱ在中，由正弦定理可知，，
又由，
可知
所以
因为，
即
【解析】Ⅰ直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果．
Ⅱ利用正弦定理和三角形函数关系式的变换求出结果．
本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，余弦定理的正弦定理的应用及相关的运算问题．
17.【答案】解：，即有，
则，所以，
，即，
，即，
由余弦定理可得，即有，
为中点，所以，
由余弦定理可得，，
，
，
整理得，
所以，解得；
、、三点共线，：：，
，
即，
，即有，
，
，
，，
，即，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为．
【解析】由条件可得，，进而由余弦定理可求出，分别利用余弦定理表示出，，结合即可求得；
利用条件得到，即可得到，平方后整理得，利用基本不等式即可求得的取值范围．
本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及解三角形，余弦定理的应用，基本不等式的应用，综合性强，属于中档题．
18.【答案】解：若，即为，
即有，
可得，解得；
，，
在递增，；
的导数为，
当时，，递减，当时，，递增．
即有取得极大值，也为最大值，且为，
由题意可得，
解得；
若，对于恒成立，
由可得，，即有；
假设存在实数，使得成立，
即为恒成立．
由，又递增，即有的范围是，
而，
则不存在实数，使得成立．
【解析】由和的解析式，解方程可得；
分别求得的单调性，可得最小值，的单调区间，可得最大值，由最大值大于等于最小值，可得的范围；
由，对于恒成立，求得的范围，再由的单调性，可得值域，即可得到结论．
本题考查函数的性质和运用，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：当集合时，集合相对的“余弦方差”；
证明：当集合时，
集合相对于常数的“余弦方差”，
，
此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；
解：当集合时，
集合相对于任何常数的“余弦方差”，
，
要使上式对任何常数是一个常数，则且，
所以，所以，
又，，解得或．
【解析】根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解；
根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解；
根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解．
本题考查三角函数的恒等变换的化简求值，考查学生的运算能力，属于中档题．
第1页，共1页