课件23张PPT。第二章 二次函数2.2 二次函数的图象与性质（第3课时）目标展示学习内容:北师大版九年级下册
学习目标: 会画二次函数 和
的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线 的图象的关系，理解a,h,k对二次函数图象的影响.
学习重点: 二次函数 的图象与性质.
学习难点: 二次函数 图象与 图象之间的关系，a,h,k对二次函数图象的影响.1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:1)y=ax2
2)y=ax2+c
请说出二次函数y=ax2+c与y=ax2的平移关系。y=ax2当c>0时,向上平移c个单位当c<0时,向下平移 个单位回忆一下向上直线x=0( 0,0 )直线x=0向上( 0,3 )y =2x2+3图象可以由 的图象向__平移__个单位得到.温故引新看黑板填下表，回答问题：上3比较函数 与 的图象 做一做(2)在同一坐标系中作出二次函数y=2x2和y=2(x-1)2的图象． ⑴完成下表,并比较2x2和2(x-1)2的值,它们之间有什么关系? 在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2的图象y=2x2y=2(x–1)2二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象的关系？
1、它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
2、当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当 x取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？议一议4、结论:将 y=2x2的图象向 平移 _个单位就得到y=2(x-1)2 的图象.
5、猜一猜： y=2(x+1)2 的图象是怎么样的？它的图象与y=2x2 的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！
猜测：将y=2x2 的图象向 平移 个单位就得到y=2(x+1)2 的图象.右1左15y=2(x-1)2 y=2x25y=2x2y=2(x+1)2 5y=2(x-1)2 y=2x2y=2(x+1)2 二次函数y=2x2, y=2(x-1)2, y=2(x+1)2的图象都是 ，并且形状 ，只是位置不同.
将y=2x2 的图象向 平移 单位,就得到 的y=2(x-1)2图象;
将y=2x2 的图象向 平移 单位,就得到 的y=2(x+1)2图象. 返回抛物线相同右1左1二次函数y=2x2- , y=2(x+3)2,
y=2(x+3)2- 的图象的关系？返回 探究二: 图像的特点.我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=2x2- , y=2(x+3)2和
y=2(x+3)2- 的图象.二次函数y=2x2- , y=2(x+3)2和y=2(x+3)2- 的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看． 5y=2(x+3)2y=2x2返回y=2(x+3)2 -5y=2(x+3)2y=2x2返回y=2(x+3)2 -1/2议一议：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与y=ax2 有什么关系？的图像可以由向下平移半个单位向左平移三个单位向左平移三个单位向下平移
半个单位先向下平移半个单位,再向左平移三个单位,或者先向左平移三个单位再向下平移半个单位而得到.联系
将函数 y=2x2的图象向右平移1个单位, 就得到 y=2(x-1)2的图象;
在向左平移2个单位,得到函数 y=2(x+1)2的图象.
相同点: (1)图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同.
(2)都是轴对称图形.
(3)顶点都是最低点.
(4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称轴右侧,都随 x 的增大而增大.
(5)它们的增长速度相同.
(6)最小值相同.
不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. 小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出 的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向(2)对称轴是直线x=h(3)顶点坐标是(h,k)开口向上 开口向上 开口向上直线X=0 直线X=h直线X=h(0,k)(h,0)(h,k)1) 若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是_________________。
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,顶点坐标为(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______延伸题（先将y=2(x-1) 2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位。）（先将y=2(x-1) 2+3向左平移3个单位，再向下平移4个单位）y=2(x-3)2+51、平移关系2、顶点变化当h>0时,向右平移当h<0时,向左平移y=ax2y=a(x－h)2（h,0)（0,0)当k>0时,向上平移当k<0时,向下平移y=a(x－h)2+k（h,k)二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系小结y=ax2当h>0时,向右平移h个单位当h<0时,向左平移 个单位y=a(x-h)2y=ax2当c>0时,向上平移c个单位当c<0时,向下平移 个单位上下平移规律左右平移规律课件12张PPT。第二章 二次函数2.2 二次函数的图象与性质（第1课时） 回顾与思考1、回顾正比例函数，一次函数与反比例函数图象特征，请同学们谈谈它们的图象有哪些特征？
2、画函数图象的主要步骤是什么？（1）_____ ；（3）______。（2）_____ ；列表 描点 连线 3、你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?yx… －3 －2 －1 0 1 2 3 …探究二次函数 y= x2的图象和性质观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：……9410149描点,
连线y=x2yx… －3 －2 －1 0 1 2 3 …… 9 4 1 0 1 4 9 … 列表：注意：1）在连接时必须用光滑的曲线 2）在连接时必须依次连接
xyoy=x2(1)你能描述图象的形状吗?
与同伴进行交流.(5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
请你找出几对对称点,并与同伴交流.(2)图象 与x轴有交点吗？
如果有,交点坐标是什么?(3)当x<0时,随着x的值增大,
y 的值如何变化？当x>0时呢？(4)当x取什么值时,y的值最
小?最小值是什么？你是如
何知道的？探究二次函数 y=x2 的图象和性质(5)这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. (2)与x轴有交点，
交点的坐标为（0，0）
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.(1)二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.（3）当x<0 (在对称轴的左
侧)时,y随着x的增大而
减小. （3）当x>0 (在对称轴的右
侧)时, y随着x的增大而
增大. （4）抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。
做一做二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出
它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行
交流。二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.它与抛物线y=x2图
像的开口方向相反 它与抛物线y=x2
图像的形状相同说说二次函数y=－x2的图象
有哪些性质？与同伴交流。（1）图象与x轴交于原点(0，0)（2） y ≤0 （3）当x <0时，y 随x 的增大而增大；
当x >0时，y 随x 的增大而减小。（4）当 x = 0时，y最大值 = 0（5）图象关于y 轴对称。练习1.设正方形的边长为a，面积为S，试做出S随a的变化而变化的图象.
2．点 A（2，4）在二次函数 的图象上吗？请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标、关于 y 轴的对称点 C 的坐标、关于原点 O 的对称点 D 的坐标．点 B，C，D 在二次函数 的图象上吗？在二次函数 的图象上吗？2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点
外）,它的开口向上,并且向上无限伸；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶
点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大
而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增
大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而
增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,
当x=0时,函数y的值最大.1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.由二次函数y=x2和y=-x2知：课件21张PPT。第二章 二次函数2.2 二次函数的图象与性质
（第2课时）抛物线 y=x2 y=-x2 顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值（0，0）（0，0）y轴y轴在x 轴的上方（除顶点外）在x 轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，最小值为0当x=0时，最大值为0二次函数y=x2 与y=-x2的性质１、顶点坐标与对称轴２、位置与开口方向３、增减性与最值如图所示如图所示 复习回顾解：列表y=2x221.510.50-0.5-1-1.5-2x224.54.58800.50.5例1.画出函数y=2x2的图象 做一做函数y=2x2的图象是什么形状?它与y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么?
xyoy=x2-4-3-2-11234123456789y=2x2二次函数y=2x2的
图象形状与y=x2
一样,仍是抛物线.二次项系数a>0,
开口都向上;对
称轴都是y轴;
增减性也相同. 顶点都是
原点(0,0).
只是开口
大小不同.在直角坐标系中，画出函数 的图象．观察它与y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同？不同点：
a 越大，抛物线的开口越小．说一说相同点：
(1)开口都向上;
(2)顶点是原点而且是抛物线的最低点;
(3)对称轴是y轴.观察图象｜a｜的值越大，开口越小。在同一坐标系画三个函数的图像： y=2x2， y=x2 ， y= x2
思考：由图像，看 y=ax2 的a对图像有什么影响？
结论：a越大，开口越小。练一练｜a｜的值越大，开口越小。 做一做yoy=2x2
-4-3-2-11234123456789xy=2x2+1
画二次函数y=2x2+1的图象，你是怎样画的？二次函数y=2x2+1的图象与y=2x2的图象有什么关系？
它是什么形状? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?二次项系数a>0,
开口都向上;对
称轴都是y轴;
增减性也相同. 函数y=2x2
顶点(0,0).函数y=2x2+1
顶点(0,1).二次函数y=2x2-1的图象呢？实际上，将函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度就得到y=2x2+1的图象。二次函数y=2x2，y=2x2+1，
y=2x2-1的图象都是抛物线，
并且形状相同，只是位置不同.将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=2x2+1的图象.将二次函数y=2x2的图象
向下平移1个单位，就得
到函数y=2x2-1的图象.你能总结一下二次函数y=2x2、y=2x2+1、 y=2x2+1 （a≠0）
的图象和性质吗？y=2x2+1y=2x2-15y=2x2+1y=2x2 0.25.0.5.0.75.1.y-0.25.-0. 5.-0.75.-1.y=3x2 想一想
你知道函数 y=3x2-1的大
致图象和位
置吗?
0.25.-0.25.-0. 5.-0.75.-1.y=3x2-1二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到归纳小结师生归纳y=ax2c>0c<0下移上移y=ax2+c顶点y轴上:(0,c)向上向上向下向下y轴y轴（0，0）（0，c）二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向 ___
平移 个单位.
2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图
象的函数解析式为_______.
3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ）
_____（在，不在）y=ax2+a的图象上.
4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则
K_______例题讲解下1y=-3x2-2在＞0.5 1. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（ ）
思维与拓展yx0x0x0xxyyyB.A.C.D.B 2. 函数y=ax2+a与y= （a≠0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
思维与拓展yA.C.D.D那么刹车距离与什么因素有关？例：有研究发现，汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：
1.说明这两个函数图象的相同点和不同点；
2.如果行车速度是 60 km/ h，那么在平滑路段和在粗糙路段相比，刹车距离相差多少米？
60v速度(公里/小时)S距离(米)24解：1.两个函数相同点： 图象都是抛物线它的开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标是（0，0）. 不同点：只是开口大小不同. 2.当x=60时， y=1/60x2=60,
y=1/150x2 =24,所以60-24=36米 合作小结与学习目标 能作出y=ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.
说出y=ax2和y=ax2+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.以及他们之间的联系.某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式. 试一试xyABOC课件24张PPT。第二章 二次函数2.2 二次函数的图象与性质（第4课时）a<0,开口向下.a<0,在对称轴左
侧,y都随x的增
大而增大,在对
称轴右侧,y都随
x的增大而减小 . a>0,
开口
向上;a>0,在对称轴左
侧,y都随x的增大
而减小,在对称轴
右侧,y都随 x的增
大而增大;耐心填一填北京时间2007年6月1日零时零八分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭成功发射“鑫诺三号”通信卫星。这是中国“长征”系列运载火箭的第100次飞行。中国“长征”系列运载火箭已完成100次航天发射，其发射记录由两位数步入三位数，中国也成为继美、俄、欧之后世界上第四个主力品牌火箭执行航天发射达到百次的国家。 当火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式 h = - 5 t 2 + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数 y=2x2- 8x+7 的图象吗？ 我们知道,作出二次函数y=2x2的图象,通过平移抛物线y=2x2 是可以得到二次函数y=2x2-8x+7的图象.怎样直接作出函数y=2x2-8x+7的图象?
提取二次项系数配方整理化简:去掉中括号能否转化为上一节课所学知识？顶点式解：http://www.bnup.com.cn∵a=3>0,
∴开口向上;对称轴是直线x=1;顶点坐标为(1,4).因此，将抛物线y=3x2 的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位就能得到该函数的图象。解：
做一做：确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（1） y=3x2-6x+7 ，（2）y=2x2-12x+8（1）y=3x2-6x+7
=3（x2－2x）+7
=3(x2－2x+1-1)+7
=3(x-1)2-3+7
=3(x-1)2+4 (2) y=2x2-12x+8
=2(x2-6x+9-9)+8
=2(x-3)2-18+8
=2(x-3)2-10http://www.bnup.com.cn你还能发现它的图象与各坐标轴的交点是什么吗？试一试：分析函数 y=3x2-6x+7 的图象 拓展与延伸http://www.bnup.com.cn你能用配方法确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标吗？练一练，马到功成！如果每次都采取“配方”，岂不是很麻烦？有更好的办法吗？例：求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例:求二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴和顶点坐标． 提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号解：二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线几何画板演示2顶点坐标公式根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 练一练，马到功成！如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用
表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称． 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用 桥面 -5 0 5Y/m x/m 10⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？http://www.bnup.com.cn想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗? 课内拓展延伸一题多变http://www.bnup.com.cn1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？http://www.bnup.com.cn顶点坐标公式二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线谈一谈:你的收获http://www.bnup.com.cn想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？http://www.bnup.com.cn1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: (1)位置不同
(2)顶点不同
(3)对称轴不同
(4)最值不同
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成将y=ax2的图象经过
特定的平移后得到.函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2的关系http://www.bnup.com.cn再见!
