2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册 第二章 平面向量及其应用 B卷 能力提升（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册单元测试AB卷 第二章 平面向量及其应用 B卷 能力提升
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设,是两个不共线的向量,若向量与向量共线,则( )
A.0 B. C.1 D.2
2．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
3．在中，，，，则的面积为( )
A.6 B.8 C.24 D.48
4．如图，在四边形中，，，设，，则等于( )
A. B. C. D.
5．若非零向量a，b满足，则( ).
A. B. C. D.
6．若单位向量,的夹角为,则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7．已知，，，若A，B，D三点共线，则( )
A. B. C. D.2
8．如图，正方形的边长为4，E为的中点，F为边上一点，若，则( )
A. B. C. D.5
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有( )
A.若，则存在实数，使得
B.若，则
C.若，则，同向
D.若，则，一定同向
10．在中，，，若解此三角形仅有一解，则边长度的可能取值为( )
A. B. C. D.
11．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中,且,则下列说法正确的是( )
A.
B.面积的最大值为
C.若D为边BC的中点,则AD的最大值为3
D.若为锐角三角形,则其周长的取值范围为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知向量，满足，，，则_________.
13．若，是两个不共线的单位向量，则向量与的夹角是_________
14．在中,,,D是上一点,为的平分线,若,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图所示，设A，B两点在河的两岸，测量者在与A同侧的河岸边选取点C，测得AC的距离是，，，求A，B两点间的距离.
16．如图,四边形中,,,,.
(1)求对角线的长;
(2)设,求的值,并求四边形的面积.
17．如图，为了测量某塔的高度，无人机在与塔底B位于同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为，无人机沿着仰角（）的方向靠近塔，飞行了后到达D点，在D点测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为，且A，B，C，D四点在同一平面上，求该塔的高度.（参考数据:取，）
18．在中，为钝角，，.
(1)求；
(2)若，求的面积.
19．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）在中,a,b,c分别是角A、B、C所对的边,记的面积为S,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①;②;③.
参考答案
1．答案：C
解析：因为向量与向量共线,
所以,即,
因为,是两个不共线的向量,
所以,解得,
故选:C
2．答案：B
解析：因,由正弦定理,,即,
因,,则,故,,即,故是等腰三角形.
故选:B.
3．答案：C
解析：解法—：设，由余弦定理知，，即，整理得，即，解得.又，且，所以，则.故选C.
解法二：设，由余弦定理知，，即，整理得，即，所以.又，所以，则.故选C.
解法三：因为，且，所以，由正弦定理得，，即，所以.因为，所以.则，所以（另解：，则）.故选C.
4．答案：C
解析：因为，
所以
.
故选：C.
5．答案：C
解析：因为，由于a，b是非零向量，必有，所以上式中等号不成立.所以，故选C.
6．答案：D
解析：由题意知单位向量,的夹角为,则,
故,
,
,
故,
故选:D
7．答案：A
解析：根据题意，，，，
则，若A，B，D三点共线，则，
则有，变形可得.
故选：A
8．答案：D
解析：如图，建立平面直角坐标系，设，
则，，
可得，
因为，即，解得，
即，所以.
故选：D.
9．答案：BC
解析：当时,由向量加法的意义知，方向相反,且,则存在实数,使得,故A错误;
当时,则以，为邻边的平行四边形为矩形,且和是这个矩形的两条对角线长,则,故B正确;
当时,由向量加法的意义知，方向相同,故C正确;
当时,则，同向或反向,故D项错误.
故选BC.
10．答案：BD
解析：令A所对的边为a，由正弦定理知：，即，
如上图，当C在处即，有，则，为直角三角形，此时三角形唯一；
当C在射线上，即时三角形唯一，则.
11．答案：ACD
解析：由题意可知,利用余弦定理得,因为,所以,故A正确;
由上述可知,的面积,且易知,解出,当且仅当时取等号,此时,故B错误;
在和中,对和利用余弦定理,,化简后有,由上述知,BC的最大值为12,因此AD最大为3,故C正确;
利用正弦定理,,则,,于是的周长,由于是锐角三角形,因此解出,则,故
D正确.故选ACD.
12．答案：6
解析：由可得，
，
解得，
故答案为：6
13．答案：
解析：由于和是不共线的单位向量，因此它们之间的夹角不为0或.
计算.
根据向量数量积的定义，两个向量数量积为0，意味着它们互相垂直.
因此，向量和的夹角为.
14．答案：12
解析：由,
得,
即,解得.
故答案为:12.
15．答案：
解析：由题意，得.
在中，，
.
A，B两点间的距离为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)连接,在中,,,
得：
;
(2)在中,由,,,
及余弦定理得：,
,
四边形的面积：
.
17．答案：326m
解析：因为A、B、C、D四点在一个平面上
如图，过点D作，垂足为E.
由题意得，
在中，又塔底B与C位于同一水平面，
所以，所以，
又，所以是等腰直角三角形，所以，
在中，，又，
所以是等腰直角三角形，所以，
设，则，，
又，
所以，
所以.
在中，由余弦定理得，
即，
得，即该塔的高度为326m.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意得，因为为钝角，
得，则，
由正弦定理得，
解得，因为为钝角，则.
（2）当时，由余弦定理，
得，即，解得，
则.
19．答案：（1）,
（2）证明见解析
解析：（1）由函数,
可得,
化简得:,
因为,
所以,
所以函数的单调递增区间为,.
（2）若
由,所以,所以,
由,知,因为,所以,
所以,所以,
所以,
由余弦定理:,
将代入得:,,,
所以.
若由,由由,知,
由,,所以,,
由余弦定理:结合,
所以,,,所以,,
所以.
若由,由,所以,所以,
所以,,所以,
再由得:,
所以,所以,
所以,,,即,
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)