河南省周口市鹿邑县第二高级中学校2023-2024学年高一下学期月考测试（三）（6月）数学试题（含解析）

2023～2024学年度高中同步月考测试卷（三）
高一数学
测试模块：必修第二册
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本试卷主要命题范围：人教A版数学必修第二册第六章～第八章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则（ ）
A. B.10 C. D.20
2.已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ）
A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面
3.下列说法中错误的是（ ）
A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4.在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（ ）
A.204 B.200 C.196 D.192
5.如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ）
A. B. C. D.
6.在长方体中，为的中点，在中，，，，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.设向量，的夹角的余弦值为，，，则（ ）
A.-23 B.23 C.-27 D.27
8.在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A.在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B.
C. D.
10.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）（ ）
A.若，则为等腰三角形
B.
C.若，则是锐角三角形
D.若，，则的面积为
11.如图，在棱长为1的正方体中，已知E，F是线段上的两个动点，且，则（ ）
A.的面积为定值 B.
C.点到直线的距离为定值 D.平面与平面所成角为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，其中x，y是实数，则____________.
13.在正方体中，直线与所成角的大小为___________.（用角度表示）
14.在三棱锥中，已知平面，，，与平面所成的角为30°，与平面所成的角为45°，则___________.（用角度表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
如图，已知在正四棱锥中，，.
（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积.
16.（本小题满分15分）
如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点.
（1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由；
（2）若，证明：.
17.（本小题满分15分）
已知向量，，，的夹角为.
（1）求；
（2）若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围.
18.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，求面积的取值范围.
19.（本小题满分17分）
如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点C到平面的距离.
2023～2024学年度高中同步月考测试卷（三）·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.A .故选A.
2.D依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行，所以D选项正确。故选D.
3.C易知ABD正确；当以斜边所在直线为旋转轴时，所成几何体不是圆锥，C错误.故选C.
4.D如图，在长方体中，连接，，，，所以该长方体的表面积.故选D.
5.D由题意知，四边形的面积为，所以直观图的面积为.故选D.
6.B如图，连接，易得，设，
则，，，
因为，所以，
即，解得（负值舍去）.故选B.
7.B设与的夹角为，则，
又，，所以，
所以.故选B
8.C取中点G，连接，，
在和上分别作点E和点F，使得，，
过点E和点F分别作垂直平面和平面的直线交于点H，
易得点H是该三棱锥外接球的球心.
因为，所以，，
在中，由余弦定理得，
故，
在中，，，
所以.
在中，，
故外接球的半径，外接球的表面积.
故选C.
9.AC复数，
在复平面内复数所对应的点位于第四象限，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.故选AC.
10.ABD对于A，因为在中，，，所以当时，，故为等腰三角形，故A正确；
对于B，由正弦定理，得，，所以，故B正确；
对于C，由余弦定理得，又因为是中的一个内角，所以，所以是钝角三角形，故C错误：
对于D，，故D正确.故选ABD.
11.ABC对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确；
对于B，因为在上，，，所以，即，故B正确；
对于C，A到直线的距离等于A到的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知在该正方体中，平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故平面与平面所成角为90°，故D错误.故选ABC.
12.0由，得，所以，，解得，，所以.
13.60° 连接，，易知，所以即为与所成的角或其补角，易知为等边三角形，故所求角为60°.
14.90° 由题意得，是直角三角形，，所以，是直角三角形，，所以，因为在中，，所以.
15.解：（1）易知该四棱锥的侧面积为四个全等三角形的面积的和，
侧面三角形的高为，
所以四棱锥的表面积为.
（2）连接、，交于点，连接，则为棱锥的高，
所以，
，
故四棱锥的体积.
16.（1）解：是的中点，
理由如下：
若平面，由平面，平面平面，
得.
又是的中点，在上，
∴是的中点.
（2）证明：取的中点，连接，，
∵，为中点，
∴，，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，∴.
17.解：（1），
又，∴.
（2）∵，，
∴.
∵与所成的角为锐角.
∴，∴.
当与共线时，，解得，
∴的取值范围为.
18.解：（1），
由，，
得，，
故的单调递增区间为，.
（2）∵，∴，
又，得，即.
∵，∴，
∴的面积，
∴
解得，则，
故，
即面积的取值范围为.
19.（1）证明：∵，，，∴，
又为等边三角形，∴，
在中，由余弦定理得，解得，
∴，即.
∵，，平面，
∴平面.
（2）解：取中点，连接，
∵为等边三角形，∴，
又由（1）可知平面，平面，∴，
又∵，且平面，∴平面.
∵为的中点，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.
在中，可知，
在中，可知，
∵是的中位线，∴，
可得的面积.
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，
又的面积，
点E到平面的距离为，
∴三棱锥的体积.
由，得，即点到平面的距离为.