专题9 四边形与尺规作图（含解析）-2025年浙江省中考数学一模试题精编
文档属性
| 名称 | 专题9 四边形与尺规作图（含解析）-2025年浙江省中考数学一模试题精编 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-04 17:16:22 | ||
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文档简介
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专题9 四边形与尺规作图
一．选择题
1．（2025 嘉兴模拟）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
2．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC
3．（2025 定海区模拟）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（ ）
A．115° B．120° C．135° D．144°
4．（2025 湖州一模）如图，将正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后，点B的坐标变为（ ）
A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣1） D．（4，1）
5．（2025 衢州一模）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作FG∥AB分别交AD于F，BC于G，连结BE，DE．记△BEC的面积为s，则四边形BEDC的面积为（ ）
A． B．2s C． D．
6．（2025 浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（2025 富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，AD上，BE＝1．得到如下两个结论：①△AEH面积的最大值为，②点G到BC的距离为3．则（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
8．（2025 萧山区一模）如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
9．（2025 温州一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025 拱墅区模拟）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（ ）
A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32
二．填空题
11．（2025 宁波模拟）正十边形一个外角的度数是 ．
12．（2025 宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ ．
13．（2025 宁波一模）如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E，∠BDE＝20°，则∠ACB的度数为 ．
14．（2025 滨江区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝ ．
15．（2025 宁波一模）如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，O为对角线BD的中点，E为BC上一点，将 ABCD沿OE所在的直线折叠，使点B和点D重合．若AB＝AE，OF＝1，则AB的长为 ．
16．（2025 上城区一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H．
（1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝ ；
（2）若，则＝ ．
17．（2025 定海区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以Rt△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BEDC，正方形ANMB，连结NC交AB于点H．已知正方形ACFG的面积为4，若H为AB中点，则正方形BEDC的面积为 ．
18．（2025 宁波一模）已知正方形ABCD中，射线BP与边AD交于点P，过点A，C，D分别作射线BP的垂线，垂足分别为A1，C1，D1．设m＝AA1+CC1+DD1，若AB＝1，则m的最小值为 ．
19．（2025 衢州一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交EH，AB于点N，M．若FM＝MB，
（1）比较线段大小：DF DC．（填写“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于 ．
三．解答题
20．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE．
（1）求证：；
（2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长．
21．（2025 西湖区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长．
22．（2025 嘉善县一模）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证：
（1）BF∥CD；
（2）AB与FD互相平分．
23．（2025 浙江一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上，分别按要求画出图形：
（1）在图1中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC，且点C在格点上；
（2）在图2中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且D，E在格点上．
24．（2025 新昌县一模）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积．
25．（2025 浙江模拟）在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考，给出了如下作图步骤：
①如图，作直角三角形AOB，其中∠AOB＝90°；
②分别延长AO至点C，使CO＝AO；延长BO至点D，使DO＝BO；
③连结BC，CD，AD，形成四边形ABCD．
请根据上述步骤，解答以下问题：
（1）判断四边形ABCD是否为菱形，并说明理由．
（2）若AC＝8，AB＝5，求点C到AB的距离．
26．（2025 临安区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H．
（1）求证：AE＝HF．
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明．
27．（2025 上城区一模）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示．
如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF＝．
（1）组合比k＝ ；
（2）若BE＝2，AB＝3，求AC的长；
（3）若∠BAD＝∠AEC，求证：∠AEB＝30°．
28．（2025 衢州一模）【问题提出】如图，折叠矩形纸片ABCD，使得点B与点A重合，则折痕与边AB，CD的交点E、F将这组对边两等分．如何将矩形纸片的边三等分呢？
【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿AC，BF折叠后展平，折痕交于点P．
（1）求证：；
（2）请过点P折叠，在CD上找到一点G，使（要求：在图中画出折痕）．
29．（2025 宁波一模）小宁同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，3cm长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，3cm长为半径画弧，两弧交于点C；④连结BC，DC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连结BD，若BD＝2cm，求四边形ABCD的面积．
30．（2025 金华模拟）尺规作图问题：
如图1，已知∠ABC，用尺规作图方法作以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD．
（1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么？
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形ABCD（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）．
31．（2025 嘉兴模拟）小红和小明一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在 ABCD中，AB＜BC，∠B＝66°．用直尺和圆规作∠ECB＝66°，E是边AD上一点．
小红：如图2，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连接CE，则∠ECB＝66°．
小明：如图3，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连接CE，则∠ECB＝66°．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小红的作法 ；
②小明的作法 ．
（2）请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程）
32．（2025 衢江区一模）小明研究一道尺规作图题：作△ABC一边BC上的高线．他的作法如下：如图，在△ABC中，AB＞AC，以A为圆心，以AC为半径作弧交BC于点D，再分别以C、D为圆心，以大于CD长度为半径作两弧，两弧交于点E，连结AE交BC于点F，则AF为BC边上的高线．
（1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
（2）若AB＝5，AC＝，CF＝2，求△ABC的面积．
答案与解析
一．选择题
1．（2025 嘉兴模拟）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
【点拨】由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，即可求解．
【解析】解：∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
2．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC
【点拨】根据菱形的判定定理判断即可．
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴ ABCD是矩形，故符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
3．（2025 定海区模拟）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（ ）
A．115° B．120° C．135° D．144°
【点拨】先求出正六边形的每个内角为120°，再根据六边形MBCDEN的内角和为720°即可求解∠ENM+∠NMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【解析】解：正六边形每个内角为：，
而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°，
∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°，
∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°，
∴α+β＝360°﹣240°＝120°，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
4．（2025 湖州一模）如图，将正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后，点B的坐标变为（ ）
A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣1） D．（4，1）
【点拨】作Rt△DBE，将Rt△DBE绕点D顺时针旋转90°至Rt△DB′E′，即可得出B点的坐标．
【解析】解：如图，作Rt△DBE，将Rt△DBE绕点D顺时针旋转90°至Rt△DB′E′，
则DE′＝DE＝1，E′B′＝EB＝3，
∴OB′＝OE′+E′B′＝4，
∴B′（4，0），
∴正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后，点B的坐标变为（4，0）．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质和网格当中的旋转作图．旋转的三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角度，正确的作出旋转以后的图形是解题的关键．
5．（2025 衢州一模）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作FG∥AB分别交AD于F，BC于G，连结BE，DE．记△BEC的面积为s，则四边形BEDC的面积为（ ）
A． B．2s C． D．
【点拨】过点E作HL∥BC，交AB于点上，交CD于点L，则四边形HBGE、四边形EGCL、四边形ELDF、四边形AHEF都是矩形，所以S△AFE＝S△AHE，S△CLE＝S△CGE，S△ADC＝S△ABC，由S矩形ELDF+S△AFE+S△CLE＝S矩形HBGE+S△AHE+S△CGE，证明S矩形ELDF＝S矩形HBGE，推导出S△DEL＝S△BEG，S△CEL＝S△CEG，则S△DEC＝S△BEC＝s，所以S四边形BEDC＝2s，于是得到问题的答案．
【解析】解：过点E作HL∥BC，交AB于点上，交CD于点L，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∵过点E作FG∥AB分别交AD于F，BC于G，
∴HL∥AD，FG∥CD，
∴四边形HBGE、四边形EGCL、四边形ELDF、四边形AHEF都是平行四边形，
∵∠HBG＝∠GCL＝∠LDF＝∠FAH＝90°，
∴四边形HBGE、四边形EGCL、四边形ELDF、四边形AHEF都是矩形，
∴S△AFE＝S△AHE＝AF EF，
同理S△CLE＝S△CGE，S△ADC＝S△ABC，
∴S矩形ELDF+S△AFE+S△CLE＝S矩形HBGE+S△AHE+S△CGE，
∴S矩形ELDF＝S矩形HBGE，
∵S△DEL＝S△DEF＝DF EF＝S矩形ELDF，S△BEG＝S△BEH＝BG EG＝S矩形HBGE，
∴S△DEL＝S△BEG，
∵S△CEL＝S△CEG＝CG EG＝S矩形EGCL，
∴S△DEC＝S△DEL+S△CEL＝S△BEG+S△CEG＝S△BEC＝s，
∴S四边形BEDC＝S△DEC+S△BEC＝2s，
故选：B．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，推导出S矩形ELDF＝S矩形HBGE，进而证明S△DEL＝S△BEG是解题的关键．
6．（2025 浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【点拨】把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决．
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED+DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2+CF2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
7．（2025 富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，AD上，BE＝1．得到如下两个结论：①△AEH面积的最大值为，②点G到BC的距离为3．则（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
【点拨】根据题意，首先判断△AEH面积的最大时，需EH最大，利用菱形性质，得到需EC最大，从而求出最大的面积，判断结论①正确，利用三角形全等，得到GM＝AE＝3，判断结论②正确．
【解析】解：如图1，
∵AB＝4，BE＝1，
∴AE＝3，
∵在Rt△AEH中，面积S＝AH AE，
又AH＝，
∴当EH最大时，AH最大，则△AEH的面积最大，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
∴当EF最大时，△AEH的面积最大，
∵当点F在C点时，EF最大，
∴△AEH的面积最大时，菱形为EH'G'C，
∴EH′＝，
∴EH'＝，
∴AH′＝，
∴△AEH的面积最大值S＝AH′ AE＝×2×3＝3，
故结论①正确，符合题意；
如图2，过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于M点，
∴GF＝EH，∠GMF＝∠A＝90°，∠GFM＝∠AHE，
∴△AEH△≌MGF，
∴GM＝AE＝3，
∴点G到BC的距离为3，
故结论②正确，符合题意，
综上所述，结论①②都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形、菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．
8．（2025 萧山区一模）如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【点拨】①连接GE，MD，MB，过点E作EP∥BC，交MD于点P，先证明△GAB和△EAD全等得BG＝DE，∠ABG＝∠ADE＝90°，由此得点G，B，C三点共线，根据正方形性质得EG经过点M，△AME是等腰直角三角形，由勾股定理得EM＝
AE，在Rt△CGE中，根据斜边上中线性质得CM＝EM＝GM＝AM，则CM＝AE，据此可对结论①进行判断；
②先证明△ADM和△CDM全等得∠ADM＝∠CDM＝45°，进而得△EDP是等腰直角三角形，则PE＝DE＝BG，由此可依据“SAS”判定△BGM和△PEM全等，则∠BMG＝∠PME，再根据AF⊥GE得∠BMD＝∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°，据此可对结论②进行判断，综上所述即可得出答案．
【解析】解：①连接GE，MD，MB，过点E作EP∥BC，交MD于点P，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝CD，AG＝AE，∠GAE＝∠BAD＝∠ADE＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠GAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠GAB＝∠EAD，
在△GAB和△EAD中
，
∴△GAB≌△EAD（SAS），
∴BG＝DE，∠ABG＝∠ADE＝90°，
∴∠ABG+∠ABC＝180°，
∴点G，B，C在同一条直线上，
∵AF是正方形AEFG的对角线，点M为AF的中点，
∴EG经过点M，
∴GM＝EM＝MA＝ME，AF⊥GE，
∴△AME是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AE＝＝EM，
∴EM＝AE，
在Rt△CGE中，CM是斜边GE上的中线，
∴CM＝EM＝GM＝AM，
∴CM＝AE，
即2CM＝AE，
故结论①对；
②在△ADM和△CDM中，
，
∴△ADM≌△CDM（SSS），
∴∠ADM＝∠CDM＝∠ADE＝45°，
∵EP∥BC，
∴∠DEP＝∠BCD＝90°，∠BGM＝∠PEM，
∴△EDP是等腰直角三角形，
∴PE＝DE，
∵BG＝DE，
∴BG＝PE，
在△BGM和△PEM中，
，
∴△BGM≌△PEM（SAS），
∴∠BMG＝∠PME，
∵AF⊥GE，
∴∠AMG＝∠AME＝∠AMP+∠PME＝90°，
∴∠AMP+∠BMG＝90°，
∴∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°，
即∠BMD＝∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°，
∴点B，M，D三点共线，
故结论②对，
综上所述：结论①，②都对．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．
9．（2025 温州一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】连接AG，CG，证明△ABG和△CBG全等得AG＝CG，∠AGB＝∠CGB，再证明△GBF是等腰直角三角形得GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°，进而可证明△GCF和△GEB全等，则CG＝EB，∠CGF＝∠EGB，由此可得出△GAE是等腰直角三角形，再由勾股定理得AE＝EG，则＝，据此即可得出答案．
【解析】解：连接AG，CG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝45°，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠AGB＝∠CGB，
∵FG⊥BD，
∴∠BGF＝90°，
又∵∠CBG＝45°，
∴△GBF是等腰直角三角形，
∴GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°，
在△GCF和△GEB中，
，
∴△GCF≌△GEB（SAS），
∴CG＝EB，∠CGF＝∠EGB，
∴AG＝EG，
∴△GAE是等腰三角形，
∵∠AGB＝∠CGB，∠CGF＝∠EGB，
∴∠AGE＝∠AGB+∠EGB＝∠CGB+∠CGF＝∠BGF＝90°，
∴△GAE是等腰直角三角形，
在Rt△GAE中，由勾股定理得：AE＝＝EG，
∴＝为定值．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
10．（2025 拱墅区模拟）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（ ）
A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32
【点拨】作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABM＝∠DCN，可证明△ABM≌△DCN，得AM＝DN，BM＝CN，由BD2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC BM+BM2，AC2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC BM+BM2，得AC2+BD2＝2AB2+2BC2＝32，则x2+y2＝32，可判断A不符合题意，B不符合题意，C符合题意，D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解析】解：作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，则∠ABM＝∠N＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，BC＝2，AC＝x，BD＝y，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABM＝∠DCN，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴AM＝DN，BM＝CN，
∴BD2＝DN2+BN2＝AM2+（BC+CN）2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC BM+BM2，
∵AC2＝AM2+CM2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC BM+BM2，
∴AC2+BD2＝2AM2+2BM2+2BC2＝2AB2+2BC2＝2×22+2×（2）2＝32，
∴x2+y2＝32，
故A不符合题意，B不符合题意，C符合题意；
假设y2﹣x2＝32成立，则x2+y2＝y2﹣x2，
求得x＝0，不符合题意，
∴y2﹣x2＝32不成立，
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线，并且推导出AC2+BD2＝2AB2+2BC2是解题的关键．
二．填空题
11．（2025 宁波模拟）正十边形一个外角的度数是 36° ．
【点拨】根据多边形的外角和等于360°进行解题即可．
【解析】解：由题可知，
360°÷10＝36°．
故答案为：36°．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
12．（2025 宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 70° ．
【点拨】先利用三角形的外角性质求得∠BFD的度数，再根据平行四边形的性质推出FB∥CD，利用平行线的性质，即可求出答案．
【解析】解：∵∠A＝40°，∠ABF＝30°，
∴∠BFD＝∠A+∠ABF＝70°，
∵四边形BCDF是平行四边形，
∴FB∥CD，
∴∠CDE＝∠BFD＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的对边平行的性质，难度不大．
13．（2025 宁波一模）如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E，∠BDE＝20°，则∠ACB的度数为 35° ．
【点拨】由外角的性质可得∠BOC＝110°，由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【解析】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵DE⊥AC，∠BDE＝20°，
∴∠BOC＝110°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC＝AO＝DO，
∴∠ACB＝∠OBC＝35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
14．（2025 滨江区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝ 30° ．
【点拨】由题意，得到DM是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，得到DA＝DB，得到等腰三角形DAB的两底角相等，再利用等腰三角形ABC得到∠C的度数，从而得到结果．
【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，
∴DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了作图，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形性质的应用是解题的关键．
15．（2025 宁波一模）如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，O为对角线BD的中点，E为BC上一点，将 ABCD沿OE所在的直线折叠，使点B和点D重合．若AB＝AE，OF＝1，则AB的长为 3+ ．
【点拨】如图．过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点M．则四边形AHEM是矩形．想办法证明∠EFO＝60°，求出EF，再利用平行线分线段成比例定理求解AF即可．
【解析】解：如图．过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点M．则四边形AHEM是矩形．
∴AH＝EM，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∵AB＝AE，AH⊥BE，
∴BH＝EH，
∴AH＝BH＝HE＝BE，
∵ED＝EB，
∴ED＝2AH＝2EM，
∵EM⊥AD，
∴∠EDM＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CED＝∠ADE＝30°，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠DEC＝∠EBD+∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB＝15°，
∴∠EFO＝∠FEO+∠EBO＝60°，
∵EO⊥BD，
∴∠FEO＝30°，
∴EF＝2OF＝2，
设AH＝HE＝EM＝AM＝a，则BE＝2a，DM＝a，
∵AD∥BE，
∴＝＝，
∴AF＝1+，
∴AB＝AE＝1++2＝3+．
方法二：倒数第六行开始，设AF＝m，则AB＝根号3倍m，通过AE＝AB可直接求出m和AB长．
故答案为：3+．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，翻折变换，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
16．（2025 上城区一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H．
（1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝ ；
（2）若，则＝ ．
【点拨】（1）由轴对称可得到∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B＝60°，从而∠ABE＝30°，即可解答；
（2）延长BA，B'E，交于点M，设B'E与CD交于点N，由△NFH∽△MBH得到，设FN＝a，MB＝12a．证明EM＝EB，根据“三线合一”得到，设DE＝DF＝x，则AE＝6a﹣x，DN＝a+x，NC＝5a﹣x，BG＝AE＝6a﹣x，CB'＝6a﹣2x．由△DEN∽△CB'N得到，即，求得x1＝2a即可解答．
【解析】解：（1）∵点A与点H关于直线BE对称，
∴∠AEB＝∠HEB，
∵点B与点B'关于EG对称，
∴∠EBB'＝∠EB'B，
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBB'，
∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B，
∵∠HEB+∠EBB'+∠EB'B＝180°，
∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B＝60°，
∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBB'＝30°，
∴，
故答案为：；
（2）延长BA，B'E，交于点M，设B'E与CD交于点N，
∵在正方形ABCD中，AB∥DC，
∴△NFH∽△MBH，，
∴设FN＝a，MB＝12a，
∵由（1）有∠ABC＝90°，∠BB'E＝60°，∠ABE＝30°，
∴∠M＝180°﹣∠ABC﹣∠BB'E＝30°＝∠ABE，
∴EM＝EB，
∵在正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴，
∴在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝AB＝6a，
设DE＝DF＝x，则AE＝AD﹣DE＝6a﹣x，DN＝FN+DF＝a+x，NC＝CD﹣DN＝6a﹣（a+x）＝5a﹣x，
∵点B与点B'关于EG对称，
∴EG⊥BB'，BB'＝2BG，
∵在正方形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形AEGB是矩形，
∴BG＝AE＝6a﹣x，
∴BB'＝2BG＝2（6a﹣x）＝12a﹣2x，
∴CB'＝BB'﹣BC＝（12a﹣2x）﹣6a＝6a﹣2x，
∵AD∥BC，
∴△DEN∽△CB'N，
∴，即，
解得x1＝2a，x2＝﹣3a（不合题意，舍去），
∴CB'＝6a﹣2x＝6a﹣4a＝2a，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称图形的性质，相似三角形的判定及性质，求锐角三角函数值，解一元二次方程等，综合运用相关知识是解题的关键．
17．（2025 定海区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以Rt△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BEDC，正方形ANMB，连结NC交AB于点H．已知正方形ACFG的面积为4，若H为AB中点，则正方形BEDC的面积为 ．
【点拨】过点C作CP⊥NA交NA的延长线于点P，根据直角三角形斜边中线的性质设CH＝AH＝BH＝a，则AN＝AB＝2a，NH＝，进而得NC＝，证明△NAH和△NPC相似得＝＝，则＝＝，由此得AP＝，AN＝，再由勾股定理得AP2+PC2＝AC2，则，继而得，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC2即可得出答案．
【解析】解：过点C作CP⊥NA交NA的延长线于点P，如图所示：
∴∠P＝90°，
在△ABC中，∠C＝90°，点H为AB中点，
∴CH是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴设CH＝AH＝BH＝a，
∴AB＝2a，
∵四边形ABMN是正方形，
∴AN＝AB＝2a，∠NAB＝90°，
在Rt△ANH中，由勾股定理得：NH＝＝＝，
∴NC＝NH+CH＝，
∵∠NAB＝∠P＝90°，
∴AH∥NC，
∴△NAH∽△NPC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴PC＝，AP＝，
∵正方形ACACFG的面积为4，
∴AC2＝4，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AP2＝AC2，
∴，
解得：，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝（2a）2﹣4＝4a2﹣4，
∴BC2＝＝，
∵四边形BEDC是正方形，
∴正方形BEDC的面积为：BC2＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
18．（2025 宁波一模）已知正方形ABCD中，射线BP与边AD交于点P，过点A，C，D分别作射线BP的垂线，垂足分别为A1，C1，D1．设m＝AA1+CC1+DD1，若AB＝1，则m的最小值为 ．
【点拨】连接BD，PC，根据三角形的面积公式得出，根据S正方形ABCD＝S△ABP+S△BCP+S△DPC，推出，当时，m＝AA1+CC1+DD1有最小值．
【解析】解：连接BD，PC，
S正方形ABCD＝1×1＝1，
由勾股定理得：，
∵AB＝1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，m＝AA1+CC1+DD1有最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，根据题意得出S正方形ABCD＝S△ABP+S△BCP+S△DPC是解题的关键．
19．（2025 衢州一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交EH，AB于点N，M．若FM＝MB，
（1）比较线段大小：DF ＝ DC．（填写“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于 ．
【点拨】（1）根据正方形ABCD由四个全等的直角三角形，得∠ABE＝∠BCF，∠EFC＝∠BCD＝90°，进而可以解决问题；
（2）设AD＝AB＝DC＝a，MF＝MB＝x，则AM＝AB﹣MB＝a﹣x，DM＝DF+MF＝a+x，根据勾股定理求出a＝4x，进而可以解决问题．
【解析】解：（1）∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形，
∴∠ABE＝∠BCF，∠EFC＝∠BCD＝90°，
∵FM＝MB，
∴∠ABE＝∠MFB，
∴∠MFB＝∠BCF，
∵∠EFD＝∠MFB，
∴∠MFD＝∠BCF，
∵∠EFC＝∠BCD＝90°，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
故答案为：＝；
（2）设AD＝AB＝DC＝a，MF＝MB＝x，
则AM＝AB﹣MB＝a﹣x，DM＝DF+MF＝a+x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AD2+AM2＝DM2，
a2+（a﹣x）2＝（a+x）2，
解得：a＝4x（a＝0舍去），
∴AM＝AB﹣MB＝a﹣x＝3x，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等图形，一元二次方程，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
三．解答题
20．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE．
（1）求证：；
（2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得出OB＝OD，可推出OE是三角形DBC的中位线，即可得出结论；
（2）根据，AB＝2，推出BC的长，再结合（1）的结论即可得出结果．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是三角形DBC的中位线，
∴；
（2）解：∵∠BAC＝90°，，AB＝2，
∴，
∴BC＝，
∴OE＝．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解直角三角形，熟记各性质定理是解题的关键．
21．（2025 西湖区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长．
【点拨】（1）由平行四边形的性质可求得OA＝OC、OB＝OD，再结合E、F为中点，可求得OE＝OF，则可证得四边形EBFD为平行四边形；
（2）根据勾股定理求出AO＝2，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：∵AB＝2BO＝4，
∴BO＝2，
∵∠ABD＝90°，
∴AO＝＝＝2，
∵点E为AO的中点，
∴BE＝AO＝．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
22．（2025 嘉善县一模）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证：
（1）BF∥CD；
（2）AB与FD互相平分．
【点拨】（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形FBCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证；
（2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形AFBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证．
【解析】（1）证明：∵点E是线段BD的中点，
∴BE＝DE，
又∵EF＝CE，
∴四边形FBCD是平行四边形，
∴BF∥CD；
（2）如图，连接AF，
∵四边形FBCD是平行四边形，
∴BD∥CD，BF＝CD，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BF，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴AB与FD互相平分．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．（2025 浙江一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上，分别按要求画出图形：
（1）在图1中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC，且点C在格点上；
（2）在图2中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且D，E在格点上．
【点拨】（1）根据等边三角形的性质及直角三角形的性质作图；
（2）根据等边三角形的性质及菱形的性质作图．
【解析】解：（1）点C、C′即为所求；
（2）菱形ADBE即为所求．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，掌握等边三角形的性质、直角三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
24．（2025 新昌县一模）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积．
【点拨】（1）证明△CDF≌△EBF（SAS），等CD＝BE，∠FCD＝∠FEB，则BE∥CD，再证明四边形AEBD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接ED，证明四边形BCDE是平行四边形，得DE＝BC＝8，再求出AC＝2AD＝10，进而由勾股定理得AB＝6，然后由菱形面积公式列式计算即可．
【解析】（1）证明：∵F是BD的中点，
∴DF＝BF，
∵CF＝EF，∠CFD＝∠EFB，
∴△CDF≌△EBF（SAS），
∴CD＝BE，∠FCD＝∠FEB，
∴BE∥CD，
∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，
∴BD＝BC＝AD＝CD，
∴BE＝CD＝AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴平行四边形AEBD是菱形；
（2）解：如图，连接ED，
∵BE∥CD，CD＝BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC＝8，
∵AD＝BE＝5，BD是△ABC中线，
∴AC＝2AD＝10，
∵∠ABC＝90°，BC＝8，
∴AB＝＝＝6，
∴菱形AEBD的面积＝AB DE＝×6×8＝24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟悉掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25．（2025 浙江模拟）在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考，给出了如下作图步骤：
①如图，作直角三角形AOB，其中∠AOB＝90°；
②分别延长AO至点C，使CO＝AO；延长BO至点D，使DO＝BO；
③连结BC，CD，AD，形成四边形ABCD．
请根据上述步骤，解答以下问题：
（1）判断四边形ABCD是否为菱形，并说明理由．
（2）若AC＝8，AB＝5，求点C到AB的距离．
【点拨】（1）根据题意可得OA＝OC，OB＝OD，易证四边形ABCD是平行四边形，再根据∠AOB＝90°，推出AC⊥BD，即可证明四边形ABCD是菱形；
（2）由题意易求AO＝CO＝4，利用勾股定理求出BO＝3，得到BD＝6，设点C到AB的距离为h，利用菱形ABCD的面积即可求解．
【解析】解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
根据题意得OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵AB＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵∠AOB＝90°，AB＝5，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：，
∵OB＝OD，四边形ABCD是菱形，
∴BD＝6，
设点C到AB的距离为h，
∴，
∴，
∴点C到AB的距离为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
26．（2025 临安区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H．
（1）求证：AE＝HF．
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明．
【点拨】（1）过点F作FK⊥AB于点K，证明四边形ADFK是矩形得AD＝FK，DF＝AK，则AB＝FK，再证明△BAE和△KFH全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据△BAE和△KFH全等得BE＝KH，再根据BE＝DF，DF＝AK得AK＝BE，由此即可得出AH与BE之间的数量关系．
【解析】（1）证明：过点F作FK⊥AB于点K，如图所示：
∴∠FKH＝∠FKA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠FKA＝∠BAD＝∠D＝90°，∠B＝∠FKH＝90°，
∴四边形ADFK是矩形，
∴AD＝FK，DF＝AK，
∴AB＝FK，
∵FH⊥AE，∠FKH＝90°，
∴∠BAE+∠AHF＝90°，∠KFH+∠AHF＝90°，
∴∠BAE＝∠KFH，
在△BAE和△KFH中，
，
∴△BAE≌△KFH（ASA），
∴AE＝HF；
（2）解：AH与BE之间的数量关系是，AH＝2BE，证明如下：
∵△BAE≌△KFH，
∴BE＝KH，
又∵BE＝DF，DF＝AK，
∴AK＝BE，
∴AH＝AK+KH＝BE+BE＝2BE．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
27．（2025 上城区一模）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示．
如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF＝．
（1）组合比k＝ ；
（2）若BE＝2，AB＝3，求AC的长；
（3）若∠BAD＝∠AEC，求证：∠AEB＝30°．
【点拨】（1）由组合比的定义可求解；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，EO＝FO，可求BE＝DF＝2，可得BO＝1，由勾股定理可求AO的长，即可求解；
（3）通过证明△AOB∽△EOA，可得AO＝BO，由锐角三角函数可求∠BAO＝30°，即可求解．
【解析】（1）解：∵BD：EF＝，
∴k＝，
故答案为：；
（2）解：如图，连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，EO＝FO，
∴BE＝DF＝2，
∵BD：EF＝，
∴EF＝3BD，
∵EF＝BE+DF+BD，
∴BE＝BD＝DF＝2，
∴B0＝DO＝1，
∴AO＝＝＝2，
∴AC＝4；
（3）证明：如图，连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，EO＝FO，∠BAD＝2∠BAC，∠AEC＝2∠AED，
∵BD：EF＝，
∴EF＝3BD，
∴EO＝3BO，
∵∠BAD＝∠AEC，
∴∠BAC＝∠AED，
又∵∠AOB＝∠AOE＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴，
∴AO＝BO，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
∴∠AEB＝30°．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
28．（2025 衢州一模）【问题提出】如图，折叠矩形纸片ABCD，使得点B与点A重合，则折痕与边AB，CD的交点E、F将这组对边两等分．如何将矩形纸片的边三等分呢？
【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿AC，BF折叠后展平，折痕交于点P．
（1）求证：；
（2）请过点P折叠，在CD上找到一点G，使（要求：在图中画出折痕）．
【点拨】（1）由中点可知CF＝，再利用即可得证；
（2）过P画出折痕交CD于点G即可；
【解析】（1）证明：由题意得：E，F分别为AB，CD的中点．
因为四边形ABCD为矩形，
所以AB∥CD，AB＝CD，
已知F为CD的中点，
可知，则，
由AB∥CD，得△PCF∽△PAB，
所以，
所以．
（2）解：如图，所示，点G即为所求．
证明：∵CG∥AH，
∴＝，
∴AH＝2CG，
∴DG＝2CG，
∴CG＝．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
29．（2025 宁波一模）小宁同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，3cm长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，3cm长为半径画弧，两弧交于点C；④连结BC，DC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连结BD，若BD＝2cm，求四边形ABCD的面积．
【点拨】（1）由作图过程可知AB＝AD＝CD＝BC，则可得四边形ABCD是菱形．
（2）连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2OA，OB＝＝1cm，则OA＝＝，AC＝，再根据四边形ABCD的面积为可得答案．
【解析】（1）证明：由作图过程可知，AB＝AD＝3cm，CD＝BC＝3cm，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2OA，OB＝＝1cm，
∵AB＝3cm，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝，
∴四边形ABCD的面积为＝＝（cm2）．
【点睛】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
30．（2025 金华模拟）尺规作图问题：
如图1，已知∠ABC，用尺规作图方法作以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD．
（1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么？
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形ABCD（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）．
【点拨】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断即可；
（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形作出图形．
【解析】解：（1）如图2中，四边形ABCD是平行四边形的依据是两组对边分别的四边形是平行四边形；
（2）如图1中，四边形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
31．（2025 嘉兴模拟）小红和小明一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在 ABCD中，AB＜BC，∠B＝66°．用直尺和圆规作∠ECB＝66°，E是边AD上一点．
小红：如图2，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连接CE，则∠ECB＝66°．
小明：如图3，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连接CE，则∠ECB＝66°．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小红的作法 正确 ；
②小明的作法 错误 ．
（2）请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程）
【点拨】（1）根据题意判断即可；
（2）小红的作法：根据平行四边形的性质得到∠D＝∠B＝66°，由作图知，CD＝CE，得到∠CED＝∠D＝66°，根据平行线的性质得到；
小明的作法：根据平行四边形的性质得到D＝∠B＝66°，由作图知，CD＝CE，求得∠CED＝∠DCE＝57°，根据平行线的性质得到∠ECB＝∠CED＝57°．
【解析】解：（1）①小红的作法正确；
②小明的作法错误；
故答案为：正确，错误；
（2）小红的作法：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝66°，
由作图知，CD＝CE，
∴∠CED＝∠D＝66°，
∵AD∥BC，
∴∠ECB＝∠CED＝66°，
故小红的作法正确；
小明的作法：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝66°，
由作图知，CD＝CE，
∴∠CED＝∠DCE＝57°，
∵AD∥BC，
∴∠ECB＝∠CED＝57°，
故小明的作法错误．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
32．（2025 衢江区一模）小明研究一道尺规作图题：作△ABC一边BC上的高线．他的作法如下：如图，在△ABC中，AB＞AC，以A为圆心，以AC为半径作弧交BC于点D，再分别以C、D为圆心，以大于CD长度为半径作两弧，两弧交于点E，连结AE交BC于点F，则AF为BC边上的高线．
（1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
（2）若AB＝5，AC＝，CF＝2，求△ABC的面积．
【点拨】（1）作法正确，证明AE垂直平分线段CD即可；
（2）利用勾股定理去才AF，再利用三角形面积公式求解．
【解析】解：（1）同意．
理由：连接EC，ED．
由作图可知AD＝AC，ED＝EC，
∴AE垂直平分线段CD，
∴AF⊥BC，即线段AF是△ABC的高；
（2）∵AF⊥BC，AC＝，CF＝2，
∴AF＝＝＝3，
∴BF＝＝＝4，
BC＝BF+CF＝4+2＝6，
∴△ABC的面积＝ BC AF＝×6×3＝9．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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专题9 四边形与尺规作图
一．选择题
1．（2025 嘉兴模拟）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
2．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC
3．（2025 定海区模拟）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（ ）
A．115° B．120° C．135° D．144°
4．（2025 湖州一模）如图，将正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后，点B的坐标变为（ ）
A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣1） D．（4，1）
5．（2025 衢州一模）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作FG∥AB分别交AD于F，BC于G，连结BE，DE．记△BEC的面积为s，则四边形BEDC的面积为（ ）
A． B．2s C． D．
6．（2025 浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（2025 富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，AD上，BE＝1．得到如下两个结论：①△AEH面积的最大值为，②点G到BC的距离为3．则（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
8．（2025 萧山区一模）如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
9．（2025 温州一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025 拱墅区模拟）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（ ）
A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32
二．填空题
11．（2025 宁波模拟）正十边形一个外角的度数是 ．
12．（2025 宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ ．
13．（2025 宁波一模）如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E，∠BDE＝20°，则∠ACB的度数为 ．
14．（2025 滨江区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝ ．
15．（2025 宁波一模）如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，O为对角线BD的中点，E为BC上一点，将 ABCD沿OE所在的直线折叠，使点B和点D重合．若AB＝AE，OF＝1，则AB的长为 ．
16．（2025 上城区一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H．
（1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝ ；
（2）若，则＝ ．
17．（2025 定海区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以Rt△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BEDC，正方形ANMB，连结NC交AB于点H．已知正方形ACFG的面积为4，若H为AB中点，则正方形BEDC的面积为 ．
18．（2025 宁波一模）已知正方形ABCD中，射线BP与边AD交于点P，过点A，C，D分别作射线BP的垂线，垂足分别为A1，C1，D1．设m＝AA1+CC1+DD1，若AB＝1，则m的最小值为 ．
19．（2025 衢州一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交EH，AB于点N，M．若FM＝MB，
（1）比较线段大小：DF DC．（填写“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于 ．
三．解答题
20．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE．
（1）求证：；
（2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长．
21．（2025 西湖区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长．
22．（2025 嘉善县一模）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证：
（1）BF∥CD；
（2）AB与FD互相平分．
23．（2025 浙江一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上，分别按要求画出图形：
（1）在图1中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC，且点C在格点上；
（2）在图2中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且D，E在格点上．
24．（2025 新昌县一模）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积．
25．（2025 浙江模拟）在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考，给出了如下作图步骤：
①如图，作直角三角形AOB，其中∠AOB＝90°；
②分别延长AO至点C，使CO＝AO；延长BO至点D，使DO＝BO；
③连结BC，CD，AD，形成四边形ABCD．
请根据上述步骤，解答以下问题：
（1）判断四边形ABCD是否为菱形，并说明理由．
（2）若AC＝8，AB＝5，求点C到AB的距离．
26．（2025 临安区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H．
（1）求证：AE＝HF．
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明．
27．（2025 上城区一模）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示．
如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF＝．
（1）组合比k＝ ；
（2）若BE＝2，AB＝3，求AC的长；
（3）若∠BAD＝∠AEC，求证：∠AEB＝30°．
28．（2025 衢州一模）【问题提出】如图，折叠矩形纸片ABCD，使得点B与点A重合，则折痕与边AB，CD的交点E、F将这组对边两等分．如何将矩形纸片的边三等分呢？
【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿AC，BF折叠后展平，折痕交于点P．
（1）求证：；
（2）请过点P折叠，在CD上找到一点G，使（要求：在图中画出折痕）．
29．（2025 宁波一模）小宁同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，3cm长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，3cm长为半径画弧，两弧交于点C；④连结BC，DC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连结BD，若BD＝2cm，求四边形ABCD的面积．
30．（2025 金华模拟）尺规作图问题：
如图1，已知∠ABC，用尺规作图方法作以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD．
（1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么？
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形ABCD（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）．
31．（2025 嘉兴模拟）小红和小明一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在 ABCD中，AB＜BC，∠B＝66°．用直尺和圆规作∠ECB＝66°，E是边AD上一点．
小红：如图2，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连接CE，则∠ECB＝66°．
小明：如图3，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连接CE，则∠ECB＝66°．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小红的作法 ；
②小明的作法 ．
（2）请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程）
32．（2025 衢江区一模）小明研究一道尺规作图题：作△ABC一边BC上的高线．他的作法如下：如图，在△ABC中，AB＞AC，以A为圆心，以AC为半径作弧交BC于点D，再分别以C、D为圆心，以大于CD长度为半径作两弧，两弧交于点E，连结AE交BC于点F，则AF为BC边上的高线．
（1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
（2）若AB＝5，AC＝，CF＝2，求△ABC的面积．
答案与解析
一．选择题
1．（2025 嘉兴模拟）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
【点拨】由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，即可求解．
【解析】解：∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
2．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC
【点拨】根据菱形的判定定理判断即可．
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴ ABCD是矩形，故符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
3．（2025 定海区模拟）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（ ）
A．115° B．120° C．135° D．144°
【点拨】先求出正六边形的每个内角为120°，再根据六边形MBCDEN的内角和为720°即可求解∠ENM+∠NMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【解析】解：正六边形每个内角为：，
而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°，
∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°，
∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°，
∴α+β＝360°﹣240°＝120°，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
4．（2025 湖州一模）如图，将正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后，点B的坐标变为（ ）
A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣1） D．（4，1）
【点拨】作Rt△DBE，将Rt△DBE绕点D顺时针旋转90°至Rt△DB′E′，即可得出B点的坐标．
【解析】解：如图，作Rt△DBE，将Rt△DBE绕点D顺时针旋转90°至Rt△DB′E′，
则DE′＝DE＝1，E′B′＝EB＝3，
∴OB′＝OE′+E′B′＝4，
∴B′（4，0），
∴正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后，点B的坐标变为（4，0）．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质和网格当中的旋转作图．旋转的三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角度，正确的作出旋转以后的图形是解题的关键．
5．（2025 衢州一模）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作FG∥AB分别交AD于F，BC于G，连结BE，DE．记△BEC的面积为s，则四边形BEDC的面积为（ ）
A． B．2s C． D．
【点拨】过点E作HL∥BC，交AB于点上，交CD于点L，则四边形HBGE、四边形EGCL、四边形ELDF、四边形AHEF都是矩形，所以S△AFE＝S△AHE，S△CLE＝S△CGE，S△ADC＝S△ABC，由S矩形ELDF+S△AFE+S△CLE＝S矩形HBGE+S△AHE+S△CGE，证明S矩形ELDF＝S矩形HBGE，推导出S△DEL＝S△BEG，S△CEL＝S△CEG，则S△DEC＝S△BEC＝s，所以S四边形BEDC＝2s，于是得到问题的答案．
【解析】解：过点E作HL∥BC，交AB于点上，交CD于点L，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∵过点E作FG∥AB分别交AD于F，BC于G，
∴HL∥AD，FG∥CD，
∴四边形HBGE、四边形EGCL、四边形ELDF、四边形AHEF都是平行四边形，
∵∠HBG＝∠GCL＝∠LDF＝∠FAH＝90°，
∴四边形HBGE、四边形EGCL、四边形ELDF、四边形AHEF都是矩形，
∴S△AFE＝S△AHE＝AF EF，
同理S△CLE＝S△CGE，S△ADC＝S△ABC，
∴S矩形ELDF+S△AFE+S△CLE＝S矩形HBGE+S△AHE+S△CGE，
∴S矩形ELDF＝S矩形HBGE，
∵S△DEL＝S△DEF＝DF EF＝S矩形ELDF，S△BEG＝S△BEH＝BG EG＝S矩形HBGE，
∴S△DEL＝S△BEG，
∵S△CEL＝S△CEG＝CG EG＝S矩形EGCL，
∴S△DEC＝S△DEL+S△CEL＝S△BEG+S△CEG＝S△BEC＝s，
∴S四边形BEDC＝S△DEC+S△BEC＝2s，
故选：B．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，推导出S矩形ELDF＝S矩形HBGE，进而证明S△DEL＝S△BEG是解题的关键．
6．（2025 浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【点拨】把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决．
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED+DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2+CF2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
7．（2025 富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，AD上，BE＝1．得到如下两个结论：①△AEH面积的最大值为，②点G到BC的距离为3．则（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
【点拨】根据题意，首先判断△AEH面积的最大时，需EH最大，利用菱形性质，得到需EC最大，从而求出最大的面积，判断结论①正确，利用三角形全等，得到GM＝AE＝3，判断结论②正确．
【解析】解：如图1，
∵AB＝4，BE＝1，
∴AE＝3，
∵在Rt△AEH中，面积S＝AH AE，
又AH＝，
∴当EH最大时，AH最大，则△AEH的面积最大，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
∴当EF最大时，△AEH的面积最大，
∵当点F在C点时，EF最大，
∴△AEH的面积最大时，菱形为EH'G'C，
∴EH′＝，
∴EH'＝，
∴AH′＝，
∴△AEH的面积最大值S＝AH′ AE＝×2×3＝3，
故结论①正确，符合题意；
如图2，过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于M点，
∴GF＝EH，∠GMF＝∠A＝90°，∠GFM＝∠AHE，
∴△AEH△≌MGF，
∴GM＝AE＝3，
∴点G到BC的距离为3，
故结论②正确，符合题意，
综上所述，结论①②都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形、菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．
8．（2025 萧山区一模）如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【点拨】①连接GE，MD，MB，过点E作EP∥BC，交MD于点P，先证明△GAB和△EAD全等得BG＝DE，∠ABG＝∠ADE＝90°，由此得点G，B，C三点共线，根据正方形性质得EG经过点M，△AME是等腰直角三角形，由勾股定理得EM＝
AE，在Rt△CGE中，根据斜边上中线性质得CM＝EM＝GM＝AM，则CM＝AE，据此可对结论①进行判断；
②先证明△ADM和△CDM全等得∠ADM＝∠CDM＝45°，进而得△EDP是等腰直角三角形，则PE＝DE＝BG，由此可依据“SAS”判定△BGM和△PEM全等，则∠BMG＝∠PME，再根据AF⊥GE得∠BMD＝∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°，据此可对结论②进行判断，综上所述即可得出答案．
【解析】解：①连接GE，MD，MB，过点E作EP∥BC，交MD于点P，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝CD，AG＝AE，∠GAE＝∠BAD＝∠ADE＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠GAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠GAB＝∠EAD，
在△GAB和△EAD中
，
∴△GAB≌△EAD（SAS），
∴BG＝DE，∠ABG＝∠ADE＝90°，
∴∠ABG+∠ABC＝180°，
∴点G，B，C在同一条直线上，
∵AF是正方形AEFG的对角线，点M为AF的中点，
∴EG经过点M，
∴GM＝EM＝MA＝ME，AF⊥GE，
∴△AME是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AE＝＝EM，
∴EM＝AE，
在Rt△CGE中，CM是斜边GE上的中线，
∴CM＝EM＝GM＝AM，
∴CM＝AE，
即2CM＝AE，
故结论①对；
②在△ADM和△CDM中，
，
∴△ADM≌△CDM（SSS），
∴∠ADM＝∠CDM＝∠ADE＝45°，
∵EP∥BC，
∴∠DEP＝∠BCD＝90°，∠BGM＝∠PEM，
∴△EDP是等腰直角三角形，
∴PE＝DE，
∵BG＝DE，
∴BG＝PE，
在△BGM和△PEM中，
，
∴△BGM≌△PEM（SAS），
∴∠BMG＝∠PME，
∵AF⊥GE，
∴∠AMG＝∠AME＝∠AMP+∠PME＝90°，
∴∠AMP+∠BMG＝90°，
∴∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°，
即∠BMD＝∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°，
∴点B，M，D三点共线，
故结论②对，
综上所述：结论①，②都对．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．
9．（2025 温州一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】连接AG，CG，证明△ABG和△CBG全等得AG＝CG，∠AGB＝∠CGB，再证明△GBF是等腰直角三角形得GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°，进而可证明△GCF和△GEB全等，则CG＝EB，∠CGF＝∠EGB，由此可得出△GAE是等腰直角三角形，再由勾股定理得AE＝EG，则＝，据此即可得出答案．
【解析】解：连接AG，CG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝45°，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠AGB＝∠CGB，
∵FG⊥BD，
∴∠BGF＝90°，
又∵∠CBG＝45°，
∴△GBF是等腰直角三角形，
∴GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°，
在△GCF和△GEB中，
，
∴△GCF≌△GEB（SAS），
∴CG＝EB，∠CGF＝∠EGB，
∴AG＝EG，
∴△GAE是等腰三角形，
∵∠AGB＝∠CGB，∠CGF＝∠EGB，
∴∠AGE＝∠AGB+∠EGB＝∠CGB+∠CGF＝∠BGF＝90°，
∴△GAE是等腰直角三角形，
在Rt△GAE中，由勾股定理得：AE＝＝EG，
∴＝为定值．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
10．（2025 拱墅区模拟）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（ ）
A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32
【点拨】作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABM＝∠DCN，可证明△ABM≌△DCN，得AM＝DN，BM＝CN，由BD2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC BM+BM2，AC2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC BM+BM2，得AC2+BD2＝2AB2+2BC2＝32，则x2+y2＝32，可判断A不符合题意，B不符合题意，C符合题意，D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解析】解：作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，则∠ABM＝∠N＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，BC＝2，AC＝x，BD＝y，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABM＝∠DCN，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴AM＝DN，BM＝CN，
∴BD2＝DN2+BN2＝AM2+（BC+CN）2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC BM+BM2，
∵AC2＝AM2+CM2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC BM+BM2，
∴AC2+BD2＝2AM2+2BM2+2BC2＝2AB2+2BC2＝2×22+2×（2）2＝32，
∴x2+y2＝32，
故A不符合题意，B不符合题意，C符合题意；
假设y2﹣x2＝32成立，则x2+y2＝y2﹣x2，
求得x＝0，不符合题意，
∴y2﹣x2＝32不成立，
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线，并且推导出AC2+BD2＝2AB2+2BC2是解题的关键．
二．填空题
11．（2025 宁波模拟）正十边形一个外角的度数是 36° ．
【点拨】根据多边形的外角和等于360°进行解题即可．
【解析】解：由题可知，
360°÷10＝36°．
故答案为：36°．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
12．（2025 宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 70° ．
【点拨】先利用三角形的外角性质求得∠BFD的度数，再根据平行四边形的性质推出FB∥CD，利用平行线的性质，即可求出答案．
【解析】解：∵∠A＝40°，∠ABF＝30°，
∴∠BFD＝∠A+∠ABF＝70°，
∵四边形BCDF是平行四边形，
∴FB∥CD，
∴∠CDE＝∠BFD＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的对边平行的性质，难度不大．
13．（2025 宁波一模）如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E，∠BDE＝20°，则∠ACB的度数为 35° ．
【点拨】由外角的性质可得∠BOC＝110°，由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【解析】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵DE⊥AC，∠BDE＝20°，
∴∠BOC＝110°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC＝AO＝DO，
∴∠ACB＝∠OBC＝35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
14．（2025 滨江区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝ 30° ．
【点拨】由题意，得到DM是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，得到DA＝DB，得到等腰三角形DAB的两底角相等，再利用等腰三角形ABC得到∠C的度数，从而得到结果．
【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，
∴DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了作图，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形性质的应用是解题的关键．
15．（2025 宁波一模）如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，O为对角线BD的中点，E为BC上一点，将 ABCD沿OE所在的直线折叠，使点B和点D重合．若AB＝AE，OF＝1，则AB的长为 3+ ．
【点拨】如图．过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点M．则四边形AHEM是矩形．想办法证明∠EFO＝60°，求出EF，再利用平行线分线段成比例定理求解AF即可．
【解析】解：如图．过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点M．则四边形AHEM是矩形．
∴AH＝EM，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∵AB＝AE，AH⊥BE，
∴BH＝EH，
∴AH＝BH＝HE＝BE，
∵ED＝EB，
∴ED＝2AH＝2EM，
∵EM⊥AD，
∴∠EDM＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CED＝∠ADE＝30°，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠DEC＝∠EBD+∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB＝15°，
∴∠EFO＝∠FEO+∠EBO＝60°，
∵EO⊥BD，
∴∠FEO＝30°，
∴EF＝2OF＝2，
设AH＝HE＝EM＝AM＝a，则BE＝2a，DM＝a，
∵AD∥BE，
∴＝＝，
∴AF＝1+，
∴AB＝AE＝1++2＝3+．
方法二：倒数第六行开始，设AF＝m，则AB＝根号3倍m，通过AE＝AB可直接求出m和AB长．
故答案为：3+．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，翻折变换，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
16．（2025 上城区一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H．
（1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝ ；
（2）若，则＝ ．
【点拨】（1）由轴对称可得到∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B＝60°，从而∠ABE＝30°，即可解答；
（2）延长BA，B'E，交于点M，设B'E与CD交于点N，由△NFH∽△MBH得到，设FN＝a，MB＝12a．证明EM＝EB，根据“三线合一”得到，设DE＝DF＝x，则AE＝6a﹣x，DN＝a+x，NC＝5a﹣x，BG＝AE＝6a﹣x，CB'＝6a﹣2x．由△DEN∽△CB'N得到，即，求得x1＝2a即可解答．
【解析】解：（1）∵点A与点H关于直线BE对称，
∴∠AEB＝∠HEB，
∵点B与点B'关于EG对称，
∴∠EBB'＝∠EB'B，
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBB'，
∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B，
∵∠HEB+∠EBB'+∠EB'B＝180°，
∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B＝60°，
∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBB'＝30°，
∴，
故答案为：；
（2）延长BA，B'E，交于点M，设B'E与CD交于点N，
∵在正方形ABCD中，AB∥DC，
∴△NFH∽△MBH，，
∴设FN＝a，MB＝12a，
∵由（1）有∠ABC＝90°，∠BB'E＝60°，∠ABE＝30°，
∴∠M＝180°﹣∠ABC﹣∠BB'E＝30°＝∠ABE，
∴EM＝EB，
∵在正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴，
∴在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝AB＝6a，
设DE＝DF＝x，则AE＝AD﹣DE＝6a﹣x，DN＝FN+DF＝a+x，NC＝CD﹣DN＝6a﹣（a+x）＝5a﹣x，
∵点B与点B'关于EG对称，
∴EG⊥BB'，BB'＝2BG，
∵在正方形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形AEGB是矩形，
∴BG＝AE＝6a﹣x，
∴BB'＝2BG＝2（6a﹣x）＝12a﹣2x，
∴CB'＝BB'﹣BC＝（12a﹣2x）﹣6a＝6a﹣2x，
∵AD∥BC，
∴△DEN∽△CB'N，
∴，即，
解得x1＝2a，x2＝﹣3a（不合题意，舍去），
∴CB'＝6a﹣2x＝6a﹣4a＝2a，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称图形的性质，相似三角形的判定及性质，求锐角三角函数值，解一元二次方程等，综合运用相关知识是解题的关键．
17．（2025 定海区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以Rt△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BEDC，正方形ANMB，连结NC交AB于点H．已知正方形ACFG的面积为4，若H为AB中点，则正方形BEDC的面积为 ．
【点拨】过点C作CP⊥NA交NA的延长线于点P，根据直角三角形斜边中线的性质设CH＝AH＝BH＝a，则AN＝AB＝2a，NH＝，进而得NC＝，证明△NAH和△NPC相似得＝＝，则＝＝，由此得AP＝，AN＝，再由勾股定理得AP2+PC2＝AC2，则，继而得，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC2即可得出答案．
【解析】解：过点C作CP⊥NA交NA的延长线于点P，如图所示：
∴∠P＝90°，
在△ABC中，∠C＝90°，点H为AB中点，
∴CH是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴设CH＝AH＝BH＝a，
∴AB＝2a，
∵四边形ABMN是正方形，
∴AN＝AB＝2a，∠NAB＝90°，
在Rt△ANH中，由勾股定理得：NH＝＝＝，
∴NC＝NH+CH＝，
∵∠NAB＝∠P＝90°，
∴AH∥NC，
∴△NAH∽△NPC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴PC＝，AP＝，
∵正方形ACACFG的面积为4，
∴AC2＝4，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AP2＝AC2，
∴，
解得：，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝（2a）2﹣4＝4a2﹣4，
∴BC2＝＝，
∵四边形BEDC是正方形，
∴正方形BEDC的面积为：BC2＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
18．（2025 宁波一模）已知正方形ABCD中，射线BP与边AD交于点P，过点A，C，D分别作射线BP的垂线，垂足分别为A1，C1，D1．设m＝AA1+CC1+DD1，若AB＝1，则m的最小值为 ．
【点拨】连接BD，PC，根据三角形的面积公式得出，根据S正方形ABCD＝S△ABP+S△BCP+S△DPC，推出，当时，m＝AA1+CC1+DD1有最小值．
【解析】解：连接BD，PC，
S正方形ABCD＝1×1＝1，
由勾股定理得：，
∵AB＝1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，m＝AA1+CC1+DD1有最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，根据题意得出S正方形ABCD＝S△ABP+S△BCP+S△DPC是解题的关键．
19．（2025 衢州一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交EH，AB于点N，M．若FM＝MB，
（1）比较线段大小：DF ＝ DC．（填写“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于 ．
【点拨】（1）根据正方形ABCD由四个全等的直角三角形，得∠ABE＝∠BCF，∠EFC＝∠BCD＝90°，进而可以解决问题；
（2）设AD＝AB＝DC＝a，MF＝MB＝x，则AM＝AB﹣MB＝a﹣x，DM＝DF+MF＝a+x，根据勾股定理求出a＝4x，进而可以解决问题．
【解析】解：（1）∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形，
∴∠ABE＝∠BCF，∠EFC＝∠BCD＝90°，
∵FM＝MB，
∴∠ABE＝∠MFB，
∴∠MFB＝∠BCF，
∵∠EFD＝∠MFB，
∴∠MFD＝∠BCF，
∵∠EFC＝∠BCD＝90°，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
故答案为：＝；
（2）设AD＝AB＝DC＝a，MF＝MB＝x，
则AM＝AB﹣MB＝a﹣x，DM＝DF+MF＝a+x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AD2+AM2＝DM2，
a2+（a﹣x）2＝（a+x）2，
解得：a＝4x（a＝0舍去），
∴AM＝AB﹣MB＝a﹣x＝3x，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等图形，一元二次方程，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
三．解答题
20．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE．
（1）求证：；
（2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得出OB＝OD，可推出OE是三角形DBC的中位线，即可得出结论；
（2）根据，AB＝2，推出BC的长，再结合（1）的结论即可得出结果．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是三角形DBC的中位线，
∴；
（2）解：∵∠BAC＝90°，，AB＝2，
∴，
∴BC＝，
∴OE＝．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解直角三角形，熟记各性质定理是解题的关键．
21．（2025 西湖区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长．
【点拨】（1）由平行四边形的性质可求得OA＝OC、OB＝OD，再结合E、F为中点，可求得OE＝OF，则可证得四边形EBFD为平行四边形；
（2）根据勾股定理求出AO＝2，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：∵AB＝2BO＝4，
∴BO＝2，
∵∠ABD＝90°，
∴AO＝＝＝2，
∵点E为AO的中点，
∴BE＝AO＝．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
22．（2025 嘉善县一模）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证：
（1）BF∥CD；
（2）AB与FD互相平分．
【点拨】（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形FBCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证；
（2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形AFBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证．
【解析】（1）证明：∵点E是线段BD的中点，
∴BE＝DE，
又∵EF＝CE，
∴四边形FBCD是平行四边形，
∴BF∥CD；
（2）如图，连接AF，
∵四边形FBCD是平行四边形，
∴BD∥CD，BF＝CD，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BF，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴AB与FD互相平分．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．（2025 浙江一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上，分别按要求画出图形：
（1）在图1中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC，且点C在格点上；
（2）在图2中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且D，E在格点上．
【点拨】（1）根据等边三角形的性质及直角三角形的性质作图；
（2）根据等边三角形的性质及菱形的性质作图．
【解析】解：（1）点C、C′即为所求；
（2）菱形ADBE即为所求．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，掌握等边三角形的性质、直角三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
24．（2025 新昌县一模）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积．
【点拨】（1）证明△CDF≌△EBF（SAS），等CD＝BE，∠FCD＝∠FEB，则BE∥CD，再证明四边形AEBD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接ED，证明四边形BCDE是平行四边形，得DE＝BC＝8，再求出AC＝2AD＝10，进而由勾股定理得AB＝6，然后由菱形面积公式列式计算即可．
【解析】（1）证明：∵F是BD的中点，
∴DF＝BF，
∵CF＝EF，∠CFD＝∠EFB，
∴△CDF≌△EBF（SAS），
∴CD＝BE，∠FCD＝∠FEB，
∴BE∥CD，
∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，
∴BD＝BC＝AD＝CD，
∴BE＝CD＝AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴平行四边形AEBD是菱形；
（2）解：如图，连接ED，
∵BE∥CD，CD＝BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC＝8，
∵AD＝BE＝5，BD是△ABC中线，
∴AC＝2AD＝10，
∵∠ABC＝90°，BC＝8，
∴AB＝＝＝6，
∴菱形AEBD的面积＝AB DE＝×6×8＝24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟悉掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25．（2025 浙江模拟）在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考，给出了如下作图步骤：
①如图，作直角三角形AOB，其中∠AOB＝90°；
②分别延长AO至点C，使CO＝AO；延长BO至点D，使DO＝BO；
③连结BC，CD，AD，形成四边形ABCD．
请根据上述步骤，解答以下问题：
（1）判断四边形ABCD是否为菱形，并说明理由．
（2）若AC＝8，AB＝5，求点C到AB的距离．
【点拨】（1）根据题意可得OA＝OC，OB＝OD，易证四边形ABCD是平行四边形，再根据∠AOB＝90°，推出AC⊥BD，即可证明四边形ABCD是菱形；
（2）由题意易求AO＝CO＝4，利用勾股定理求出BO＝3，得到BD＝6，设点C到AB的距离为h，利用菱形ABCD的面积即可求解．
【解析】解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
根据题意得OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵AB＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵∠AOB＝90°，AB＝5，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：，
∵OB＝OD，四边形ABCD是菱形，
∴BD＝6，
设点C到AB的距离为h，
∴，
∴，
∴点C到AB的距离为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
26．（2025 临安区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H．
（1）求证：AE＝HF．
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明．
【点拨】（1）过点F作FK⊥AB于点K，证明四边形ADFK是矩形得AD＝FK，DF＝AK，则AB＝FK，再证明△BAE和△KFH全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据△BAE和△KFH全等得BE＝KH，再根据BE＝DF，DF＝AK得AK＝BE，由此即可得出AH与BE之间的数量关系．
【解析】（1）证明：过点F作FK⊥AB于点K，如图所示：
∴∠FKH＝∠FKA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠FKA＝∠BAD＝∠D＝90°，∠B＝∠FKH＝90°，
∴四边形ADFK是矩形，
∴AD＝FK，DF＝AK，
∴AB＝FK，
∵FH⊥AE，∠FKH＝90°，
∴∠BAE+∠AHF＝90°，∠KFH+∠AHF＝90°，
∴∠BAE＝∠KFH，
在△BAE和△KFH中，
，
∴△BAE≌△KFH（ASA），
∴AE＝HF；
（2）解：AH与BE之间的数量关系是，AH＝2BE，证明如下：
∵△BAE≌△KFH，
∴BE＝KH，
又∵BE＝DF，DF＝AK，
∴AK＝BE，
∴AH＝AK+KH＝BE+BE＝2BE．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
27．（2025 上城区一模）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示．
如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF＝．
（1）组合比k＝ ；
（2）若BE＝2，AB＝3，求AC的长；
（3）若∠BAD＝∠AEC，求证：∠AEB＝30°．
【点拨】（1）由组合比的定义可求解；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，EO＝FO，可求BE＝DF＝2，可得BO＝1，由勾股定理可求AO的长，即可求解；
（3）通过证明△AOB∽△EOA，可得AO＝BO，由锐角三角函数可求∠BAO＝30°，即可求解．
【解析】（1）解：∵BD：EF＝，
∴k＝，
故答案为：；
（2）解：如图，连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，EO＝FO，
∴BE＝DF＝2，
∵BD：EF＝，
∴EF＝3BD，
∵EF＝BE+DF+BD，
∴BE＝BD＝DF＝2，
∴B0＝DO＝1，
∴AO＝＝＝2，
∴AC＝4；
（3）证明：如图，连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，EO＝FO，∠BAD＝2∠BAC，∠AEC＝2∠AED，
∵BD：EF＝，
∴EF＝3BD，
∴EO＝3BO，
∵∠BAD＝∠AEC，
∴∠BAC＝∠AED，
又∵∠AOB＝∠AOE＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴，
∴AO＝BO，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
∴∠AEB＝30°．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
28．（2025 衢州一模）【问题提出】如图，折叠矩形纸片ABCD，使得点B与点A重合，则折痕与边AB，CD的交点E、F将这组对边两等分．如何将矩形纸片的边三等分呢？
【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿AC，BF折叠后展平，折痕交于点P．
（1）求证：；
（2）请过点P折叠，在CD上找到一点G，使（要求：在图中画出折痕）．
【点拨】（1）由中点可知CF＝，再利用即可得证；
（2）过P画出折痕交CD于点G即可；
【解析】（1）证明：由题意得：E，F分别为AB，CD的中点．
因为四边形ABCD为矩形，
所以AB∥CD，AB＝CD，
已知F为CD的中点，
可知，则，
由AB∥CD，得△PCF∽△PAB，
所以，
所以．
（2）解：如图，所示，点G即为所求．
证明：∵CG∥AH，
∴＝，
∴AH＝2CG，
∴DG＝2CG，
∴CG＝．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
29．（2025 宁波一模）小宁同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，3cm长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，3cm长为半径画弧，两弧交于点C；④连结BC，DC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连结BD，若BD＝2cm，求四边形ABCD的面积．
【点拨】（1）由作图过程可知AB＝AD＝CD＝BC，则可得四边形ABCD是菱形．
（2）连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2OA，OB＝＝1cm，则OA＝＝，AC＝，再根据四边形ABCD的面积为可得答案．
【解析】（1）证明：由作图过程可知，AB＝AD＝3cm，CD＝BC＝3cm，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2OA，OB＝＝1cm，
∵AB＝3cm，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝，
∴四边形ABCD的面积为＝＝（cm2）．
【点睛】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
30．（2025 金华模拟）尺规作图问题：
如图1，已知∠ABC，用尺规作图方法作以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD．
（1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么？
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形ABCD（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）．
【点拨】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断即可；
（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形作出图形．
【解析】解：（1）如图2中，四边形ABCD是平行四边形的依据是两组对边分别的四边形是平行四边形；
（2）如图1中，四边形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
31．（2025 嘉兴模拟）小红和小明一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在 ABCD中，AB＜BC，∠B＝66°．用直尺和圆规作∠ECB＝66°，E是边AD上一点．
小红：如图2，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连接CE，则∠ECB＝66°．
小明：如图3，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连接CE，则∠ECB＝66°．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小红的作法 正确 ；
②小明的作法 错误 ．
（2）请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程）
【点拨】（1）根据题意判断即可；
（2）小红的作法：根据平行四边形的性质得到∠D＝∠B＝66°，由作图知，CD＝CE，得到∠CED＝∠D＝66°，根据平行线的性质得到；
小明的作法：根据平行四边形的性质得到D＝∠B＝66°，由作图知，CD＝CE，求得∠CED＝∠DCE＝57°，根据平行线的性质得到∠ECB＝∠CED＝57°．
【解析】解：（1）①小红的作法正确；
②小明的作法错误；
故答案为：正确，错误；
（2）小红的作法：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝66°，
由作图知，CD＝CE，
∴∠CED＝∠D＝66°，
∵AD∥BC，
∴∠ECB＝∠CED＝66°，
故小红的作法正确；
小明的作法：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝66°，
由作图知，CD＝CE，
∴∠CED＝∠DCE＝57°，
∵AD∥BC，
∴∠ECB＝∠CED＝57°，
故小明的作法错误．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
32．（2025 衢江区一模）小明研究一道尺规作图题：作△ABC一边BC上的高线．他的作法如下：如图，在△ABC中，AB＞AC，以A为圆心，以AC为半径作弧交BC于点D，再分别以C、D为圆心，以大于CD长度为半径作两弧，两弧交于点E，连结AE交BC于点F，则AF为BC边上的高线．
（1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
（2）若AB＝5，AC＝，CF＝2，求△ABC的面积．
【点拨】（1）作法正确，证明AE垂直平分线段CD即可；
（2）利用勾股定理去才AF，再利用三角形面积公式求解．
【解析】解：（1）同意．
理由：连接EC，ED．
由作图可知AD＝AC，ED＝EC，
∴AE垂直平分线段CD，
∴AF⊥BC，即线段AF是△ABC的高；
（2）∵AF⊥BC，AC＝，CF＝2，
∴AF＝＝＝3，
∴BF＝＝＝4，
BC＝BF+CF＝4+2＝6，
∴△ABC的面积＝ BC AF＝×6×3＝9．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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