2023-2024学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高一（下）月考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.中，，点是的中点，设，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在边长为的等边中，点为中线的三等分点接近点，点为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.在矩形中，，，是上一点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在矩形中，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知单位圆是的外接圆，若，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
8.数学家欧拉在年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点垂心与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆已知在中，，，，则的九点圆的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量是
10.在中，角，，所对的边分别为，，，且：：：：，则下列结论正确的是( )
A. ：：：：
B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的倍
D. 若，则外接圆半径为
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论奔驰定理与三角形四心重心、内心、外心、垂心有着神秘的关联它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且以下命题正确的有( )
A. 若：：：：，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则 ______．
13.已知向量，，满足，，，，则与的夹角为______．
14.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，则的外接圆直径长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足．
若，求向量的坐标；
若，求向量与向量夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
求的面积；
求边长及的值．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，求周长的最大值．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若的面积为，求边上的中线长．
19.本小题分
如图，平面凸四边形中，为边的中点．
若，求的面积；
求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题可得，，故．
故选：．
由复数的坐标表示及共轭复数概念可得答案．
本题考查了复数的几何意义以及共轭复数的求解，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，解得．
．
．
故选：．
利用向量向量共线定理可得，再利用向量模的计算公式即可得出．
本题考查平面向量的基本运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：点是的中点，
，
，，，
，
故选：．
利用平面向量基本定理，平面向量的线性运算求解即可．
本题考查平面向量基本定理，平面向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：不妨设，则，，
于是，
，
则．
故选：．
选择基向量，则，，将相关向量用表示，计算它们的数量积即得．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：设，即
即
、互相垂直，可得
，解之得
由此可得，
故选：．
设，可得，代入算出，从而得到关于、表示式，再由，代入结合题中数据即可算出的值．
本题在矩形中，已知边、的长度和点分的比值，求向量的数量积．着重考查了平面向量数量积的定义及运算性质等知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在矩形中，，，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
又，
则可设，其中，
则，，
则，
又，
则，
故选：．
先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式及三角函数值域的求法求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了辅助角公式及三角函数值域的求法，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：如图所示，因为单位圆是的外接圆，且，
所以，且，
所以，
设，则，
所以，
当，即时，取到最大值，最大值为．
故选：．
利用圆的性质，得到，将转化为，再利用数量积的定义、诱导公式及辅助角公式，得到，即可求出结果．
本题考查平面向量的数量积运算，涉及三角函数的最值问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以的中点坐标为，的中点坐标为，的中点坐标为，
所以的九点圆是的外接圆，
因为，，，
由余弦定理有：，
所以，
设的外接圆为，
则由正弦定理得：，
所以，所以的九点圆的半径为．
故选：．
先求出，，的中点坐标，再结合正余弦定理即可求得．
本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：已知向量，
对于选项A，，，
即选项A错误；
对于选项B，，
则，
即，的夹角为，
即选项B正确；
对于选项C，，
即，
即选项C正确；
对于选项D，在上的投影向量是，
即选项D正确．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：设，，．
：：：：：：，故A正确；
由为最大边，可得，即为锐角，故B错误；
由，由，
由，，可得，故C正确；
若，可得，外接圆半径为，故D正确．
故选：．
由正弦定理可判断；由余弦定理可判断；由余弦定理和二倍角公式可判断；由正弦定理可判断．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，取的中点，连接，，
由：：：：，则，
所以，
所以，，三点共线，且，
设，分别为，的中点，同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，，，
所以，
即，故B正确；
对于，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
因为，，
则有，，，
所以，，，
所以，故C错误；
对于，如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
由为的垂心，，则：：：：，
又，则，，
设，，则，，
所以，即，
所以，所以，故D正确；
故选：．
对，取的中点，连接，，结合奔驰定理可得到，进而即可判断；对，设内切圆半径为，从而可用表示出，，，再结合奔驰定理即可判断；对，设的外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，，，进而即可判断；对，延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，，则，，代入即可求解，进而即可判断．
本题主要考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形的重心、内心、外心和垂心的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为复数为纯虚数，
所以，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由可得，两边取平方，，
则，即与的夹角为．
故答案为：．
将变形成，再两边平方，化简求出，易得．
本题主要考查向量夹角的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用，两角差的正弦公式，属于中档题．
根据已知条件解三角形求出的值，在中利用正弦定理求出的值，在中利用余弦定理求出的值，在中利用正弦定理求出的外接圆直径长．
【解答】
解：因为，，
所以，
又，所以，
又，
所以，
所以，
所以，
在中，，，，
由正弦定理得
则，
又，
所以，
在中，，，，
由余弦定理得，
则，即
在中，，，
由正弦定理得，
故的外接圆直径长为．
故答案为：．
15.【答案】解：设，
，且，
，解得或．
即或；
若，则，
可得，则．
【解析】设，由已知列关于，的方程组，求解得答案；
由，利用数量积为求解，再由数量积求夹角公式得答案．
本题考查平面向量的性质及运算，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：由，且，
则，
所以．
由，
则，
又，则．
【解析】利用平方关系和面积公式求解即可．
利用余弦定理和正弦定理求解即可．
本题主要考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，
所以，而，
所以；
，；
由余弦定理可得，
当且仅当时取等号，
即，
所以三角形的周长的最大值为．
【解析】由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小；
由余弦定理及基本不等式可得的最大值，进而求出三角形的周长的最大值．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由正弦定理可得，
所以，
即，
又，
所以，
整理得，
解得；
依题意可得，
解得，
又，
所以为钝角，
则，
解得，
由正弦定理可得，
又，
所以，
设的中点为，
则，
所以，
所以边上的中线长为．
【解析】利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得．
根据三角形的面积求得，根据同角三角函数的基本关系式求得，，利用正弦定理、向量数量积运算来求得边上的中线长．
本题考查了正弦定理，重点考查了向量的运算，属中档题．
19.【答案】解：因为，，
由余弦定理可得，，
则，且，，所以，
则的面积为；
取线段的中点为，连接，，设，，因为，，
由余弦定理可得，，
由正弦定理可得，，则，
因为，分别为，的中点，所以，且，
所以，且，，所以，
在中，由余弦定理可得，
，
由可得，，
所以当时，即时，取得最大值，
所以的最大值为．
【解析】先求，可得的数值，可求的面积；
取线段的中点为，在中，由余弦定理可将表示出来，即可求最值．
本题考查正弦定理，余弦定理，三角函数性质，属于中档题．
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