2023-2024学年河南省郑州市中牟第一高级中学高一（下）第二次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市中牟第一高级中学高一（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为( )
A.
B.
C.
D.
3.若平面向量，，两两所成的角相等，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
5.设的内角，，的对边分别为，，，且：：：：，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为( )
A. B. C. D.
7.在中，分别为角，，的对边，则的形状可能是( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
8.如图，已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中不正确的是( )
A. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
B. 正四棱锥的侧面都是正三角形
C. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D. 平行六面体的每个面都是平行四边形
10.设为复数为虚数单位，下列命题正确的有( )
A. 复数的共轭复数的虚部为 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.设为复数为虚数单位，下列命题正确的有( )
A. 复数的共轭复数的虚部为 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，，三点共线，则 ______．
13.济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的点测得泉标顶端的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进米，到达点，又测得泉标顶端的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为______米参考数据：，，
14.在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解答下列各题：
已知是复数，为实数，为纯虚数为虚数单位，求复数；
已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限．
16.本小题分
已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求向量的坐标；
若是单位向量，且，求与的夹角．
17.本小题分
在中，设角，，所对的边长分别为，，，且．
求角；
若的面积，，求的值．
18.本小题分
如图，在中，点在边上，．
若，，，求；
若是锐角三角形，，求的取值范围．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
对应的点的坐标为
在第二象限
故选B
将复数的分子分母同乘以，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限．
本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
2.【答案】
【解析】解：由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，
由斜二测法则知，，，
所以．
故选：．
根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
本题考查直观图的画法，解题中需要直观想象能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为，由题意可知或，
则．
所以当时，；
当时，．
故选：．
设向量所成的角为，则或，先求出的值即可求出．
考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用的公式，求向量的模的方法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
而，
则有，变形可得．
故选：．
根据题意，由圆锥的特征及扇形的弧长公式计算即可．
本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥母线长的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：在中，：：：：，
由正弦定理可得：：：：，
，，
由余弦定理可得．
故选：．
由正弦定理可得：：：：，进而可用表示，，代入余弦定理化简可得．
本题考查正余弦定理的应用，用表示，是解决问题的关键，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意可得该青铜器的体积为：
．
故选：．
根据圆柱的体积公式，圆台的体积公式即可求解．
本题考查组合体的体积的求解，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由已知，得，即，
由正弦定理可得：，
所以，
得，
在中，所以，
又，所以，即三角形为直角三角形．
故选：．
根据条件先求出，再结合正弦定理和三角形的内角和公式，可求出角，从而判断三角形的形状．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，
根据题意，是边长为的正三角形，
易得，
，
根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值，
此时；
当点位于正六边形的顶点时，有最大值，
此时；
综上，．
故选：．
取的中点，可求得，而，结合图形可知，的最大值和最小值，由此得解．
本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故选项A正确；
对于，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，但不一定是正三角形，故选项B错误；
对于，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，而不是用一个平面去截圆锥，故选项C错误，
对于，平行六面体的每个面都是平行四边形，故选项D正确，
故选：．
根据题意，由正四棱锥的概念判断选项B；由旋转体的结构特征判断选项A，；由平行六面体的特征判断选项D，综合可得答案．
本题考查棱锥、圆锥的结构特征，涉及平行六面体的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：复数的共轭复数的虚部为，故A正确；
若，满足，但，故B错误；
，
则，
故，故C正确；
，
则，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为，则，其虚部为，故A正确；
对于，取，此时，但，故B错误；
对于，若，则，故，故C正确；
对于，若，则，解得，故D错误．
故选：．
利用共轭复数的定义可判断；利用特殊值法可判断；利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断；解方程可判断．
本题主要考查了复数的基本概念及四则运算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，
若，，三点共线，可知，
则，解得．
故答案为：．
根据题意求，结合向量共线的坐标运算求解．
本题主要考查了向量平行与点共线的转化及向量平行的坐标表示，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设，在中，，则，
在中，由正弦定理得，所以，
结合，，解得所以泉标的高度约为米．
故答案为：．
设，则，在中利用正弦定理求解即可．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：复数，对应的点关于直线对称，，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．
15.【答案】解：设复数，
因为为实数，所以，则复数，
又因为为纯虚数，
则，得，
所以复数．
，
由复数表示的点位于第四象限，可得，解得，
当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，
的取值范围为．
【解析】设复数，根据为实数求得，再由为纯虚数求得．
由复数表示的点位于第四象限列出不等式组求解即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】解：，且，，设，，
求得，
故或．
因为，且，
所以，，即，所以，
故 ，
，．
【解析】由题意利用两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，计算求得结果．
由题意利用两个向量垂直的性质求得 的值，再利用两个向量的夹角公式求得，可得的值．
本题主要考查两个向量共线、垂直的性质、两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式，属于基础题．
17.【答案】解：因为，整理得，
又由余弦定理得，
因为，
所以；
由得，因为的面积，
所以，
所以，
由于，所以，
又由余弦定理：，
所以．
所以，
所以由正弦定理得，
所以．
【解析】由余弦定理和三角函数值与角的关系可求出；
由三角形的面积公式得到，再由余弦定理求出，最后再利用正弦定理求出外接圆半径，求得最后结果．
本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：根据余弦定理，在中，
，
则，所以，
则，
在中，
，
所以；
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示直角坐标系，
设，，又，则，
则，，，
则，，，，
由是锐角三角形，可得，
即，解得，
故．
【解析】本题考查三角形中的几何计算，考查余弦定理，属于中档题．
由题设，结合余弦定理即可求解；
建立平面直角坐标系，利用向量夹角为锐角，得数量积大于，即可求得取值范围．
19.【答案】解：由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，
即；
由可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则；
点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或舍去．
故实数的最小值为．
【解析】根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
由结论可得，设，，，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．
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