2023-2024学年江苏省淮安市马坝高级中学高一（下）第一次质检数学试卷（A卷）（含解析）

2023-2024学年江苏省淮安市马坝高级中学高一（下）第一次质检数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若与共线，则的值为( )
A. B. C. D.
5.在中，，，分别是内角，，所对的边，若，那么一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
6.求值：( )
A. B. C. D.
7.蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵，横油画挂在墙壁上的最低点处离地面如图所示有一身高为的游客从正面观赏它该游客头顶到眼睛的距离为，设该游客离墙距离为，视角为为使观赏视角最大，应为( )
A. B. C. D.
8.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知是锐角，那么下列各值中，不能能取得的值是( )
A. B. C. D.
11.已知为坐标原点，点，，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，则 ______．
13.已知，是方程的两根，且，，则的值为______．
14.如图所示，，圆与，分别相切于点，，，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，求：
；
．
16.本小题分
已知函数．
化简；
若，是第一象限角，求．
17.本小题分
已知向量，，其中，且．
求和的值；
若，且，求角．
18.本小题分
如图，圆心角为的扇形的半径为，点是上一点，作这个扇形的内接矩形．
求的长及扇形的面积；
求矩形的最大面积，及此时的大小．
19.本小题分
如图所示，在中，，，与相交于点，的延长线与边交于点．
用和分别表示和；
如果，求实数和的值；
确定点在边上的位置．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用二倍角的正弦公式及特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了二倍角的正弦公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：向量，；
若，则，
即，
解得．
故选：．
根据平面向量的坐标运算，列方程求出的值．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由于，根据万能公式，，，
所以．
故选：．
直接利用万能公式的应用求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数的值的求法，万能公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
先由向量的坐标运算表示出与，再根据向量共线定理的坐标表示可得答案．
本题主要考查向量的坐标运算和共线定理．属基础题．
【解答】
解：由题意可知，
，
与共线，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
，
，即，
，，即，
一定是等腰三角形．
故选：．
把已知等式变形，结合两角差的余弦可得，从而得到，可得三角形的形状．
本题考查三角形形状的判定，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
故选：．
由题意利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，计算求得所给式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图所示，设，可得，，化简解出，变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：如图所示，
设，则．
，
解得，当且仅当，即时取等号．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：不妨设，如图所示，
根据题意则，
即点是的重心，所以有，
又因为，，，
那么，，，
，
故的面积与的面积的比值为．
故选：．
先设设，于是得到点是的重心，则，再结合三角形面积公式即可求出的面积与的面积，进而得到答案．
本题考查了向量的数乘运算，重心的性质，三角形的面积公式，考查了转化与化归的数学思想，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：根据余弦定理可知，代入，可得，
即，
因为，所以或，
故选：．
利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案．
本题主要考查了余弦定理在三角形求解中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，又 ，，
．
故选：．
由题意利用两角和差的三角公式化简，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围，从而得出结论．
本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：：，，所以，，故，正确；
：，，
所以，
同理，故不一定相等，错误；
：由题意得：，，正确；
：由题意得：，
，故一般来说，故错误；
故选：．
A、写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；、根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误．
本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的模的计算等知识，属于中等题．
12.【答案】
【解析】解：，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
，
．
故答案为：．
由整理可得：，根据余弦定理可得，结合范围，可求的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由于，是方程的两根，
所以，，
所以．
故答案为：．
结合根与系数关系、两角和的正切公式求得正确答案．
本题考查两角和的正切公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：连接，，则，，
，，，
点是圆及其内部任意一点，
，且当，，三点共线时，取得最值，
当取得最大值时，以为对角线，
以，为邻边方向作平行四边形，
则和是等边三角形，
，
，
的最大值为，
同理可求出的最小值为．
故答案为：
连接，，求出圆的半径和，得出的最值，根据等边三角形的性质即可得出的最值．
本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．
15.【答案】解：由，，，
可得，，
．
．
【解析】本题考查了向量的运算，向量的模，考查学生的数学运算能力，属于基础题．
利用向量的模的计算公式，即可解出；
根据的计算结果，即可直接解出．
16.【答案】解：
，
，由是第一象限角，则是第一或第四象限角，
又，故是第一象限角，
故，
则
．
【解析】借助三角恒等变换公式化简即可得；
借助两角和的正弦公式计算即可得．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，，且，
，即．
代入，得，
，，则．
则，
；
，，
又，．
．
，．
【解析】本题考查三角函数的化简求值，三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
由已知结合可得，与联立即可求得，的值，再由二倍角的公式求得和的值；由已知可得的范围，并求得，再由，展开两角差的正弦得答案．
18.【答案】解：的长为，
扇形的面积为；
设，则，，
，所以，
所以矩形的面积
，
当，即时，矩形的面积取得最大值，
此时．
【解析】根据弧长公式及面积公式求解即可；
设，利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解．
本题考查扇形弧长公式的应用及四边形面积的求法，属于中档题．
19.【答案】解：由，
可得，
，
．
将，
代入，
则有，
即，
，
解得；
设，，
由知，
，
，
与不共线，
，
解得，
，即，
点在的三等分点且靠近点处．
【解析】此题考查了向量加减法，平面向量基本定理等，难度较大．
利用数量关系和向量加法的三角形法则容易求得；
利用的结果，把转化为即可得解；
设，，结合即的结果，可解，得点位置．
第1页，共1页