运用圆锥曲线硬解定理正确解答平面解析几何大题
文档属性
| 名称 | 运用圆锥曲线硬解定理正确解答平面解析几何大题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 269.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-04-18 14:44:40 | ||
图片预览
文档简介
运用圆锥曲线硬解定理正确解答平面解析几何大题
高中数学教师欧阳文丰撰写
（为女儿欧阳婷进入高三数学第一轮总复习而作）
纵观自2013年以来三年的全国卷高考数学 ( http: / / www.21cnjy.com )试题， 其布局结构已经成型。其中包括选择题12个，填空题4个，必做大题5个，选考部分是三个题目中任选一个，卷面总共24个题目。 全国卷高考数学的第20题为平面解析几何大题，其命题意图就是考查学生的数形结合思维和综合运用能力，充分体现了高考数学试题的区分度和难度。而如何引导学生正确解答平面解析几何大题，是摆在高中数学教师面前的攻坚课题。
圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(T ( http: / / www.21cnjy.com )he CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时 、 x1+x2 、x1* x2 及相交弦长的简便算法。其具体解题步骤如下：
1、联立圆锥曲线与直线两方程得……（二次式子）（*）；
2、由韦达定理：x1+x2=……①，x1x2=……②；
3、所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）
化简得|x1-x2|= (偷偷地直接套公式，不必真化简)
4、运用求弦长公式 。
下面通过几个例题，具体阐释平面解析几何大题的解题套路及其注意事项。
例题1、已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
（1）求椭圆的方程 ( http: / / www. / wxc / )
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于CD两点 ( http: / / www. / wxc / ) 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点 请说明理由
( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为 ( http: / / www. / wxc / )
（2）假若存在这样的k值，由得
∴ ( http: / / www. / wxc / ) ①
设，，，则 ②
而 ( http: / / www. / wxc / )
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即
∴ ( http: / / www. / wxc / ) ③
将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立 ( http: / / www. / wxc / )
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E
（评注：在联立方程组转化为一元二次方程后，在圆锥曲线与直线相交有两个交点时， 不能忽略对
例题2、已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
解：（1）设椭圆C的方程为．
由题意可得：，，
（2）（1）当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，
，
即，
①
又， ②
又点在直线AB上，
③
把②③代入①得，
点D的轨迹方程为
（2）当直线AB的斜率不存在时，，满足
点D的轨迹方程为
（温馨提示：当假设直线方程时， 要考虑直线的斜率是否存在的情况。 ）
例题3、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.
（Ⅰ）求的取值范围，并求的最小值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.
解：（Ⅰ）与圆相切, ……①
由 , 得 ,
,
,故的取值范围为.
由于， 当时，取最小值.
（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，
，
，
由①，得 ， 为定值.
（评注：本题充分体现了数学知识的综合运用和计算能力在平面解析几何中的考查。 ）
通过以上三个例题的学习， 我们不难得出运用 ( http: / / www.21cnjy.com )圆锥曲线硬解定理解题的套路及其注意事项。 平面解析几何大题的解答关键是读懂题意，从题目的已知条件出发， 寻找与套路之间的联系。当然数学知识的综合运用和计算能力的考查也是检验学生数学素养的初衷。
练习题
1、（2011年高考全国卷2理数21题）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。
2、（2013年全国卷1理数第20题）已知圆：，圆：，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求.
3、（2014年全国卷1理数第20题）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
（I）求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
定稿于2016年4月18日
（附：作者QQ号码：530377326；邮箱地址：oywf1113@.）
高中数学教师欧阳文丰撰写
（为女儿欧阳婷进入高三数学第一轮总复习而作）
纵观自2013年以来三年的全国卷高考数学 ( http: / / www.21cnjy.com )试题， 其布局结构已经成型。其中包括选择题12个，填空题4个，必做大题5个，选考部分是三个题目中任选一个，卷面总共24个题目。 全国卷高考数学的第20题为平面解析几何大题，其命题意图就是考查学生的数形结合思维和综合运用能力，充分体现了高考数学试题的区分度和难度。而如何引导学生正确解答平面解析几何大题，是摆在高中数学教师面前的攻坚课题。
圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(T ( http: / / www.21cnjy.com )he CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时 、 x1+x2 、x1* x2 及相交弦长的简便算法。其具体解题步骤如下：
1、联立圆锥曲线与直线两方程得……（二次式子）（*）；
2、由韦达定理：x1+x2=……①，x1x2=……②；
3、所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）
化简得|x1-x2|= (偷偷地直接套公式，不必真化简)
4、运用求弦长公式 。
下面通过几个例题，具体阐释平面解析几何大题的解题套路及其注意事项。
例题1、已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
（1）求椭圆的方程 ( http: / / www. / wxc / )
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于CD两点 ( http: / / www. / wxc / ) 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点 请说明理由
( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为 ( http: / / www. / wxc / )
（2）假若存在这样的k值，由得
∴ ( http: / / www. / wxc / ) ①
设，，，则 ②
而 ( http: / / www. / wxc / )
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即
∴ ( http: / / www. / wxc / ) ③
将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立 ( http: / / www. / wxc / )
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E
（评注：在联立方程组转化为一元二次方程后，在圆锥曲线与直线相交有两个交点时， 不能忽略对
例题2、已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
解：（1）设椭圆C的方程为．
由题意可得：，，
（2）（1）当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，
，
即，
①
又， ②
又点在直线AB上，
③
把②③代入①得，
点D的轨迹方程为
（2）当直线AB的斜率不存在时，，满足
点D的轨迹方程为
（温馨提示：当假设直线方程时， 要考虑直线的斜率是否存在的情况。 ）
例题3、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.
（Ⅰ）求的取值范围，并求的最小值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.
解：（Ⅰ）与圆相切, ……①
由 , 得 ,
,
,故的取值范围为.
由于， 当时，取最小值.
（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，
，
，
由①，得 ， 为定值.
（评注：本题充分体现了数学知识的综合运用和计算能力在平面解析几何中的考查。 ）
通过以上三个例题的学习， 我们不难得出运用 ( http: / / www.21cnjy.com )圆锥曲线硬解定理解题的套路及其注意事项。 平面解析几何大题的解答关键是读懂题意，从题目的已知条件出发， 寻找与套路之间的联系。当然数学知识的综合运用和计算能力的考查也是检验学生数学素养的初衷。
练习题
1、（2011年高考全国卷2理数21题）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。
2、（2013年全国卷1理数第20题）已知圆：，圆：，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求.
3、（2014年全国卷1理数第20题）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
（I）求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
定稿于2016年4月18日
（附：作者QQ号码：530377326；邮箱地址：oywf1113@.）
同课章节目录