2024-2025学年山东省实验中学高一下学期4月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省实验中学高一下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面向量与的夹角为，，，则 ( )
A. B. C. D.
2.
A. B. C. D.
3.用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是( )
A. 长方体 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 圆台
4.给出下列几个说法，其中正确说法的个数为( )
过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行
过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．
A. B. C. D.
5.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式宋代称为撮尖，清代称攒尖依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为( )
A. B. C. D.
6.已知中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
7.锐角的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知斜二侧画法下的直观图是边长为的正三角形如图所示，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是( )
A. 若为纯虚数，则 B. 若，则
C. 若，则的最大值为 D.
10.如图，，为正方体中所在棱的中点，过，两点作正方体的截面，则截面的形状可能为( )
A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形
11.如图所示，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与是异面直线
B. 直线与是平行直线
C. 直线与是相交直线
D. 平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在中，为线段上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为 ．
13.已知圆台的上、下底面的周长分别为，，母线长为，则该圆台的体积为 ．
14.正三棱台的上底面边长，下底面边长，棱台的高为，则该正三棱台的侧面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设三角形的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求三角形面积的最大值．
16.本小题分
在复平面内，若、对应的复数分别为、，求；
复数满足，求；
已知，复数，当为何值时，
；是纯虚数．
17.本小题分
已知平面向量的夹角为，且．
Ⅰ求的最大值；
Ⅱ求的最大值．
18.本小题分
如图，已知在直角梯形中，，，，，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
参考答案
1.
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15.解：由正弦定理：可化为，
即，
即，
所以，
又，所以，
因为，所以；
由余弦定理得，
即，
所以，所以，
所以面积．

16.解：、对应的复数分别为、，
，，
，；
，，，
，；
，，解得；
是纯虚数，，解得或．

17.解：，，
又，
，
当且仅当时，等号成立
故，故，
故的最大值为；
由可得，且，
故，
故，
上下同除以，且令，
，
当时，；
当时，令且得，
，
显然，若取得最大值，即，
，
当，即时取“”
即的最大值为．
18.解：该几何体是由一个圆台挖去半个球，
由题意知，该圆台的上下底面的半径分别为和，高为，母线为，
挖去半球的半径为．
该几何的表面积为；
该几何体的体积为．
19.解：直三棱柱中，为的中点，
所以，且，
因为，分别，的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
故平面．
因为直三棱柱，则平面平面，
因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离，
又因为底面，则点到底面的距离即为长，
又因为，分别为，的中点，且，
则．

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