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2 圆的对称性
圆的对称性
(1)圆既是 对称图形,又是中心对称图形,任意一条过圆心的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心;
(2)圆的旋转不变性:将圆绕着它的圆心任意旋转一个角度,都能与原来的图形 .
轴
重合
[例1-1] 下列说法中,不正确的是( )
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合
C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
D
[例1-2] 圆是中心对称图形, 是对称中心;圆又是轴对称图形,它的对称轴有 条,都经过 .
圆心
无数
圆心
新知应用
1.圆是轴对称图形,其对称轴是 .
2.如图所示,三圆同心于点O,AB=6 cm,CD⊥AB于点O,则图中阴影部分
的面积为 cm2.
任意一条直径所在的直线
圆心角、弧、弦之间的关系
1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 .
2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量
,那么它们所对应的其余各组量都分别 .
相等
相等
相等
相等
8 cm
(1)圆心角、弧、弦之间的关系只有在同圆或等圆中才存在,否则结论不成立;
(2)由于弦(非直径)所对的弧分为优弧和劣弧,所以由弦相等推出弧相等时,可以得到优弧和劣弧分别对应相等.
新知应用
C
B
1.下列说法中,不正确的是( )
A.在同圆或等圆中,若两条弧相等,则它们所对的两条弦也相等
B.某一个圆中,若弦长等于半径,则该弦所对的圆心角的度数为60°
C.在同圆或等圆中,若两条弧不相等,则大弧所对的圆心角较大
D.若两条弧的长度相等,则这两条弧所对的弦也相等
D
A
64°
90°
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第三章 圆
2022年新课标要求
内容要求 学业要求
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系. 2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 掌握圆的概念,知道圆等几何图形的特征、共性与区别,形成和发展抽象能力.在直观理解和掌握圆等几何图形与几何基本事实的基础
上,经历得到和验证数学结论的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,形成几何直观和推理能力;
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半;直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径;圆内接四边形的对角互补. 4.了解三角形的内心和外心. 5.了解直线与圆的位置关系,掌握切线的概念. 经历尺规作图的过程,增强动手能力,能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形,理解尺规作图的基本原理和方法,发展空间观念和空间想象力.
6.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形. 7.*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线. 8.*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等. 9.会计算圆的弧长、扇形的面积. 10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
1 圆
圆的定义及相关概念
1.圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是 ,定长就是 .
2.弦:连接圆上任意两点的 叫做弦.
3.直径:经过 的弦叫做直径.
圆心
半径
线段
圆心
4.弧:圆上任意两点间的 叫做圆弧.大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧;
半圆:圆的任意一条 的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
5.等圆:能够 的两个圆叫做等圆.
等弧:在同圆或等圆中,能够互相 的弧叫做等弧.
部分
直径
重合
重合
[例1-1] 下列说法:①长度相等的弧是等弧;②弦不包括直径;③劣弧一定比优弧短;④直径是圆中最长的弦.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
A
[例1-2] 如图所示,已知CD为☉O的弦,AB是☉O的直径.
(1)AB CD(选填“>”“<”或“=”).
(2)图中共有几条弧 请写出图中的劣弧.
解:(1)>
新知应用
1.已知☉O的半径为4 cm,☉O中弦AB的长不可能是( )
A.3 cm B.4 cm
C.8 cm D.9 cm
2.如图所示,BC是☉O的直径,点C,E是☉O上的点,半径AO的延长线与线段CE交于点D,则☉O中有 条弦,分别是 .
3.平面内到定点A的距离等于5 cm的所有点组成的图形是以点A为
, 为5的 .
D
2
弦BC,弦CE
圆心
半径
圆
点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种:点在 ,点在 ,点在
;
(2)点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系有三种:
d>r;d=r;d
圆上
圆外
圆内
圆外
圆上
圆内
[例2] 已知☉O的半径r=5 cm,圆心O到直线l的距离d=OD=3 cm,在直线l上有P,Q,R三点,且有PD=4 cm,QD=5 cm,RD=3 cm,试判断P,Q,R三点与☉O有怎样的位置关系
新知应用
1.已知☉O的半径为4,点P在☉O外部,则OP需要满足的条件是( )
A.OP>4 B.0≤OP<4
C.OP>2 D.0≤OP<2
2.已知☉O的半径为5,点P与圆心O的距离d满足方程x2-4x-5=0,则点P与☉O的位置关系为 .
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,如果以点A为圆心,AC为半径作☉A,那么斜边AB的中点D在☉A (选填“内”“上”或“外”).
A
点P在圆上
上
1.下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③优弧一定大于劣弧;④半圆是弧.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知点P是☉O内一点,若点P到☉O上所有点的距离中,最大距离为7 cm,最小距离为3 cm,则☉O的半径为 .
B
5 cm
3.如图所示,△ABC和△ABD都是直角三角形,且∠C=∠D=90°.求证:
A,B,C,D四点在同一个圆上.
证明:如图所示,取AB的中点O,连接OC,OD,
∵△ABC和△ABD都是直角三角形,且∠ACB=∠ADB=90°,
∴DO,CO分别为Rt△ABD和 Rt△ABC 斜边上的中线.
∴OA=OB=OC=OD.
∴A,B,C,D四点都在以点O为圆心、AB为直径的圆上.
即A,B,C,D四点在同一个圆上.
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5 确定圆的条件
确定圆的条件
不在 上的三个点确定一个圆.
[例1-1] 下列说法正确的是( )
A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B.同一平面内,过两点A,B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A,B,C的圆的圆心有且只有一点
D.过四点A,B,C,D的圆不存在
同一条直线
B
[例1-2] 可以作圆,且只可以作一个圆的条件是( )
A.已知圆心
B.已知半径
C.过三个已知点
D.过不在同一条直线上的三点
新知应用
如图所示,点A,B,C在同一条直线上,点M在AC外,经过图中的三个点作圆,可以作 个.
D
3
三角形的外接圆、外心
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边 线的交点,叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离 .
[例2-1] (2022玉林)如图所示,在5×7的网格中,各小正方形的边长均为1,点O,A,B,C,D,E均在格点上,点O是△ABC的外心,在不添加
其他字母的情况下,则除△ABC外外心也是点O的三角形是
.
垂直平分
相等
△ABD,△ACD,△BCD
[例2-2] 如图所示,将图中破了的轮子复原,已知弧上的三点A,B,C.
(1)画出该轮子的圆心;
解:(1)如图所示,分别作弦AB和AC的垂直平分线,交点O即为所求的圆心.
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求圆的半径R.
新知应用
1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的格点上,则△ABC的外心是( )
A.点D B.点E C.点F D.点G
A
2.如图所示,在平面直角坐标系中,点A(2,9),B(2,3),C(3,2),D(9,2)在☉P上.
(1)在图中标出点P的位置;
解:(1)如图所示,点P是弦AB的垂直平分线l1与弦CD的垂直平分线l2的交点.
(2)点P的坐标是 .
解:(2)(6,6)
D
1.下列语句中,正确的是( )
A.任何一个圆都只有一个圆内接三角形
B.钝角三角形的外心在三角形内部
C.三角形的外心到三角形三边的距离相等
D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
2.(2023邢台一模)如图所示,在由小正方形组成的网格中,点A,B,C,
D,E,F,O均在格点上.下列三角形中,外心不是点O的是( )
A.△ABC B.△ABD
C.△ABE D.△ABF
C
3.在平面直角坐标系内的三个点A(1,-3),B(0,-3),C(2,-3) (选填“能”或“不能”)确定一个圆.
4.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,点O为△ABC的外心,则∠BOC的度数为 .
不能
140°
5.如图所示,在网格内有一个三角形ABC,顶点A,B,C都在格点上.
(1)请借助网格和一把无刻度的直尺找出△ABC的外心(点O);
解:(1)如图所示,作BC的垂直平分线l1,AB的垂直平分线l2,l1与l2交于点O,则点O即为所求.
(2)设每个小方格的边长为1,求出外接圆☉O的面积.
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第2课时 圆周角定理的推论2,3
圆周角定理的推论2
圆周角定理的推论2:直径所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 .
直角
直径
[例1-1] 如图所示,AB是☉O的直径,C,D是圆上两点.若∠ABD=65°,则∠BCD的度数为( )
A.55° B.65° C.25° D.60°
C
B
30°
[例1-3] 如图所示,C,D是以线段AB为直径的☉O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB的度数是( )
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
B
圆周角定理的推论2的应用技巧
遇到直径要想到直径所对的圆周角为90°,遇到90°的圆周角时要想到90°的圆周角所对的弦是直径,需要时作辅助线构造直角三
角形.
新知应用
1.(2022牡丹江)如图所示,BD是☉O的直径,A,C在☉O上,∠A=50°,则∠DBC的度数是( )
A.50° B.45° C.40° D.35°
C
2.(2023广元期末)如图所示,☉O的直径AB为20 cm,弦AC=12 cm,
∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.
圆内接四边形的概念和性质
1.定义:四个顶点在 的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.
2.圆周角定理的推论3:圆内接四边形的对角 .
同一圆上
互补
[例2-1] (2022长春)如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠BCD=121°,则∠BOD的度数为( )
A.138° B.121°
C.118° D.112°
C
[例2-2] (2022梧州)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,且AB=AC,
∠BAC=36°,在上取点D(不与点A,B重合),连接BD,AD,则∠BAD+∠ABD的度数是( )
A.60° B.62° C.72° D.73°
C
新知应用
1.如图所示,圆内接四边形ABCD,∠A,∠B,∠C的度数之比为4∶3∶5,则∠D的度数是( )
A.80° B.120° C.135° D.140°
B
2.(2022锦州)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,
∠ADC=130°,连接AC,则∠BAC的度数为 .
3.如图所示,AB是半圆O的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠AOC=50°,则∠D的度数是 .
40°
115°
D
D
4
4.在圆内接四边形ABCD中,∠D-∠B=40°,则∠D的度数为 .
5.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为5,
∠B=135°,则弦AC的长为 .
110°
6.(2022威海)如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.
(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
(1)证明:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠ADC+∠ADE=180°,∴∠ADE=∠ABC.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠ADE=∠ACB.
∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE.
(2)若BC=3,☉O的半径为2,求sin∠BAC.
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4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理及推论1
圆周角的定义和圆周角定理
1.圆周角的定义:顶点在 ,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角叫做圆周角.
2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 .
圆上
一半
[例1-1] 下列图形中,∠BAC是圆周角的是( )
B
C
30°
新知应用
1.(2022阜新)如图所示,A,B,C是☉O上的三点,若∠C=35°,则∠ABO的度数是( )
A.35° B.55°
C.60° D.70°
B
D
圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角 .
[例2-1] (2022滨州)如图所示,在☉O中,弦AB,CD相交于点P,若
∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的大小为( )
A.32° B.42° C.52° D.62°
相等
A
B
新知应用
50°
1.(2022陕西改编)如图所示,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠C=46°,连接OA,则∠OAB的度数为( )
A.44° B.45° C.54° D.67°
A
2.如图所示,点A,B,C,D,E都在☉O上,∠BAC=15°,∠BOD=70°,则
∠CED的度数是( )
A.15° B.20° C.25° D.55°
B
74°
4.(2022永州)如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为 .
120°
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*7 切线长定理
切线长定理
1.过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的 叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理:过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长 .
[例1-1] 如图所示,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
线段长
相等
D
[例1-2] (2022眉山)如图所示的是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为( )
A.28° B.50° C.56° D.62°
C
新知应用
1.如图所示,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
C
5
115°
三角形的内切圆和四边形的内切圆
[例2-1] 如图所示,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为( )
A.44 B.42 C.46 D.47
A
[例2-2] 如图所示,☉O是Rt△ABC的内切圆,点D,E,F分别是切点,
∠C=90°.若AC=12 cm,BC=9 cm,求☉O的半径.
(2)圆外切四边形的两组对边的和相等.
新知应用
1.如图所示,△ABC的内切圆☉O分别与AB,AC,BC相切于点D,E,F.若∠C=90°,AC=6,BC=8,则☉O的半径为 .
2
2.如图所示,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,☉O内切于菱形ABCD,则☉O的半径为 .
1.如图所示,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点C,D,若PA=8,则△PCD的周长为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
D
D
4
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,分别与BC,AC,AB相切于点D,E,F,若BF=2,AF=3,则△ABC的面积是 .
6
5.如图所示,四边形ABCD的各边都与圆相切,它的周长为18,若AB=6,则CD的长为 .
3
6.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.
(1)求证:△PAB是等边三角形;
(1)证明:∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴PA=PB.
∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形.
(2)求AC的长.
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*3 垂径定理
垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的 .
弧
B
(1)判断AD与BD的数量关系;
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m).
解:(1)AD=BD.
新知应用
1.如图所示,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若CD=8,OE=3,则☉O的半径为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
B
2.(2022长沙)如图所示,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB于点D,且D是OC的中点,若OA=7,则BC的长为 .
3.圆管涵洞是公路路基排水中常用的涵洞结构类型,它不仅力学性能好,而且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵洞排水管道的截面是直径为1 m的圆,如图所示,若水面宽AB=0.8 m,水的最大深度为
.
7
0.8 m
垂径定理的推论
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径 于弦,并且平分弦所对的 .
[例2-1] 如图所示,☉O的半径为5,C是弦AB的中点,OC=3,则AB的长是
( )
A.6 B.8 C.10 D.12
垂直
弧
B
[例2-2] 如图所示,AB,CD为☉O的两条弦,AB∥CD,经过AB中点E的直径MN与CD交于点F.求证:CF=DF.
证明:∵E是AB的中点,MN为直径,
∴MN⊥AB.
∵AB∥CD,∴MN⊥CD.
∴CF=DF.
新知应用
5
2.如图所示,在☉O中,OA⊥BC于点D,连接AB,AC,E是AC的中点,
连接DE.
(1)若AB=6,求DE的长;
(2)若∠BAC=100°,求∠CDE的度数.
B
D
3.(2022自贡)一块圆形玻璃镜面碎成了几块,其中一块如图所示,测得弦AB长 20 cm,弓形高CD为2 cm,则镜面半径为 cm.
26
4.如图所示,D是☉O弦BC的中点,A是☉O上的一点,OA与BC交于点E,已知AO=8,BC=12.
(1)求线段OD的长;
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8 圆内接正多边形
正多边形的有关概念及相关计算
1.定义:顶点都在 上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆.
2.中心:正多边形的 的圆心叫做这个正多边形的中心.
3.半径:正多边形外接圆的 叫做正多边形的半径.
4.中心角:正多边形每条边所对的外接圆的 叫做正多边形的中心角.
5.边心距:中心到正多边形的一边的 叫做正多边形的边心距.
同一圆
外接圆
半径
圆心角
距离
[例1-1] (2022绥化)如图所示,正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于☉O,且有公共顶点A,则∠BOH的度数为 .
12°
[例1-2] 某校建了一个读书亭,如图所示,它的地基是外接圆半径为
4 m的正六边形,则此地基的周长是 m,面积是 m2.
24
新知应用
1.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系是( )
A.aC.a2.如图所示,正五边形ABCDE内接于☉O,则正五边形的中心角∠COD的度数是( )
A.76° B.72°
C.60° D.36°
A
B
正多边形的画法及应用
通常利用等分圆周法画圆的内接正n边形,先将一个圆n等分,再顺次连接各分点.
[例2] 用量角器作出一个半径为1 cm 的圆的内接正五边形.
解:如图所示,作半径为1 cm的☉O,再用量角器依次作72°的圆心角∠AOB,∠BOC,∠COD,∠DOE,顺次连接AB,BC,CD,DE,EA,则五边形
ABCDE为☉O的内接正五边形.
新知应用
(2022金华)如图所示,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答问题:
作法:①作直径AF;
②以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N;
③连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是等边三角形吗 请说明理由.
(3)从点A开始,以DN的长为边长,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
C
D
6 cm
4.如图所示,已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:
(1)作☉O的内接正六边形ABCDEF;
解:(1)如图所示,首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心,OA长为半径画弧,分别交☉O于点B,F,C,E,连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,则正六边形ABCDEF即为所求.
(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明.
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第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
切线的判定
过半径 且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
外端
[例1-1] 如图所示,在△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是( )
A.OM⊥MP
B.∠O+∠P=∠OMP
C.OM2+PM2=OP2
D.点N是OP的中点
D
[例1-2] 如图所示,AB是☉O的直径,AC是☉O的弦,过点C的直线交
AB的延长线于点D,∠D=60°,∠A=15°.试判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由.
解:直线CD与☉O相切.理由如下:如图所示,连接OC,
∵∠A=15°,OA=OC,∴∠ACO=∠A=15°.∴∠COD=∠ACO+∠A=30°.
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=180°-30°-60°=90°.
∴OC⊥CD.∵点C在☉O上,
∴CD是☉O的切线.
新知应用
1.如图所示,点P为☉O外一点,连接OP,以OP为直径作圆,两圆交于点Q,连接PQ,可判定PQ是☉O的切线,则判定其为切线的依据是( )
A.经过半径的外端且垂直这条半径的直线是圆的切线
B.垂直于半径的直线是圆的切线
C.和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
D.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
A
2.如图所示,OA=OB=13 cm,AB=24 cm,☉O的直径为10 cm.求证:AB是☉O的切线.
三角形的内切圆、内心
与三角形三边都 的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条 线的交点,叫做三角形的内心,三角形的内心到三角形三条边的距离 .
相切
角平分
相等
[例2-1] 下列关于三角形的内心说法正确的为( )
A.内心是三角形三条角平分线的交点
B.内心是三角形三边垂直平分线的交点
C.内心到三角形三个顶点的距离相等
D.钝角三角形的内心在三角形外
[例2-2] 如图所示,△ABC的内切圆☉I分别与BC,AC,AB相切于点
D,E,F,若∠B=55°,∠C=75°,则∠EDF的度数是( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
A
C
新知应用
1.一个三角形的内心也是它的外接圆圆心,这个三角形的形状是
( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
2.在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别是(0,6),(-8,0),则Rt△ABO内心的坐标为 .
C
(-2,2)
1.如图所示,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与点A,B重合),
DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是切线的是( )
A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°
C
2.如图所示,△ABC内接于☉O,过点A作直线DE,要判定直线DE与☉O相切,需要添加的条件是( )
A.∠BAE=∠B B.∠BAE=∠BAC
C.∠BAE=∠C D.∠BAE=∠DAC
C
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,☉O是它的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,若∠ACB=40°,则∠DOE的度数为 .
130°
4.如图所示,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以点M为圆心,
3 cm为半径作☉M.当OM= cm时,☉M与OA相切.
6
5.(2022枣庄节选)如图所示,在☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD.求证:CD是☉O的切线.
证明:如图所示,连接OC,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAO.
∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA.∴∠DAC=∠OCA.∴AD∥OC.
∵AD⊥DC,∴CO⊥DC.∵OC是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.
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6 直线和圆的位置关系
第1课时 切线及其性质
直线和圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系有三种: 、 、 .
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,根据直线和圆相交、相切、相离的定义,容易得到直线和圆 dr.
2.切线的定义:直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
相交
相切
相离
相交
相切
相离
[例1-1] 圆的半径是7 cm,如果圆心与直线上某一点的距离是
6.5 cm,那么该直线和圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
C
B
[例1-3] 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,若以点C为圆心,r为
半径的圆与边AB所在的直线相离,则r的取值范围为 .
判断直线和圆的位置关系的步骤
(1)求出圆心到直线的距离;
(2)比较距离和半径的大小;
(3)根据距离和半径的大小关系,判断直线和圆的位置关系.
新知应用
1.(2022六盘水)如图所示的是“光盘行动”宣传海报中的图片,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
2.在同一平面内,已知点O到直线l的距离为5,以点O为圆心,r为半径画圆,当r= 时,☉O上有且只有3个点到直线l的距离等于3.
B
8
(1)r=3 cm;(2)r=4.5 cm;(3)r=6 cm.
(2)当r=4.5 cm时,☉D与直线AB相切.
(3)当r=6 cm时,☉D与直线AB相交.
圆的切线的性质
切线的性质:圆的切线垂直于过切点的 .
[例2-1] (2022长沙)如图所示,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为( )
A.32° B.52° C.64° D.72°
半径
B
[例2-2] 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径的圆恰好与AB相切,D为切点,连接BO.求证:BO平分
∠ABC.
证明:如图所示,连接OD.
∵AB与☉O相切,
∴∠ODB=90°.
在Rt△BDO和
Rt△BCO中,
∵DO=CO,OB=OB,
∴Rt△BDO≌Rt△BCO(HL).
∴∠DBO=∠CBO.∴BO平分∠ABC.
新知应用
1.(2023眉山)如图所示,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
C
2.(2022怀化)如图所示,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 .
1.☉O的直径是14,若圆心O与直线m上某一点的距离是7,则直线m与☉O的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
2.如图所示,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切,点P为切点,大圆、小圆的半径分别为10 cm和6 cm,则AB的长为
.
D
16 cm
3.(2022泰安)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,☉O过点A,C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO的度数为 .
64°
4.如图所示,AB是☉O的直径,AD平分∠BAC交☉O于点D,过点D的切线交AC的延长线于点E.求证:DE⊥AE.
证明:如图所示,连接OD.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.∴∠ODE=90°.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠DAB.
∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE.∴∠E+∠ODE=180°.
∴∠E=90°.∴DE⊥AE.
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第三章 圆
章末知识复习
知识点一 圆的有关概念和性质
C
C
80°
知识点二 圆周角定理及推论
4.(2022自贡)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,
∠ABD=20°,则∠BCD的度数是( )
A.90° B.100° C.110° D.120°
C
C
A
知识点三 与圆有关的位置关系
7.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,如果☉A的半径为5,则点C,D与☉A的位置关系分别是( )
A.点C在☉A外,点D在☉A内
B.点C在☉A外,点D在☉A外
C.点C在☉A上,点D在☉A内
D.点C在☉A内,点D在☉A外
C
8.如图所示,从☉O外一点A作☉O的切线AB,切点为B,连接AO并延长交☉O于点C,连接BC.若∠A=26°,则∠ACB的度数是( )
A.26° B.30° C.32° D.36°
C
9.如图所示,☉O是△ABC的内切圆,点D,E是切点,∠A=50°,
∠C=60°,则∠DOE的度数为 .
110°
10.(2022随州节选)如图所示,已知D为☉O上一点,点C在直径BA的延长线上,BE与☉O相切,交CD的延长线于点E,且BE=DE,连接BD.判断CD与☉O的位置关系,并说明理由.
解:CD与☉O相切.理由如下:如图所示,连接OD.
∵EB=ED,OB=OD,∴∠EBD=∠EDB,∠OBD=∠ODB.∵BE是☉O的切线,
OB是半径,∴OB⊥BE.∴∠OBE=90°.∴∠EBD+∠OBD=90°.
∴∠EDB+∠ODB=90°.∴OD⊥DE.
∵OD是半径,∴CD与☉O相切.
知识点四 圆与正多边形
D
12.如图所示,正八边形ABCDEFGH内接于☉O,若AC=4,则点O到AC的距离为 .
2
知识点五 弧长与扇形的面积
184
类型一 分类讨论思想
需要分类讨论的几种常见类型
(1)当点(或直线)与圆的位置关系不明确时;
(2)当两弦与圆心的位置不明确时;
(3)当点在优弧或劣弧上不确定时;
(4)当弦所对的弧是优弧还是劣弧不明确时.
1.一个点到圆上的最大距离为13 cm,最小距离是7 cm,则圆的半径为( )
A.10 cm B.6 cm
C.20 cm或6 cm D.10 cm或3 cm
2.如图所示,P是抛物线y=x2-4x+3上的一点,以点P为圆心、1个
单位长度为半径作☉P,当☉P与x轴相切时,点P的坐标为
.
D
3.如图所示,☉O的直径为4,AB为☉O的弦,且AB=2,则弦AB所对圆周角的度数为 .
4.已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=8 cm,
CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为 .
30°或150°
1 cm或7 cm
类型二 转化思想
几种常见的转化类型
(1)化不规则图形为规则图形求解;
(2)化“非直角三角形”为“直角三角形”求解;
(3)圆心角与圆周角相互转化.
D
2.(2022河南)如图所示,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O′处,得到扇形A′O′B′.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积
为 (结果保留π).
95°
1.(2021雅安)如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,若四边形
OBCD为菱形,则∠BAD的度数为( )
A.45° B.60° C.72° D.36°
B
2.(2023自贡)如图所示,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,
∠DCA=41°,则∠ABC的度数是( )
A.41° B.45° C.49° D.59°
C
C
C
A
7.(2022雅安节选)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO是∠BAC的平分线,以点O为圆心,OC为半径作☉O与直线AO交于点E和点D,连接
CE,CD.求证:
(1)AB是☉O的切线;
证明:(1)如图所示,过点O作OF⊥AB于点F,
∵AO是△ABC的角平分线,OF⊥AB,OC⊥AC,
∴OF=OC.
∴OF为☉O的半径.
∴AB是☉O的切线.
(2)△ACE∽△ADC.
证明:(2)∵OC是☉O的半径,OC⊥AC,
∴∠ACE+∠ECO=90°.
∵ED是☉O的直径,∴∠DCE=90°.
∴∠EDC+∠DEC=90°.
∵∠DEC=∠ECO,
∴∠ACE=∠EDC.
∵∠EAC=∠CAD,
∴△ACE∽△ADC.
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9 弧长及扇形的面积
弧长公式及应用
在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l= .
D
[例1-2] (2022枣庄)在活动课上,“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车.如图所示,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,使点C′落在AB边上,以此方法做下去…则点B通过一次旋转至点B′所经过的路径长为 (结果保留π).
新知应用
C
60°
扇形的面积计算
1.如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形面积的计算公式为
S扇形= .
2.如果扇形的弧长为l,半径为R,那么扇形面积的计算公式为S扇形=
.
[例2-1] (2022广东)扇形的半径为2,圆心角为90°,则该扇形的面积为 (结果保留π).
π
[例2-2] 一个扇形的弧长是10π cm,圆心角是150°,此扇形的面积为 (结果保留π).
60π cm2
求阴影部分面积的常用方法
(1)规则图形,可直接用公式求解;
(2)分割求和(差)法:把图形适当分割,将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差;
(3)等积转化法:通过等面积转化,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算;
(4)整体作差法:用整个图形的面积减去所有空白部分的面积.
新知应用
C
2.一个扇形的面积为6π,弧长为2π,则此扇形圆心角的度数为
.
3.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B,点C为圆心,线段BC长的一半为半径作圆弧,交AB,BC,AC于点D,E,F,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π).
60°
4-π
1.已知一个扇形的面积是24π,弧长是2π,则这个扇形的半径为( )
A.24 B.22 C.12 D.6
A
C
4.(2022衢州)如图所示,C,D是以AB为直径的半圆上的两点,∠CAB=
∠DBA,连接BC,CD.
(1)求证:CD∥AB;
(2)若AB=4,∠ACD=30°,求阴影部分的面积(结果保留π).
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