弋横铅高一数学参考答案
一、单选题
1．a 3, 2 ,b t,1 ，若a / /b，则实数 t 为（ ）
3 3 2 2
A． B． C． D．
2 2 3 3
【答案】B
【详解】因为a 3, 2 ,b t,1 ，
3
由a / /b，可得 2t 3 1，解得 t .
2
故选：B．
2．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移 y（单位：mm）与时间 t（单位：s）之
10π π
间满足关系式 y 20sin t , t 0, ，则开始计时后，该弹簧振子运动的最小正周
3 2
期为（ ）
A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s
【答案】A
2
T 0.6s
【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 10
3
故选：A.
3．如图，这是一块扇形菜地，C 是弧 AB的中点，O是该扇形菜地的弧 AB 所在圆的圆心，
D 为 AB和OC 的交点，若 AB 2 3CD 6米，则该扇形菜地的面积是（ ）
A．4π平方米 B．4 3π平方米 C．6 3π平方米 D．3π平方米
【答案】A
1
【详解】如图，连接BC．因为C 是弧 AB的中点，所以 AB CD，BD AB 3米．
2
π π
因为 AB 2 3CD，所以 CBD ，所以 AOC BOC ，
6 3
试卷第 1 页，共 13 页
{#{QQABIYIhxwgY0BZACZ66EQHsCgqQkIAQLYomQQAUKA4KgQFABAA=}#}
2π
所以△OBC是等边三角形，则 AOB ．
3
因为 AB 2 3CD 6米，所以CD 3米，OB BC BD2 CD2 2 3米，
1 2π 2
则该扇形菜地的面积是 (2 3) 4π平方米．
2 3
故选：A.
4．如图，在平面直角坐标系内，角 的始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点
3 4 π
P1 , .若线段OPn 1绕点O逆时针旋转 得OPn n 2,n N ，则点P2025 的纵坐标为（ ）
5 5 4
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
3 4 4 3
【详解】因为角 的终边与单位圆交于点P1 , ，所以sin ，cos ，
5 5 5 5
π
设点P2025 为角 的终边与单位圆的交点，则 2024 ，
4
π 4
所以sin sin 2024 sin 506π sin ，
4 5
4
所以点P2025 的纵坐标为 .
5
故选：D
5．在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c，若bcosC ccosB 4，b 5，且
sinB sinC
3，则 ABC 的面积 S （ ）
sinA
A．2 6 B．4 6 C．6 6 D．8 6
试卷第 2 页，共 13 页
{#{QQABIYIhxwgY0BZACZ66EQHsCgqQkIAQLYomQQAUKA4KgQFABAA=}#}
【答案】B
【详解】因为bcosC ccosB 4，由余弦定理有
a2 b2 c2 a2 c2 b2
bcosC ccosB=b c a 4 a 4，
2ab 2ac
sinB sinC b c
由正弦定理有 = 3 c 7，
sinA a
b2 c2 a2 25 49 16 29 8 6
所以cos A sin A 1 cos2 A ，
2bc 2 5 7 35 35
1 1 8 6
所以 ABC 的面积 S bcsin A 5 7 4 6 .
2 2 35
故选：B.
1 1
6．已知cos ， sin ，则cos2 cos2 （ ）
2 3
5 5 5 5
A． B． C． D．
6 36 6 36
【答案】B
1 1
【详解】已知cos ， sin ，
2 3
2 2
1 3 1 8
所以sin2 1 cos2 1 ，cos
2 1 sin2 1 ，
2 4 3 9
所以cos2 cos2 cos cos
cos2 cos2 sin2 sin2
8 1 1 3 5
.
9 4 9 4 36
故选：B.
π π
7．已知函数 f x 满足 f x f
π x ，且当 x , 时， f x x tanx，则（ ）
2 2
A． f 1 f 2 f 3 B． f 2 f 3 f 1
C． f 3 f 2 f 1 D． f 3 f 1 f 2
【答案】D
【详解】因为 f x f π x ，
所以 f 2 f π 2 ， f 3 f π 3 ，
π π
因为函数 y x
， y tan x在 , 上都单调递增，
2 2
试卷第 3 页，共 13 页
{#{QQABIYIhxwgY0BZACZ66EQHsCgqQkIAQLYomQQAUKA4KgQFABAA=}#}
π π
所以函数 f x x tanx在 , 上单调递增，
2 2
π
又0 π 3 1 π 2 ，
2
所以 f π 3 f 1 f π 2 ，
所以 f 3 f 1 f 2 ，
故选：D.
8．已知平面向量a,b,c 满足c a b 0，a c c 1，若a b 0，则 a b 的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D．3
【答案】C
【详解】①由于 a c · b c a·b c· a b 2a c c 2 0 0 2 1 1，故
2 2
2
2
所以 a b a c b c a c b c 2 a c b c
2
a c b c 4 a c b c 4 a c b c 4 .
2 2 2
这就得到 a b a b 4a b a2 b 2 2a b a b 4，故 a b 2 .
②另一方面，对a 1,1 ，b 1,1 ，c 1,0 ，原条件全部满足，此时 a b 2 .
综合①②两方面，可知 | a b |的最小值为2 ．
故选：C.
二、多选题
9．设 a ，b 是两个非零向量，且 a b a b ，则下列结论中正确的是（ ）
A． a b a b B． a b a b
C． a ，b 的夹角为钝角 D．若实数 使得a b 成立，则 为负数
【答案】AD
【详解】由 a b a b 可知 a ，b 不会同向共线，因此：
对于 A，当 a ， b 不共线时，根据向量的减法法则可得 a b a b ，
当 a ，b 反向共线时， a b a b ，即可得 a b a b ，即 A 正确，
对于 B，由 A 中等号成立的条件，可得 B 错误；
试卷第 4 页，共 13 页
{#{QQABIYIhxwgY0BZACZ66EQHsCgqQkIAQLYomQQAUKA4KgQFABAA=}#}
对于 C，当 a ，b 的夹角为锐角时，根据向量加法的平行四边形法则可得 a b a b ，即
C 错误；
对于 D，若实数 使得a b 成立，则 a ， b 共线，
由于 a b a b ，则 a ， b 反向共线，所以 为负数，即 D 正确.
故选：AD
2 π
10．函数 f x sin x 1的部分图象可能为（ ）
6
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于选项 A，由图可知， f x 的最小值为 0，则 1，
π π 1
当 1 时， f x sin x 1， f 0 sin 1 1， f x 的部分图象可以如选
6 6 2
项 A 所示.
对于选项 B，当 0时， f x 1, f x 的部分图象可以如选项 B 所示.
π 2 2π
对于选项 C，由2T π，得T , 4，即 2，
2 T
当 2时， f x 的部分图象可以如选项 C 所示.
2 2π
对于选项 D，由T π，得 2，即 2 ，
T
π
则 f x 2sin 2x 1，此时 f π 0，排除 D.
6
故选：ABC
11．将锐角三角形 ABC 置于平面直角坐标系中，B 1,0 ,C 1,0 ，A 为 x 轴上方一点，设
ABC 中 A、 B、 C的对边分别为a、b、c且bccos A 8，则 ABC 的外心纵坐标可能落
在以下（ ）区间内.
试卷第 5 页，共 13 页
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1 7 7 27 3
A． 0，1 B． ， C． 2， D． ，
2 5 2 20 2
【答案】BD
【详解】由题知，a 2，bccos A 8，由余弦定理得2 8 b2 c2 4 b2 c2 20，
2 2 2 4 b2 20 b2
又 a b c
cosC 0，解得b 2 2 ，同理：c 2 2，
2ab 4b
所以8 b2 20 c2 12，
2
所以b2c2 b2 20 b2 b2 10 100，
由二次函数性质可得96 b2c2 100，即4 6 bc 10，
8 4 6
又 cos A 0，所以cos A , ，
bc 5 3
2 3 3
因为A 为锐角，所以sin A 1 cos A , ，
3 5
2 10 5
即外接圆半径为 R ，则2R , 2 3 ，即R , 3 ， sin A 3 3
由外心定义可知， ABC 的外心在 y 轴上，
2 4
记 ABC 的外心纵坐标为 y0 ，则 y0 R 1 , 2 ，
3
4 1 7 27 3 7
因为 , 2 与 ， 和 ， 交集非空，与 0，1 和 2， 交集为空间，
3 2 5 20 2 2
所以 BD 正确，AC 错误.
故选：BD
三、填空题
12．在正方形 ABCD中，M 是BC的中点.若 AC AM BD，则 的值为 .
5 2
【答案】 /1
3 3
【详解】在正方形 ABCD中，以点A 为原点，直线 AB ， AD分别为 x 轴、 y 轴建立平面直
角坐标系，如图，
试卷第 6 页，共 13 页
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设正方形 ABCD的边长为2 ，则B(2,0)，C(2,2) ，D(0,2)，M (2,1)，
AC (2,2)， AM (2,1)，BD ( 2,2) ， AM BD (2 2 , 2 )，
因为 AC AM BD，即 (2,2) (2 2 , 2 )，
4
2 2 2 3
于是得 ，解得 ，
2 2 1
3
5
所以 的值为 .
3
5
故答案为： .
3
tanC tanC
13．在 ABC 中，若 AC2 BC2 5AB2 ，则 ．
tan A tan B
1
【答案】 / 0.5
2
【详解】
tanC tanC cos A cos B sinC sin Acos B cos Asin B sin
2 C
tanC ．
tan A tan B sin A sin B cosC sin Asin B sin Asin BcosC
AC2 BC2 AB2 4AB2
由余弦定理得cosC ．
2AC BC 2AC BC
2sin2 C
由正弦定理得cosC ，从而sin Asin BcosC 2sin2 C．
sin Asin B
tanC tanC 1
所以 ．
tan A tan B 2
1
故答案为： .
2
1
14．已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，点 D 是 AB 的中点．若a ccos B
2
3
且 AC 1，CD ，则 AB ．
2
【答案】 7
1 1
【详解】根据题意，b AC 1，由a ccos B ，即为a b ccos B，
2 2
试卷第 7 页，共 13 页
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由正弦定理得2sinA sinB 2sinCcosB，
又因为sinA sin B C sinBcosC cosBsinC，
所以2sinBcosC sinB 0，
1
因为B 0,π ，可得sin B 0，所以cosC
2
1
又因为CD为 ABC 的一条中线，可得CD CA CB ，
2
2 1 2 2
所以CD CA CB 2CA CB ，
4
3 1 2 1
即 1 a 2 1 a ，解得a 2或a 1（舍）.
4 4 2
1
由余弦定理得 AB c a2 b2 2abcosC 22 12 2 1 2 7 .
2
故答案为： 7 .
1 1
【点睛】关键点点睛：发现b 1，从而a ccos B 可变为a b ccos B，利用正弦定理
2 2
可进行边化角.
四、解答题
15．已知点P 6,3 在角 的终边上.
(1)求 tan 的值；
(2)求 sin π cos 2π 的值.
1 2
【答案】(1) (2)
2 5
【详解】（1）因为点P 6,3 在角 的终边上，
3 1
所以 tan .
6 2
3 3 5
（2）因为sin 2 ，
6 32 3 5 5
6 6 2 5
cos
2 ，
6 32 3 5 5
5 2 5 2
所以sin π cos 2π sin cos
5
.
5 5
试卷第 8 页，共 13 页
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1 π π
16．将 f (x) 3sin( x )(| | )的图象向左平移 个单位长度得到函数 g x 的图象，且
3 2 2
π
当 x 时 g x 取得最大值．
4
(1)求 g x 的解析式；
π π(2)若函数h x 的图象与 g 2x 的图象关于 x 轴对称，求函数h x 在区间 ( , ) 内的值域．
4 2
1 5 3 2
【答案】(1) g(x) 3sin( x ) (2)[ 3, )．
3 12 2
1 π
【详解】（1）依题意， g x 3sin( x )，由当 x 时， g x 取得最大值，
3 6 4
π π π
得 sin( ) 1，则 2kπ,k Z，解得 2kπ,k Z，而 ，则
12 6 12 6 2 4 2
π
，
4
1 5
所以 g x 的解析式是 g(x) 3sin( x ) ．
3 12
2 5 2 5
（2）由（1）得 g 2x 3sin( x )，则h x 3sin( x )，
3 12 3 12
π π 2 5 3 2 2 5
由 x ，得 x ，则 sin( x ) 1，
4 2 4 3 12 4 2 3 12
2 5 3 2
因此 3 3sin( x ) ，
3 12 2
π π 3 2所以函数h x 在区间 ( , ) 内的值域为[ 3, ) .
4 2 2
1 3
17．已知平面上的两个向量a cos ,sin （0 π），b , ．
2 2
(1)求证：向量a b与a b垂直；
(2)当向量 3a b与a 3b的模相等时，求 的大小．
【答案】(1)证明见解析
π
(2) ．
6
【分析】（1）根据已知计算 a b a b 0即可得证明．
（2）由 | 3a b | | a 3b |，两边平方求解．
【详解】（1）证明：
2 2 2 2 1 3
因为 a b a b a b cos sin 0，
4 4
试卷第 9 页，共 13 页
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所以 a b 与 a b 垂直．
（2）由 3a b a 3b ，
2 2 2 2
两边平方，得3 a 2 3a b b a 2 3a b 3 b ，
2 a |2 b |2整理，得 4 3a b 0，
而 a b 1，所以a b 0，
1 3
即 cos sin 0．
2 2
π
即 sin 0，
6
π π
∴ kπ，即 k π ，k Z．
6 6
π
又0 π，∴ ．
6
18．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量m b,a c ，n b c,c a ，
且m n .
(1)若边a 8， AB AC 6， BAC 的平分线交 BC 边于点 D.求 AD 的长；
BE 2c
(2)若 E 为 BC 边上任意一点， AE 1， .
EC b
（ⅰ）用 AB ， AC 表示 AE ；
（ⅱ）求2b c的最小值.
6 3
【答案】(1)
5
2c b 9 7
(2)（i） AE AC AB；（ii）
2c b 2c b 7
【详解】（1）由m n得，m n b b c a c c a 0，即bc b2 c2 a2，
b2 c2 a2 1 π
cosA ，由 A 0,π 得， A ，
2bc 2 3
AB AC bccos A 6， bc 12，
由余弦定理得， 2a2 b2 c2 bc，即64 (b c) 3bc，得b c 10，
π
AD为 BAC 的平分线， BAD CAD ，
6
1 1 π 1 π 1 5
S ABC bcsin b AD sin c AD sin ， 3 3 b c AD AD，
2 3 2 6 2 6 4 2
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6 3
AD .
5
2c 2c 2c
（2）（i）由已知得，BE BC，即 AE AB AC AB，
2c b 2c b 2c b
2c b
AE AC AB .
2c b 2c b
2
（ii）易知 (2c b)2 AE (2cAC bAB)2 ，
π 1
AB AC bccos bc ， (2c b)2 4b2c2 2b2c2 b2c2 7b2c2 ，
3 2
2 1
b 0,c 0, 2c b 7bc，即 7 ，
b c
2 1 1 1 2c 2b 1 2c 2b 9 7
2b c 2b c 5 5 2 ，当且仅当
b c 7 7 b c 7 b c 7
b c时等号成立，
9 7
2b c的最小值为 .
7
19．在 ABC 中， A, B, C对应的边分别为a,b,c,bsinA atanAcosB 2asinC .
(1)求A ；
(2)奥古斯丁 路易斯 柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定
理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式
证明的有关问题中有着广泛的应用.
2
① 2 2 2 2用向量证明二维柯西不等式： x1x2 y1y2 x1 y1 x2 y2 ；
x2
2
x2 x
2 x x x
②已知三维分式型柯西不等式： y * 1 2 3 1 2 31, y2 , y3 R , ，当且仅当
y1 y2 y3 y1 y2 y3
x x x1 2 3 时等号成立.若a 3, P是 ABC 内一点，过 P 作 AB, BC, AC 的垂线，垂足分别
y1 y2 y3
AB 9 BC AC
为D, E, F ，求T 的最小值.
PD PE PF
π
【答案】(1) A
3
50 3
(2)①证明见解析；②
3
【详解】（1）在 ABC 中，bsinA atanAcosB 2asinC，
由正弦定理得，sinBsinA sinAtanAcosB 2sinAsinC，
因为 A 0,π ，所以sin A 0，
试卷第 11 页，共 13 页
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sinA
所以sinB cosB 2sinC，
cosA
所以sinBcosA sinAcosB 2sinCcosA，即sin B A 2sinCcosA，
因为 A B π C，
所以sinC 2sinCcosA，
因为C 0,π ，所以sinC 0，
1 π
故 cosA ，又 A 0,π ，所以 A ；
2 3
（2）①设a x1, y1 ,b x a b a b cosa,b a b a b2 , y2 ，由 ，得 ，
2 2 2 2 2
从而 x x y y 2 2 2 2 ，即 x x y y1 2 1 2 x1 y1 x2 y2 1 2 1 2 x1 y1 x2 y2 ；
AB 9 BC AC c 9a b c2 9a2 b2
②T .
PD PE PF PD PE PF c PD a PE b PF
1 1 1
又 S PAB c PD ,S PBC a PE ,S PAC b PF ,S PAB S PBC S PAC S ABC ，
2 2 2
c | PD | a | PE | b | PF | 2S ABC .
c2 9 32 b2 (b c 9)2 2(b c 9)2
由三维分式型柯西不等式有T .
c PD a PE b PF 2S ABC 3bc
1 3 1
当且仅当 即 PE 3 PD 3 PF 时等号成立.
PD PE PF
由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA得9 b2 c2 bc，
2 (b c)
2 9
所以 (b c) 9 3bc，即bc ，
3
2(b c 9)2 2 3(b c 9)2
则T ，
2
3bc (b c) 9
2 3t2 2 3
T
令 t b c 9，则 (t 9)2 9 72 18 .
1
t2 t
2 2b c 9 b c
bc
因为 3 2 ，得3 b c 6，当且仅当b c时等号成立，
b c a 3
1 1 1
所以12 t 15，则 ，
15 t 12
72 18 1 1 1
令 y 12 ，则 y 在 , 上递减， t t t 15 12
试卷第 12 页，共 13 页
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1 1 3
当 即b c 3时， y 有最大值 ，
t 15 25
50 3
此时T 有最小值 （此时 PE 3 PD 3 PF 与b c可以同时取到）
3
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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）
1．，若，则实数为（ ）
A． B． C． D．
2．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（ ）
A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s
3．如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ）
A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
4．如图，在平面直角坐标系内，角的始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点.若线段绕点逆时针旋转得，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角的对边分别为，若 ，，且，则的面积（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知平面向量满足，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．，的夹角为钝角 D．若实数使得成立，则为负数
10．函数的部分图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．将锐角三角形置于平面直角坐标系中，，为轴上方一点，设中的对边分别为且，则的外心纵坐标可能落在以下（ ）区间内.
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在正方形中，是的中点.若，则的值为 ..
13．在中，若，则 ．
14．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若且，，则 ．
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）
已知点在角的终边上.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．（本小题15分）
将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且当时取得最大值．
(1)求的解析式；
(2)若函数的图象与的图象关于轴对称，求函数在区间内的值域．
17．（本小题15分）
已知平面上的两个向量（），．
(1)求证：向量与垂直；
(2)当向量与的模相等时，求的大小．
18．（本小题17分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
(1)若边，，的平分线交BC边于点D.求AD的长；
(2)若E为BC边上任意一点，，.
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）求的最小值.
19．（本小题17分）
在中，对应的边分别为.
(1)求；
(2)奥古斯丁 路易斯 柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：；
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
