2023-2024学年福建省龙岩市连城一中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年福建省龙岩市连城一中高一（下）月考
数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知是边长为的正三角形，，，则( )
A. B. C. D.
4.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式
A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸
5.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，，，且，，，，则此三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7.如图是某人设计的产品图纸，已知四边形的三个顶点，，在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某公司共有员工人，岁以下的员工有人，到岁的员工人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为的样本，得到身体健康状况良好的比例如下：岁以下的员工占，到岁的员工占，其他员工占下列说法正确的是( )
A. 从岁以上的员工抽取了人
B. 每名员工被抽到的概率为
C. 估计该公司员工身体健康状况良好率为百分数保留一位小数
D. 身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是岁到岁
10.如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 当点与，两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形
B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形
C. 一定是锐角三角形
D. 面积的最大值是
11.对任意两个非零的平面向量和，定义：；若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______．
13.已知向量和满足：，，，则向量与向量的夹角为______．
14.如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点不包含端点，则平行四边形的周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求证：．
16.本小题分
某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查经过随机抽样，获得户居民的年用水量单位：吨数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
求直方图中的值；
根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值；
已知该市有万户居民，规定：每户居民年用水量不超过吨的正常收费，若超过吨，则超出的部分每吨收元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少每组数据以所在区间的中点值为代表
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，已知，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ是线段上的动点，当平面平面时，求线段的长；
Ⅲ若为的中点，求二面角平面角的余弦值．
19.本小题分
给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数．
设向量分别为函数与函数的特征向量，求；
设向量的特征函数为，且，，求的值；
已知，，分别为三个内角，，的对边，，设函数的特征向量为，且，，分别是边，的中点，求的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ因为，
所以，
所以，
所以；
证明：Ⅱ因为，
所以，
所以，
所以，即，所以．
16.解：由频率分布直方图得，
解得；
在户居民年用水量频率分布直方图中，
前组频率之和为，
前组频率之和为，
所以，
由，解得；
由题可知区间，，，内的居民年用水量分别取，，，为代表，
则他们的年用水量分别超出吨，吨，吨，吨，
则元，
所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元．
17.解：由题意知，，
所以，
则，
又，所以，所以，
又，所以．
由得，由正弦定理得，
又，，所以．
因为，所以，所以，
故，即的取值范围为．
18.Ⅰ证明：侧面，得，
由，，，
知，即，
又，
故C平面；
Ⅱ解：由已知侧面，
知面面，
过作于，
则面，
因面，
故平面平面，
在直角三角形中，
；
Ⅲ解：由Ⅱ知面，
过作，交所在直线于点，
则平面，即有，
为二面角平面角．
由求得：，又，
，
故．
19.解：给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，
因为向量分别为函数与函数的特征向量，
根据定义得，
所以；
对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数，
因为且是其特征函数，
所以，
由得，即，
所以，
因为，所以，
又因为，
所以，即，
故
，
则的值是；
，由得，
设，则，因为，分别是，中点，所以，，
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
所以
，即．
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