广东省河源市河源中学实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（含答案）

河源市新河实验学校2023～2024学年第二学期九年级
第一次调研数学学科
总分：120分 时间：120分钟
班级：__________ 姓名：__________ 试室号/座位号：__________
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
2．某种颗粒物的直径约为0.0000018米，用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
3．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（ ）．
A．考 B．试 C．顺 D．利
4．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，两条斜边互相平行，则（ ）．
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）．
A．B．C．D．
7．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）．
A． B．
C． D．
8．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，其中结论不正确的是（ ）．
A． B．方程的两个根是，
C． D．当时，y随x增大而增大
10．如图，正方形内一点E，满足为正三角形，直线交于F点，过E点的直线，交于点G，交于点H．以下结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）．
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是__________．
12．如果单项式与是同类项，那么__________．
13．若关于x的方程有两个相等的实数根，则__________．
14．如图，已知点C，D是以为直径的半圆的三等分点，半径，则扇形的面积为__________．
15．如图，长方形中，点E在边上，将一边折叠，使点A恰好落在边的点F处，折痕为．若，，则的长是__________．
16．如图，已知A点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形，使B、C点都在第一象限内，且，又以为圆心，为半径的圆恰好与所在的直线相切，则__________．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（4分）计算：．
18．（4分）已知：如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的角平分线交于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）求证：．
19．（6分）先化简，再求值：，从，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
20．（6分）如图，在中，，的平分线交于点D，E为的中点．若，，求的长．
21．（8分）为了丰富学生在学校的课余生活，学校开展了合唱、手工、机器人编程、书法这四项活动（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，学校随机抽取部分同学进行了“你最喜欢哪一项活动”的问卷调查，要求必选且只选一种．并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图：
（1）请补全条形统计图；
（2）估计全校3000名学生中最喜欢手工活动的人数约为__________人；
（3）现从喜好机器人编程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档加入活动策划会，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同时被选到的概率．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，轴于点A，轴于点C，O是线段的中点，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，，，求的值．
23．（10分）某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；但如果票价每张增加x元，则售出的门票数量y（张）与x（元）的函数关系部分图象如图所示．
（1）由图象可知，票价每增加1元，则门票数量会减少__________张；
（2）要使门票收入恰好为36270元，票价应定为每张多少元；
（3）销售总监认为：票价越高，则门票收入越高．请你从数学的角度进行判断、分析是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请你给出建议，当票价定为多少时，门票收入最高．
24．（12分）在直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．其中C点坐标为．
备用图
（1）求点A坐标．
（2）如图，过C作的切线，过A作于F，交于N，求的长度．
（3）在上，若，求出点P的坐标．
25．（12分）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点O为坐标原点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点D是线段上靠近点O的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交射线，于点M，N．
①求直线的解析式（用含a的式子表示）；
②设，的面积分别为，，若，求此时点P的横坐标．
河源市新河实验学校2023～2024学年第二学期九年级
第一次调研数学学科参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．A 2．C 3．C 4．A 5．A 6．B 7．A 8．A 9．C 10．A
二、填空题（共6小题）
11． 12．3 13．1 14． 15． 16．
三、解答题（共9小题）
17．解：原式（4分）
18．（1）解：如图所示，即为所求；（2分）
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，∴，
∵平分，∴，
∴，∴．（2分）
19．解：原式．（3分）
∵，，∴取，原式．（6分）
20．解：∵，的平分线交于点D，
∴，，（2分）
由勾股定理得，，（4分）
∵E为的中点，∴．（6分）
21．解：（1）补全条形统计图如下：（2分）
（2）1200；（4分）
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁被选到的结果有2种，
∴恰好甲和丁被选到的概率为．（8分）
22．解：（1）∵，∴点D的纵坐标为4，
∵点D在双曲线上，∴，∴，
∵O是线段的中点，∴，
∴点A的坐标为，
∵点B在反比例函数上，∴，
∴反比例函数的表达式为：．（4分）
（2）∵，，
∴∽，∴，
∵，∴，
∴，∴．（10分）
23．解：（1）30．（2分）
（2）由题意，∵票价每张增加x元，
∴．∴或．
∴或．
答：票价应定为每张31元或39元．（6分）
（3）不正确．理由如下：由（2）可知，当票价为31元和39元时，门票收入一样．
由题意，设门票总收入为W元，
∴．
∵，
∴当时，W随x的增大而增大，，票价为时，W有最大值36750．
答：票价为35元时门票收入最高为36750元．（10分）
24．解：（1）根据题意，连接，
又，，故，即的半径为5，
所以，且．（2分）
即得．（3分）
（2）证明：连接，作于H，
易证≌，（5分）
故．
即．（7分）
（2）结合题意，
可得为等腰直角三角形，且，
易证：≌，∴，，
即存在．（10分）
同理，易证：≌，∴，，
即存在．（12分）
25．解：（1）抛物线，当时，则，
∵，∴，解得，，
∴，．（2分）
（2）①抛物线，当时，，
∴，∴，
∵点D是线段上靠近点O的一个三等分点，
∴，∴，（3分）
设直线的解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为．（5分）
②设直线的解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，（6分）
∵，的面积分别为，，且，
∴，∴，（7分）
设点P的横坐标为x，则，，，
∴，
当点P在线段的延长线上，如图1，则，
图1
∴，
解得，（不符合题意，舍去）；（9分）
当点P在线段上，如图2，此时；（10分）
图2 图3
当点P在线段的延长线上，如图3，则，
∴，解得，（不符合题意，舍去）；
综上所述，点P的横坐标为或．（12分）