第二章 二次函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式,变形正确的是(D)
A.y=(x-2)2-1 B.y=(x+1)(x+3)
C.y=(x-2)2+1 D.y=(x+2)2-1
2.抛物线y=x2-4x+4与x轴的公共点的坐标是 (B)
A.(2,0),(,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(-2,0)
3.二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点个数是 (B)
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
4.(2023·十堰中考)已知点A(x1,y1)在直线y=3x+19上,点B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线y=x2+4x-1上,若y1=y2=y3,x1A.-12C.-95.(2023·黔南州长顺质检)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x厘米.当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为 (A)
A.6厘米 B.12厘米 C.24厘米 D.36厘米
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则反比例函数y=与一次函数y=-cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是 (C)
7.如图是二次函数y=ax2+bx的图象.若关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为(B)
A.-3 B.3 C.-6 D.6
8.(2023·日照中考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx(a≠0)满足,已知点(-3,m),(2,n),(4,t)在该抛物线上,则m,n,t的大小关系为 (C)
A.tC.n9.如图,抛物线L1:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2,则图中两个阴影部分的面积和为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2024·黔东南州从江县期末)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,为使该服装店平均每天的销售利润最大,则每件的定价应为 (B)
A.21元 B.22元 C.23元 D.24元
11. 如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x,两个三角形重叠面积为y,则y关于x的函数图象是 (B)
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象经过点(0,2),其对称轴为直线x=-1.下列结论:①3a+c>0;②若点(-4,y1),(3,y2)均在二次函数图象上,则y1>y2;③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个相等的实数根;④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为-2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·包头中考)已知二次函数y=-ax2+2ax+3(a>0),若点P(m,3)在该函数的图象上,且m≠0,则m的值为 2 .
14.把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: m>3 .
15.(2024·贵阳花溪区质检)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为 y=-x2-4x+5 .
16.(2023·长春中考)2023年5月28日,C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”,是国际民航中高级别的礼仪).如图①,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②,当两辆消防车喷水口A,B的水平距离为80米时,两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米,喷水口A,B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A',B'到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H'距地面 19 米.
三、解答题(共98分)
17.(12分)如图,已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0).
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标;
(2)求直线AM的表达式.
【解析】(1)∵抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0),
∴2×22+2m=0,∴m=-4,∴y=2x2-4x=2(x-1)2-2,
∴顶点M的坐标为(1,-2);
(2)设直线AM的表达式为y=kx+b(k≠0),
∵图象过A(2,0),M(1,-2),
∴,解得,∴直线AM的表达式为y=2x-4.
18. (10分)(2023·毕节威宁期中)如图,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m.设矩形ABCD的面积为S(m2).问AB长为多少时S最大,并求最大面积.
【解析】设AB长为x m,则AD长为 m,
根据题意得S=x·=-x2+15x=-(x-15)2+,
∵-<0,0答:AB长为15 m时S最大,最大值为 m2.
19.(10分)定义:关于x的函数y=mx2+nx与y=nx2+mx(其中mn≠0)叫做互为交换函数.若这两个函数图象的顶点关于x轴对称,求m,n之间的关系.
【解析】函数y=mx2+nx=m(x+)2-的顶点坐标为
20.(10分)(2023·毕节质检)在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,sin B=.动点M从点B出发,沿BO以1单位/秒的速度向点O运动;动点P从点B出发,沿BA以1单位/秒的速度向点A运动;P,M两点同时出发,任意一点先到达终点时,两点停止运动.设运动的时间为t.△PMO的面积为S,求S的最大值.
【解析】
如图,∵在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,sin B=.∴AB=5,
∴OB==4,
过点P作PD⊥OB,在Rt△PDB中,
PB=t,sin B=,∴PD=t,OM=4-t,∴S=(4-t)·t=-(t-2)2+,∵0≤t≤4,∴当t=2时,S有最大值,S最大值=.
21.(10分) (2024·遵义赤水市质检)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)求tan∠ABC.
【解析】(1)由题意可设抛物线表达式为y=a(x-4)2-3(a≠0),
把A(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=,
故该二次函数表达式为y=(x-4)2-3;
(2)令x=0,则y=(0-4)2-3=,则OC=.
因为二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),则点B与点A关于直线x=4对称,A(1,0),所以B(7,0),所以OB=7,
所以tan∠ABC===.
22.(12分)已知抛物线G:y=mx2-2mx-3有最低点.
(1)求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示);
(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围.
【解析】(1)y=mx2-2mx-3=m(x2-2x)-3=m(x-2x+1-1)-3=m(x-1)2-m-3,
∵抛物线有最低点,
∴m>0,
又∵(x-1)2≥0,
∴m(x-1)2≥0,
∴y≥-m-3.
∴二次函数的最小值是-m-3.
(2)由题意得,G1:y=m(x-1-m)2-m-3(m>0),
设G1的顶点为D1,则D1(1+m,-m-3),
观察可知D1的纵坐标与横坐标之间存在一次函数的关系式,∴设其关系式为y=kx+b,代入D1(1+m,-m-3),得-m-3=k(1+m)+b,
∴m(k+1)+k+b+3=0①,
由题意得,当m>0时,①式恒成立,
∴解得
∴y=-x-2,
∵m>0,∴x=1+m>1,
∴所求函数关系式为y=-x-2(x>1).
(3)方法一:如图,函数H:y=-x-2(x>1)图象为射线x=1时,y=-1-2=-3;
x=2时,y=-2-2=-4,
∴函数H的图象恒过点B(2,-4),
∵抛物线G:y=m(x-1)2-m-3,
x=1时,y=-m-3;
x=2时,y=m-m-3=-3,
∴抛物线G恒过点A(2,-3).
由图象可知,若抛物线与函数H的图象有交点P,则yB∴点P纵坐标的取值范围为-4方法二:
整理得:m(x2-2x)=1-x,
∵x>1,且x=2时,方程为0=-1不成立,
∴x≠2,即x2-2x=x(x-2)≠0,
∴m=>0.
∵x>1,∴1-x<0,
∴x(x-2)<0,∴x-2<0,
∴x<2,即1∵yP=-x-2,∴-423.(10分) 如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线上是否存在一点P,使得S△PBC=S△ABC 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)将A(-3,0),B(1,0)两点,代入抛物线y=ax2+bx+3得,,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3;
(2)存在,理由如下:∵A(-3,0),B(1,0),
∴AB=4.令x=0,则y=3,∴C点坐标为(0,3),OC=3,
∴S△ABC=AB·OC=×4×3=6,∴S△PBC=S△ABC=3.
连接PC,PB,BC,作PE∥x轴交BC于点E,如图:
设直线BC的表达式为y=kx+n,将点B,C坐标代入得,
,解得,
∴直线BC的表达式为y=-3x+3.
设点P的横坐标为t,则P(t,-t2-2t+3),
则-3x+3=-t2-2t+3,解得x=,
∴E(,-t2-2t+3),∴PE=-t=,
∴=××3=3,解得t=-2或3,
∴P点纵坐标为-(-2)2-2×(-2)+3=3或-32-2×3+3=-12,∴点P的坐标为(-2,3)或(3,-12).
24.(12分)(2023·武汉中考)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机,通过实验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m),飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的数据如表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已学的函数来描述.直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决 如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;
(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
【解析】探究发现:x与t是一次函数关系,y与t是二次函数关系,
设x=kt,y=at2+bt,
由题意得,10=2k,,
解得k=5,,∴x=5t,y=-t2+12t.
问题解决:(1)依题意,得-t2+12t=0,
解得,t1=0(舍),t2=24,
当t=24时,x=120.
答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m,飞机相对于安全线的飞行高度y=-t2+12t+n.
∵125在y=-t2+12t+n中,
当t=25,y=0时,n=12.5,
当t=26,y=0时,n=26,
∴12.5答:发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.
25.(12分)(2024·贵州一模)如图①是位于安顺的坝陵河大桥,某兴趣小组受到该桥的启示,设计了一座桥的模型,它的两桥塔AD,BC之间的悬索DPC是抛物线型(如图②所示),悬索上设置有若干条垂直于水平线AB的吊索,图中,AD=BC=10 cm,AB=32 cm,悬索上最低点P到AB的垂直距离PO=2 cm,(悬索DPC与AB在同一平面内)
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系,求此抛物线的函数表达式;
(2)根据设计要求,从抛物线的顶点P开始,每相隔2 cm有一条吊索,当吊索高度大于或等于4 cm时,需加固.求此条抛物线有多少条吊索需要加固;
(3)若抛物线经过两点E(m,y1),F(m+2,y2),抛物线在E,F之间的部分为图象G(包括E,F两点),图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t,当t=1时,求m的值.
【解析】(1)设抛物线的函数表达式为y=ax2+c,由题意得OP=2,OB=16,BC=10,
∴点P的坐标为(0,2),点C的坐标为(16,10),
,
解得.
∴抛物线的函数表达式为y=x2+2.
(2)当y=4时,
x2+2=4,
解得x=±8.
×2=8.
∴有8条吊索需要加固.
(3)∵抛物线经过两点E(m,y1),F(m+2,y2),
∴y1=m2+2,y2=(m+2)2+2.
∵图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t,有以下四种情况:
第一种情况:如图①,当-16≤m<-2时,y随x的增大而减小,依题意得,t=y1-y2=1,
∴m2+2-[(m+2)2+2]=1,
解得m=-9.
第二种情况:如图②,-2≤m<-1时,依题意得,
t=y1-y最小值=1,
m2+2-2=1.
解得m=±4(舍去).
第三种情况:如图③,-1≤m≤0时,依题意得,
t=y2-y最小值=1,
(m+2)2+2-2=1,
解得m=-2±4(舍去),
第四种情况:如图④,0t=y2-y1=1,(m+2)2+2-(m2+2)=1,
解得m=7.
综上所述,m=-9,m=7.第二章 二次函数
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式,变形正确的是( )
A.y=(x-2)2-1 B.y=(x+1)(x+3)
C.y=(x-2)2+1 D.y=(x+2)2-1
2.抛物线y=x2-4x+4与x轴的公共点的坐标是 ( )
A.(2,0),(,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(-2,0)
3.二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
4.(2023·十堰中考)已知点A(x1,y1)在直线y=3x+19上,点B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线y=x2+4x-1上,若y1=y2=y3,x1A.-12C.-95.(2023·黔南州长顺质检)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x厘米.当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为 ( )
A.6厘米 B.12厘米 C.24厘米 D.36厘米
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则反比例函数y=与一次函数y=-cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是 ( )
7.如图是二次函数y=ax2+bx的图象.若关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
8.(2023·日照中考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx(a≠0)满足,已知点(-3,m),(2,n),(4,t)在该抛物线上,则m,n,t的大小关系为 ( )
A.tC.n9.如图,抛物线L1:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2,则图中两个阴影部分的面积和为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2024·黔东南州从江县期末)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,为使该服装店平均每天的销售利润最大,则每件的定价应为 ( )
A.21元 B.22元 C.23元 D.24元
11. 如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x,两个三角形重叠面积为y,则y关于x的函数图象是 ( )
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象经过点(0,2),其对称轴为直线x=-1.下列结论:①3a+c>0;②若点(-4,y1),(3,y2)均在二次函数图象上,则y1>y2;③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个相等的实数根;④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为-2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·包头中考)已知二次函数y=-ax2+2ax+3(a>0),若点P(m,3)在该函数的图象上,且m≠0,则m的值为 .
14.把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: .
15.(2024·贵阳花溪区质检)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为 .
16.(2023·长春中考)2023年5月28日,C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”,是国际民航中高级别的礼仪).如图①,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②,当两辆消防车喷水口A,B的水平距离为80米时,两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米,喷水口A,B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A',B'到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H'距地面 米.
三、解答题(共98分)
17.(12分)如图,已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0).
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标;
(2)求直线AM的表达式.
18. (10分)(2023·毕节威宁期中)如图,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m.设矩形ABCD的面积为S(m2).问AB长为多少时S最大,并求最大面积.
19.(10分)定义:关于x的函数y=mx2+nx与y=nx2+mx(其中mn≠0)叫做互为交换函数.若这两个函数图象的顶点关于x轴对称,求m,n之间的关系.
20.(10分)(2023·毕节质检)在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,sin B=.动点M从点B出发,沿BO以1单位/秒的速度向点O运动;动点P从点B出发,沿BA以1单位/秒的速度向点A运动;P,M两点同时出发,任意一点先到达终点时,两点停止运动.设运动的时间为t.△PMO的面积为S,求S的最大值.
21.(10分) (2024·遵义赤水市质检)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)求tan∠ABC.
22.(12分)已知抛物线G:y=mx2-2mx-3有最低点.
(1)求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示);
(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围.
23.(10分) 如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线上是否存在一点P,使得S△PBC=S△ABC 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
24.(12分)(2023·武汉中考)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机,通过实验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m),飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的数据如表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已学的函数来描述.直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围).
如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的 解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;
(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
25.(12分)(2024·贵州一模)如图①是位于安顺的坝陵河大桥,某兴趣小组受到该桥的启示,设计了一座桥的模型,它的两桥塔AD,BC之间的悬索DPC是抛物线型(如图②所示),悬索上设置有若干条垂直于水平线AB的吊索,图中,AD=BC=10 cm,AB=32 cm,悬索上最低点P到AB的垂直距离PO=2 cm,(悬索DPC与AB在同一平面内)
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系,求此抛物线的函数表达式;
(2)根据设计要求,从抛物线的顶点P开始,每相隔2 cm有一条吊索,当吊索高度大于或等于4 cm时,需加固.求此条抛物线有多少条吊索需要加固;
(3)若抛物线经过两点E(m,y1),F(m+2,y2),抛物线在E,F之间的部分为图象G(包括E,F两点),图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t,当t=1时,求m的值.
