2025届高三数学高考二轮专题复习：函数与导数应用题专练（含解析）

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2025届高三数学高考二轮专题复习：函数与导数应用题专练
1．在n重伯努利试验中，用X表示事件A发生的次数，则称随机变量X服从二项分布，它关注试验成功的总次数；用Y表示事件A第一次发生时已经进行的试验次数，则称随机变量Y服从几何分布，它关注的是首次成功发生的时机.在某篮球训练的投篮环节中，运动员甲每次投篮均相互独立，每次投篮命中的概率为p.
(1)当时，求运动员甲进行4次投篮，命中次数不少于2次的概率；
(2)设表示运动员甲首次命中时的投篮次数.
（i）求及此概率取得最大值时的值；
（ii）若甲最多投篮n次，第n次未命中也结束投篮，利用（i）中的p值，求Z的数学期望.
2．不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为.
(1)若，求；
(2)若，且，求的最小值；
(3)若，求证：且，.
3．“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为.
（i）若，求；
（ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
（取）
4．现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品的不合格率均为．
(1)在抽取的100件产品中，恰有2件不合格品，以频率估计概率，若从该批产品中共抽取件，记不合格品的数量为．
（i）求的期望；
（ii）当概率（其中）取得最大值时，求的值．
(2)极大似然估计是用给定观察数据来估计模型参数的一种统计方法，其基本思想是概率最大化原则：一个随机试验有若干个可能的结果，，，…，若在一次试验中，结果出现，则一般认为试验条件对出现有利，即出现的概率很大，也就是找到参数的最优值，使得在该参数下观测数据出现的概率最大（即似然函数最大）．现对该批产品估计其不合格品率，对其进行次独立观测，每次从中抽取个产品，记录不合格品数分别对应为，，…，，求的极大似然估计值．
5．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表：
时刻
水深值
已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离）
(1)求函数的表达式；
(2)求该船一天内能够进入港口的时刻；
(3)该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长.
6．降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点.
(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
(2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的范围和的值.
7．娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
8．礼嘉智慧公园旨在打造智能化体验示范区，将人工智能、大数据、物联网等现代信息技术与优美环境有机结合，从公园设施到衣食住行，多方面引领智慧新生活，让百姓切身感受科技的魅力.公园为了再次升级，拟将一块在半径为20米的半圆形绿化地扩建成一个新型文化广场（如图所示的阴影部分），同时为了拥有更好地体验试将该广场分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，新型文化广场的面积为．
(1)求出新型文化广场的面积为关于的函数解析式；
(2)当角取何值时，新型文化广场的面积最大？其最大面积是多少？
9．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点与地面的距离为（单位：m），若以点离地面最近时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系式为．
(1)求点转动的频率；
(2)若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益；
(3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点距离地面的高度差（单位：m）关于时间的函数解析式，并求高度差的最大值．
10．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（）
(1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？
(2)若雄性候鸟的飞行速度为，雌性候鸟的飞行速度为，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
11．某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/．
(1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数；
(2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：）
12．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件.
(1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数；
(2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数.
13．某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元
(1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理
问哪种方案更合理？并说明理由.
14．人工智能中的大语言模型Deepseek（以下简称Deepseek）能自动从多种来源收集和整合数据，从而大大提高工作效率，但一些重复性、规律性强的工作岗位可能会被替代，某单位因受到Deepseek的冲击需要对所有员工重新考核竞聘上岗，考核标准如下：进行三次理论考核，每位员工只有通过上一次考核才有资格参加下一次考核，否则直接淘汰，三次考核全部通过方可重新上岗.假设小李通过第一、二、三次理论考核的概率分别为p，，p，每次理论考核是否通过相互独立，小李不会主动弃权．
(1)若时，小李通过三次理论考核的概率最大，求的值；
(2)当p为（1）中确定的时，公司为了照顾小李，答应当小李至少通过一次理论考核但未能重新上岗时，再给他一次实操考核的机会，若实操考核通过也可重新上岗；若实操考核未通过，则淘汰，已知小李通过实操考核的概率为．求：
（ⅰ）小李参加考核的次数的分布列；
（ⅱ）小李重新上岗的概率．
15．西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.
(1)求常数的值；
(2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到分钟(参考数据：，)
16．某高中全体学生参加一次知识竞赛.竞赛共有5道单选题.每题四个选项中有且只有一个是正确的，每道题答对得2分，答错和不答都得0分，假设每个学生答对每道题的概率均为.
(1)学生甲在前3道题答对2道题的条件下，求他最终得6分的概率；
(2)现随机抽取10名学生，记第个人的得分为随机变量，得到的一组观测值如下：
学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 6 8 6 10 6 10 8 6 10 8
（i）从这10名学生中随机抽取4名学生，设抽到得10分的学生人数为，求的分布列和数学期望；
（ii）设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.
17．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元．根据行业规定，每个城市至少要投资万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．
(1)当投资甲城市万元时，求此时公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
18．2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大.
(1)求的值；
(2)取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为.
（ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率；
（ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望.
19．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要.
(1)求；
(2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？
(3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？
20．在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O，飞机降落曲线大致为，其中x（单位：m）表示飞机距离着陆点的水平距离，y（单位：m）表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时的竖直高度为4500m，距离着陆点的水平距离为，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落和落地时的降落曲线均与水平方向的直线相切.
(1)求降落曲线；
(2)若飞机开始降落时的水平速度150m/s，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度（即y关于降落时间t（单位：s）的导函数的导数）的绝对值不超过，求开始下降点所能允许的最小值.
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《2025届高三数学高考二轮专题复习：函数与导数应用题专练》参考答案
1．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）已知投篮命中次数服从二项分布，求. “”包含命中次、次、次这三种情况，根据二项分布概率公式分别算出这三种情况的概率，再相加.
（2）（i）法一，求最大值.先对函数求导，根据导数正负判断函数单调性，进而找到最大值点.
法二，利用均值不等式的推广形式求最大值，通过变形使式子满足均值不等式条件，找到取等号时的值.
（i i）先确定所有可能取值，分和两种情况求出概率.求时，先列出表达式，设为部分和，通过乘后与作差，利用等比数列求和公式化简，最后得出.
【详解】（1）设运动员甲进行4次投篮，命中次数为X，
则.
（2）（i）法一：，
设，，，
令，解得；令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，取最大值，即取得最大值，
此时；
法二：，，
当且仅当，即时，取“=”，此时取得最大值.
（ii）由题意可知的所有可能取值为：1，2，3，…，n.
当且时，，
当时，，
，
设①
则②，
①－②得：，
.
2．(1)；
(2)3；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案；
（2）计算得，再利用期望公式得，再根据的单调性即可得到最小值；
（3）方法一：首先利用期望公式得，再利用得，最后再合理放缩并求和即可；
方法二：等价转化为证明，再利用数学归纳法即可证明.
【详解】（1）由，得
.
（2）由，得．
则
.
令，得．
又在上单调递减，
且，
故的最小值为3．
（3）由，得
，
所以
.
方法1：先证．
设，则．令，得，列表如下：
0
0
极小值
所以，
故，当且仅当时取＂=＂．
令，则，
故，
即．
所以
，
所以，
所以，故且．
方法2：要证且，即证，即证．
①当时，左边右边，成立；
②假设当且时命题成立，即．
则当时，
，
只要证，即证且．
因为，
所以且．
故当时，，命题也成立．
综合①②，且，
故得证．
3．(1)；
(2)（i）；（ii）的最大值为，此时.
【分析】（1）应用独立乘法公式求共抽了3次的概率，再由独立乘法公式、互斥事件的加法求最后一次抽到的概率，最后求条件概率即可；
（2）（i）首先对灯谜的位置排序，再求最适合灯谜的位置对应情况数，最后应用古典概型的概率求法求概率；（ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则，应用全概率公式有，讨论、，进而得到，最后应用导数求最值，即可得.
【详解】（1）设表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}，
由题意，第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为，
所以，
而最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}，
除了最后一次，其它抽到，故对应概率依次为、、、，
所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率为.
（2）（i）这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况，
要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况：
①最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，其它的随意在哪个位置，有种情况，
综上，所求概率为；
（ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则，
由全概率公式知：，
当时，最适合灯谜在前条中，不会被摘到，此时；
当时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时，此时，
所以，
令，则，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
当时，取得最大值，从而的最大值为，此时的值为
4．(1)（i）；（ii）；
(2)
【分析】（1）（i）根据二项分布的期望公式即可得到答案；
（ii）令，展开解出不等式，再分和讨论即可；
（2），再两边同取对数，并求导求出其最值即可.
【详解】（1）（i）估计不合格率，则，
；
(ii)令，
，
，
，
当时，，
此时记表示不超过的最大整数．
①当时，，
取最大值时，或，
②当时
取最大值时，，
（2），则，
似然函数，
两边同时取自然对数并整理得：
令，
，
时，此时单调递增，
时，，此时单调递减，
所以时，最大，此时似然函数取得最大值．
因此，的极大似然估计量为．
5．(1)
(2)凌晨时至时和下午时至时期间的任意时刻进港都安全.
(3)小时
【分析】（1）根据表格可得函数最值与周期，进而可得函数解析式；
（2）由已知可得，解不等式即可.
（3）根据题意小时卸完货物后的吃水深度为，又货船能安全在港的水深为，可得，解得，，，，，可知货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为小时.
【详解】（1）根据表中数据得，，
且最小正周期，，即，
所以，
又当时取得最大值，则，，
因，则，
所以函数.
（2）根据题意，货船能够安全进港必需港口水深，
即，
而，则，所以或，
解得或，
所以货船能够安全进港的时刻是凌晨时至时和下午时至时期间的任意时刻进港都安全.
（3）由（2）知，每次货船进港后若不卸货，则最多在港口内停留小时，
若货船进港后马上卸货且在港口内停留时间要最长，则只能是凌晨时或下午时进港，
由于货物小时可卸完，根据题意小时卸完货物后的吃水深度为，
此时货船能安全在港的水深为，由，则，而，
则，所以，，，，.即，，，，，
因为货船只能在凌晨时或下午时进港才能在港内停留时间最长，且每次进港卸完货后，货船最多只能再停留小时，货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为小时.
6．(1) , ；
(2),.
【分析】（1）根据的图像与性质求出、的值，写出函数解析式，再根据对称性写出的解析式.
（2）根据函数图像变换求出的解析式，由的范围，确定相位范围，再结合三角函数的性质求得答案.
【详解】（1）由的振幅为2，且经过点，得，，
则，，解得，，
而，因此，，
又与关于轴对称，所以.
（2）依题意，，
当时，，，
而，在上递减，在上递增，
则当 时，恰有两个不同的零点，
由，得，则，
所以.
7．(1)第7年时，可获得最大利润45万元
(2)
【分析】（1）对已知的二次函数配方可求得结果；
（2）设这批机器的年平均利润为，则且然后利用基本不等式可得其最大值.
【详解】（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；
（2）记年平均利润为，则14
当且仅当，即时，等号成立.
8．(1)
(2)时，健康广场的面积最大，最大值为m2.
【分析】（1）借助三角函数将矩形的长与宽，三角形的底与高表示出来，利用面积公式求解面积再相加即可.
（2）借助导数研究函数的单调性，求出的最大值，进而得到的最大值即可.
【详解】（1）由已知得，
结合题意：等腰底边上的高为=，
而
，
，
得到
（2）设，则，
令，由，可得，令，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则时，有，
故，
即时，健康广场的面积最大，最大值为.
9．(1)
(2)元
(3)函数解析式为，且的最大值为
【分析】（1）根据频率的意义求解即可；
（2）先求得1秒钟的收益，进而可求1小时的收益；
（3）由题意可得，利用三角恒等变换可求最大值.
【详解】（1）由题意，的周期，
频率；
（2）由（1）知频率，故1秒钟叶片转动圈，
秒钟可获电量0.5度，收益为0.3元，
小时的收益为元；
（3）由题意，
利用，可得：
高度差关于时间的函数解析式为，且的最大值为．
10．(1)．
(2)9倍．
【分析】（1）将所给数据代入题干所给解析式中，由对数的运算性质计算可得；
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，代入解析式，两式作差得到，即可求出.
【详解】（1）将代入函数式可得：，
故此时候鸟飞行速度为．
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，
依题意可得：，两式相减可得：，于是．
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍；
11．(1)，（）
(2)当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小.
【分析】（1）根据“利润销售量单位利润”可列出函数关系.
（2）求导，分析函数的单调性，进而可得函数的最大、最小值.
【详解】（1）由题意：，（）.
（2）因为，（）.
设，（）.
则，因为，所以.
所以函数在上单调递增.
又，，
又
当时，，所以，所以在上单调递减；
当时，，所以，所以在上单调递增.
又，
，
.
所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小.
12．(1)，
(2).
【分析】（1）根据给定函数模型写出解析式.
（2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值.
【详解】（1）依题意，，.
（2）由（1）知，，，
，
令，解得，，
当时，，当时，，在上严格单调递减，
时，的最大值为，即；
当时，，当时，，在上严格单调递增，
当时，，在上严格单调递减，
则当时，的最大值为，即，
所以.
13．(1)解析式为，该企业从第2年开始盈利；理由见解析
(2)方案二更合理；理由见解析
【分析】（1）先写出相应的解析式，再解不等式，求出该企业从第2年开始盈利；
（2）方案一：配方得到时y取到最大值12800，进而得到总利润为万元；方案二：年平均盈利额为，由基本不等式求出最大值，此时处理掉智能机器人，总利润为万元，得到结论.
【详解】（1）由题意可得，
由得且，
该企业从第2年开始盈利；
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：，
当时y取到最大值12800，
若此时处理掉智能机器人，总利润为万元，
方案二：年平均盈利额万元，
当且仅当时，年平均盈利额最大，
若此时处理掉智能机器人，总利润为万元，
综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理.
14．(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）
【分析】（1）由题意得小李通过三次理论考核的概率为，然后利用导数可求出其最大值；
（2）（ⅰ）设小李参加的所有考核的次数为X，则X的可能取值为1，3，4，根据题意求出相应的概率，从而可求出小李参加考核的次数的分布列；（ⅱ）根据题意分别求出小李第二次理论考核未通过但实操考核通过的概率，第三次理论考核未通过但实操考核通过的概率，通过三次理论考核的概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果.
【详解】（1）小李通过三次理论考核的概率为，，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，小李通过三次理论考核的概率最大．
（2）由（1）知．
（ⅰ）设小李参加的所有考核的次数为X，则X的可能取值为1，3，4，
当小李第一次理论考核未通过时，，，
当小李第二次理论考核未通过或通过三次理论考核时，，
所以，
当小李第三次理论考核未通过时，，，
所以小李参加考核的次数X的分布列为
X 1 3 4
P
（ⅱ）小李第二次理论考核未通过但实操考核通过的概率为，
小李第三次理论考核未通过但实操考核通过的概率为，
小李通过三次理论考核的概率为，
所以小李重新上岗的概率．
15．(1)
(2)7分钟
【分析】（1）由题意当时，即可求解；
（2）由（1）得到，令，求解即可.
【详解】（1）茶水温度从开始，
即当时，，解得；
（2）当时，，
当时，，即，
，
故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感．
16．(1)
(2)（i）分布列见解析，数学期望为1.2；（ii）
【分析】（1）由相互独立事件的概率计算公式可得结果；
（2）（i）先计算得到的所有可能取值时的概率，再由数学期望的计算公式得到结果；（ii）由表格数据，先计算得到的概率，然后利用相互独立事件的概率公式得到，令，求导得到取最大值，即取最大值时，从而.
【详解】（1）设“最终得6分”为事件，则.
（2）（i）的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，
，所以的分布列为
0 1 2 3
的数学期望.
（ii）由题意，，
，，
因为取值相互独立，
所以
，
求使达到最大时的值，
令
，
，
令可得，
当时，，单调递增，单调递增；
当时，，单调递减，单调递减，
故时，最大，.
17．(1)总收益为万元
(2)当甲城市投资万元，乙城市投资万元时，总收益最大
【分析】（1）依题意可知乙城市投资万元，再根据所给关系式求出即可；
（2）依题意甲城市投资万元，则乙城市投资万元，根据每个城市至少要投资万元求出的取值范围，分、两种情况分别求出解析式，从从而求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）当，即甲城市投资万元时，乙城市投资万元，
所以（万元）．
因此，此时公司的总收益为万元．
（2）由题意知，甲城市投资万元，则乙城市投资万元，
依题意得，解得，由，则；
当，即时，，
则在上单调递增，所以；
当，即时，，
令，则，
所以．
当，取最大值，即时，取最大值；
因为，故的最大值为．
因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为万元．
18．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见详解；
【分析】（1）根据题意可得甲通过前两个环节的概率为，构建，利用导数分析最值即可；
（2）（ⅰ）根据独立事件概率乘法公式运算求解；（ⅱ）先求甲、乙、丙分析进入决赛的概率，进而求X的分布列与数学期望.
【详解】（1）由题意可知：，解得，
甲通过前两个环节的概率为，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
可知当时，取到最大值，即当时，取到最大值，
所以.
（2）（ⅰ）由（1）可知：甲通过前两个环节的概率分别为和，
甲、乙、丙仅通过第一个环节的概率分别为
，
恰有两人仅通过第一个环节的概率为
；
（ⅱ）设甲、乙、丙进入决赛分别为事件，
则，可得，
由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，
则；
；
；
；
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的期望为.
19．(1)
(2)
(3).
【分析】（1）将条件代入已知式，利用分数指数幂的运算法则计算即得；
（2）将条件和（1）求得的结论代入已知式计算即得；
（3）先计算出水温由冷却到所需要的时间为，然后自动加热后水温达到，由可知，随后水开始降温，代入公式计算即得水温.
【详解】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min，
则，即，所以.
（2）由题意可知：，，，，
可得，
解得，
所以至少需要等待.
（3）设水的温度由冷却到，需要，
则，解得，
此时电热水壶开始加热，需要加热至，且，
若水的温度由冷却到，可知需要，
显然，则，
所以经过后，此时壶中水的温度是.
20．(1)
(2)米.
【分析】（1）对求导，，由解得即可.
（2）求得的解析式，设飞机降落时间为，则，代入函数解析式，求导，结合题意求出的最小值即可.
【详解】（1）由．求导则，
由题意可知，，即
解得，．
则降落曲线
（2）由（1）可知，，，
设飞机降落时间为，则，
则，，
，
，，
当或时，取最大值，故，
可得．
所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为米．
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